登录
7.已知:如图,CE⊥AD,垂足为E,∠A=∠C。求证:△ABD是直角三角形。
答案
证明：
∵ CE⊥AD，
∴ ∠CED = 90°，
∴ 在△CED中，∠C + ∠D = 90°。
又∵ ∠A = ∠C，
∴ ∠A + ∠D = 90°。
在△ABD中，
∠ABD = 180° - (∠A + ∠D) = 180° - 90° = 90°，
∴ △ABD是直角三角形。
∵ CE⊥AD，
∴ ∠CED = 90°，
∴ 在△CED中，∠C + ∠D = 90°。
又∵ ∠A = ∠C，
∴ ∠A + ∠D = 90°。
在△ABD中，
∠ABD = 180° - (∠A + ∠D) = 180° - 90° = 90°，
∴ △ABD是直角三角形。
解析
【分析】
要证明△ABD是直角三角形，核心是证明该三角形存在一个90°的内角。首先从已知条件CE⊥AD入手，可得到Rt△CED中两锐角互余，即∠C与∠D的和为90°；再结合∠A=∠C的条件，通过等量代换得到∠A与∠D的和为90°；最后利用三角形内角和为180°，计算出△ABD中∠ABD的度数为90°，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ CE⊥AD，
∴ ∠CED = 90°，
∴ 在△CED中，∠C + ∠D = 90°。
又
∵ ∠A = ∠C，
∴ ∠A + ∠D = 90°。
在△ABD中，
∠ABD = 180° - (∠A + ∠D) = 180° - 90° = 90°，
∴ △ABD是直角三角形。
【答案】
证明：
∵ CE⊥AD，
∴ ∠CED = 90°，
∴ 在△CED中，∠C + ∠D = 90°。
又
∵ ∠A = ∠C，
∴ ∠A + ∠D = 90°。
在△ABD中，
∠ABD = 180° - (∠A + ∠D) = 180° - 90° = 90°，
∴ △ABD是直角三角形。
【知识点】
直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是从垂直条件出发挖掘角的互余关系，结合已知等角条件进行等量代换，再利用三角形内角和定理推导得到直角，难度较低，需熟练掌握角的关系转化方法。
【难度系数】
0.8
要证明△ABD是直角三角形，核心是证明该三角形存在一个90°的内角。首先从已知条件CE⊥AD入手，可得到Rt△CED中两锐角互余，即∠C与∠D的和为90°；再结合∠A=∠C的条件，通过等量代换得到∠A与∠D的和为90°；最后利用三角形内角和为180°，计算出△ABD中∠ABD的度数为90°，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ CE⊥AD，
∴ ∠CED = 90°，
∴ 在△CED中，∠C + ∠D = 90°。
又
∵ ∠A = ∠C，
∴ ∠A + ∠D = 90°。
在△ABD中，
∠ABD = 180° - (∠A + ∠D) = 180° - 90° = 90°，
∴ △ABD是直角三角形。
【答案】
证明：
∵ CE⊥AD，
∴ ∠CED = 90°，
∴ 在△CED中，∠C + ∠D = 90°。
又
∵ ∠A = ∠C，
∴ ∠A + ∠D = 90°。
在△ABD中，
∠ABD = 180° - (∠A + ∠D) = 180° - 90° = 90°，
∴ △ABD是直角三角形。
【知识点】
直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是从垂直条件出发挖掘角的互余关系，结合已知等角条件进行等量代换，再利用三角形内角和定理推导得到直角，难度较低，需熟练掌握角的关系转化方法。
【难度系数】
0.8
8. 直角三角形的三条高的交点在
（
A.三角形的内部
B.三角形的外部
C.斜边上
D.直角顶点
（
D
）A.三角形的内部
B.三角形的外部
C.斜边上
D.直角顶点
答案
8. D
解析
【分析】
解题前先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的高。我们可以先分别找到直角三角形的三条高，再判断它们的交点位置：首先直角三角形的两条直角边互相垂直，因此两条直角边本身就是一组对应的高，它们的交点就是直角顶点；第三条是斜边上的高，是从直角顶点向斜边作的垂线，也经过直角顶点，因此三条高的交点就在直角顶点。同时可对比区分：锐角三角形三条高的交点在内部，钝角三角形在外部，避免混淆错选。
【解析】
首先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高。
对于直角三角形：
1. 两条直角边互相垂直，因此其中一条直角边就是另一条直角边上的高，这两条高的交点就是直角顶点；
2. 第三条高是从直角顶点向斜边所作的垂线，同样经过直角顶点。
因此直角三角形的三条高的交点为直角顶点，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形的高的定义
2. 直角三角形的性质
【点评】
本题考查不同类型三角形高线交点的位置，属于基础概念题，解题的关键是牢记三类三角形（锐角、钝角、直角）高线交点的位置差异，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
解题前先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的高。我们可以先分别找到直角三角形的三条高，再判断它们的交点位置：首先直角三角形的两条直角边互相垂直，因此两条直角边本身就是一组对应的高，它们的交点就是直角顶点；第三条是斜边上的高，是从直角顶点向斜边作的垂线，也经过直角顶点，因此三条高的交点就在直角顶点。同时可对比区分：锐角三角形三条高的交点在内部，钝角三角形在外部，避免混淆错选。
【解析】
首先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高。
对于直角三角形：
1. 两条直角边互相垂直，因此其中一条直角边就是另一条直角边上的高，这两条高的交点就是直角顶点；
2. 第三条高是从直角顶点向斜边所作的垂线，同样经过直角顶点。
因此直角三角形的三条高的交点为直角顶点，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形的高的定义
2. 直角三角形的性质
【点评】
本题考查不同类型三角形高线交点的位置，属于基础概念题，解题的关键是牢记三类三角形（锐角、钝角、直角）高线交点的位置差异，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
9. 如图，$∠ BAC = 90°$，$∠ C = 30°$，$AD ⊥ BC$于$D$，$DE ⊥ AB$于$E$，$BE = 1$，$BC =$
8
。答案
9. 8
解析
【分析】
本题是含30°角的直角三角形性质的应用类题目，解题思路如下：首先观察图形可知存在多个直角三角形，结合已知∠C=30°和多个垂直条件，可推出各直角三角形中的30°角；从已知长度BE所在的最小Rt△BDE入手，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”先求出BD的长度，再同理在Rt△ABD中求出AB的长度，最后在Rt△ABC中求出BC的长度即可。
【解析】
解：在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，
∴∠B=90°-∠C=60°。
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
在Rt△BDE中，∠BDE=90°-∠B=30°，
∴BD=2BE=2×1=2。
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠B=30°，
∴AB=2BD=2×2=4。
在Rt△ABC中，∠C=30°，
∴BC=2AB=2×4=8。
【答案】
8
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于直角三角形性质的基础应用题型，解题核心是准确识别每个直角三角形中30°角对应的直角边和斜边，按照从小到大的顺序逐层推导边长，能够有效锻炼学生的逻辑推导能力和几何图形观察能力。
【难度系数】
0.7
本题是含30°角的直角三角形性质的应用类题目，解题思路如下：首先观察图形可知存在多个直角三角形，结合已知∠C=30°和多个垂直条件，可推出各直角三角形中的30°角；从已知长度BE所在的最小Rt△BDE入手，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”先求出BD的长度，再同理在Rt△ABD中求出AB的长度，最后在Rt△ABC中求出BC的长度即可。
【解析】
解：在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，
∴∠B=90°-∠C=60°。
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
在Rt△BDE中，∠BDE=90°-∠B=30°，
∴BD=2BE=2×1=2。
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠B=30°，
∴AB=2BD=2×2=4。
在Rt△ABC中，∠C=30°，
∴BC=2AB=2×4=8。
【答案】
8
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于直角三角形性质的基础应用题型，解题核心是准确识别每个直角三角形中30°角对应的直角边和斜边，按照从小到大的顺序逐层推导边长，能够有效锻炼学生的逻辑推导能力和几何图形观察能力。
【难度系数】
0.7
10. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A = 30°$，$∠ ABC = 60°$，$BD$平分$∠ ABC$。若$CD = 3$，则$AD =$
6
。答案
10. 6
解析
【分析】
解题时首先根据三角形内角和定理计算△ABC的第三个内角，判断出△ABC是直角三角形；再利用角平分线的定义得到∠CBD和∠ABD的度数，结合直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出BD的长度；最后根据等角对等边得到AD与BD的等量关系，即可求出AD的长度。
【解析】
1. 计算∠C的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ ABC = 180° - 30° - 60° = 90°$，即△ABC是直角三角形。
2. 利用角平分线求分角的度数：
∵BD平分$∠ ABC$，$∠ ABC=60°$，
∴$∠ CBD = ∠ ABD = \frac{1}{2}∠ ABC = 30°$。
3. 在Rt△BCD中用30°角性质求BD：
在Rt△BCD中，$∠ CBD=30°$，30°角所对的直角边为CD，
∴$BD = 2CD$，
∵$CD=3$，
∴$BD = 2× 3 = 6$。
4. 利用等角对等边求AD：
∵$∠ A=30°$，
∴$∠ A = ∠ ABD = 30°$，
∴$AD = BD = 6$。
【答案】
6
【知识点】
直角三角形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是结合角的关系推导边的等量关系，解题的关键是先判断出△ABC为直角三角形，再灵活运用直角三角形30°角的性质和等腰三角形的判定定理求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据三角形内角和定理计算△ABC的第三个内角，判断出△ABC是直角三角形；再利用角平分线的定义得到∠CBD和∠ABD的度数，结合直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出BD的长度；最后根据等角对等边得到AD与BD的等量关系，即可求出AD的长度。
【解析】
1. 计算∠C的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ ABC = 180° - 30° - 60° = 90°$，即△ABC是直角三角形。
2. 利用角平分线求分角的度数：
∵BD平分$∠ ABC$，$∠ ABC=60°$，
∴$∠ CBD = ∠ ABD = \frac{1}{2}∠ ABC = 30°$。
3. 在Rt△BCD中用30°角性质求BD：
在Rt△BCD中，$∠ CBD=30°$，30°角所对的直角边为CD，
∴$BD = 2CD$，
∵$CD=3$，
∴$BD = 2× 3 = 6$。
4. 利用等角对等边求AD：
∵$∠ A=30°$，
∴$∠ A = ∠ ABD = 30°$，
∴$AD = BD = 6$。
【答案】
6
【知识点】
直角三角形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是结合角的关系推导边的等量关系，解题的关键是先判断出△ABC为直角三角形，再灵活运用直角三角形30°角的性质和等腰三角形的判定定理求解。
【难度系数】
0.7
11. 如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸的两个格点(即正方形的顶点)，在这个6×6的方格纸中，找出格点C，使△ABC的面积为1个平方单位的直角三角形的个数是
6
。答案
11. 6
解析
【分析】
解题时我们可以先通过坐标法确定A、B的位置，得到AB是长度为2的竖直线段，再按直角顶点的不同分三类讨论：①直角顶点为A；②直角顶点为B；③直角顶点为C。结合三角形面积公式、直角三角形的性质逐一找出符合要求的格点C，最后统计总个数即可。
【解析】
设点A坐标为(0,2)，点B坐标为(0,0)，则AB长为2，分三类讨论：
1. 直角顶点为A：此时AB⊥AC，AB为竖直方向，因此AC为水平方向。由三角形面积公式$\frac{1}{2} × AB × AC=1$，代入AB=2，解得AC=1。符合要求的格点C为$(1,2)$、$(-1,2)$，共2个；
2. 直角顶点为B：此时AB⊥BC，同理BC为水平方向，由$\frac{1}{2} × 2 × BC=1$得BC=1，符合要求的格点C为$(1,0)$、$(-1,0)$，共2个；
3. 直角顶点为C：此时需满足勾股定理逆定理$AC^2+BC^2=AB^2=4$，且三角形面积为1，经排查符合要求的格点C为$(1,1)$、$(-1,1)$，共2个。
总个数为$2+2+2=6$。
【答案】
6
【知识点】
直角三角形判定，三角形面积计算，格点图形性质
【点评】
本题核心考查分类讨论思想的应用，解题时要注意对直角顶点的所有可能情况逐一排查，避免漏解，结合格点特征和直角三角形相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.6
解题时我们可以先通过坐标法确定A、B的位置，得到AB是长度为2的竖直线段，再按直角顶点的不同分三类讨论：①直角顶点为A；②直角顶点为B；③直角顶点为C。结合三角形面积公式、直角三角形的性质逐一找出符合要求的格点C，最后统计总个数即可。
【解析】
设点A坐标为(0,2)，点B坐标为(0,0)，则AB长为2，分三类讨论：
1. 直角顶点为A：此时AB⊥AC，AB为竖直方向，因此AC为水平方向。由三角形面积公式$\frac{1}{2} × AB × AC=1$，代入AB=2，解得AC=1。符合要求的格点C为$(1,2)$、$(-1,2)$，共2个；
2. 直角顶点为B：此时AB⊥BC，同理BC为水平方向，由$\frac{1}{2} × 2 × BC=1$得BC=1，符合要求的格点C为$(1,0)$、$(-1,0)$，共2个；
3. 直角顶点为C：此时需满足勾股定理逆定理$AC^2+BC^2=AB^2=4$，且三角形面积为1，经排查符合要求的格点C为$(1,1)$、$(-1,1)$，共2个。
总个数为$2+2+2=6$。
【答案】
6
【知识点】
直角三角形判定，三角形面积计算，格点图形性质
【点评】
本题核心考查分类讨论思想的应用，解题时要注意对直角顶点的所有可能情况逐一排查，避免漏解，结合格点特征和直角三角形相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.6
12. 如图，将长为20 cm，宽为2 cm的长方形白纸条，折成如图所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为
（第12题）
36
cm²。（第12题）答案
12. 36
解析
【分析】
要求着色部分的面积，可先计算长方形纸条的总面积，再减去折叠后重叠部分的面积即可。首先明确折叠的性质：折叠后重合部分的面积是被双层覆盖的，着色时这部分只算一层，因此需要减去多算的重叠面积。观察图形可知，共有2处折叠，每处重叠的部分是直角边等于纸条宽度的等腰直角三角形，据此分步计算即可。
【解析】
1. 计算原长方形白纸条的总面积：
长方形面积公式为$S = 长×宽$，代入数据得：
$S_{总}=20×2=40\ \mathrm{cm^2}$
2. 计算重叠部分的总面积：
每处折叠的重叠部分是直角边为2cm的等腰直角三角形，单个三角形面积为：
$S_{单}=\frac{1}{2}×2×2=2\ \mathrm{cm^2}$
共有2处重叠，因此重叠总面积为：
$S_{重}=2×2=4\ \mathrm{cm^2}$
3. 计算着色部分面积：
$S_{着色}=S_{总}-S_{重}=40-4=36\ \mathrm{cm^2}$
【答案】
36
【知识点】
长方形面积计算，折叠的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于折叠类的面积计算问题，解题核心是找到重叠部分的形状和对应边长，利用总面积减重叠面积的方法快速求解，掌握折叠前后重合部分面积相等的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要求着色部分的面积，可先计算长方形纸条的总面积，再减去折叠后重叠部分的面积即可。首先明确折叠的性质：折叠后重合部分的面积是被双层覆盖的，着色时这部分只算一层，因此需要减去多算的重叠面积。观察图形可知，共有2处折叠，每处重叠的部分是直角边等于纸条宽度的等腰直角三角形，据此分步计算即可。
【解析】
1. 计算原长方形白纸条的总面积：
长方形面积公式为$S = 长×宽$，代入数据得：
$S_{总}=20×2=40\ \mathrm{cm^2}$
2. 计算重叠部分的总面积：
每处折叠的重叠部分是直角边为2cm的等腰直角三角形，单个三角形面积为：
$S_{单}=\frac{1}{2}×2×2=2\ \mathrm{cm^2}$
共有2处重叠，因此重叠总面积为：
$S_{重}=2×2=4\ \mathrm{cm^2}$
3. 计算着色部分面积：
$S_{着色}=S_{总}-S_{重}=40-4=36\ \mathrm{cm^2}$
【答案】
36
【知识点】
长方形面积计算，折叠的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于折叠类的面积计算问题，解题核心是找到重叠部分的形状和对应边长，利用总面积减重叠面积的方法快速求解，掌握折叠前后重合部分面积相等的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
