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8. 如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，FE为邻边作矩形DEFG，连接CG。
(1)求证：四边形DEFG为正方形。
(2)当AB=6时，CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。
(1)求证：四边形DEFG为正方形。
(2)当AB=6时，CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。
答案
8. (1)证明:如图,分别过点 E 作 $EM⊥ BC$ 于点 $M,EN⊥ CD$ 于点 N，
$\therefore ∠ EMC=90°,∠ ENC=90°$。
$\because$ 四边形 ABCD 为正方形，
$\therefore ∠ BCD=90°,$
$\therefore ∠ EMC=∠ ENC=∠ BCD=90°,$
$\therefore$ 四边形 EMCN 为矩形。
$\because$ 四边形 ABCD 为正方形，
$\therefore ∠ ADC=90°,AD=CD,$
$\therefore ∠ ECN=45°,$
$\therefore ∠ CEN=180°-∠ ENC-∠ ECN=45°,$
$\therefore ∠ ECN=∠ CEN,\therefore NC=NE,$
$\therefore$ 四边形 EMCN 为正方形，
$\therefore ME=NE$。
$\because$ 四边形 DEFG 为矩形，
$\therefore ∠ DEN+∠ NEF=∠ FEM+∠ NEF=90°,$
$\therefore ∠ DEN=∠ FEM$。
$\therefore$ 在$△ DEN$ 和$△ FEM$ 中，
$\begin{cases}∠ DNE=∠ FME,\\NE=ME,\\∠ DEN=∠ FEM,\end{cases}$
$\therefore △ DEN≌△ FEM(\mathrm{ASA})$。
$\therefore DE=FE,$
$\therefore$ 四边形 DEFG 为正方形。
(2)解:$CE+CG$ 的值为定值。理由如下：
$\because$ 四边形 DEFG 为正方形，
$\therefore DE=DG,∠ EDC+∠ CDG=90°$。
$\because$ 四边形 ABCD 为正方形，
$\therefore AD=CD,∠ ADE+∠ EDC=90°$。
$\therefore ∠ ADE=∠ CDG$。
在$△ ADE$ 和$△ CDG$ 中，
$\begin{cases}AD=CD,\\∠ ADE=∠ CDG,\\DE=DG,\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ CDG(\mathrm{SAS}),\therefore AE=CG,$
$\therefore CE+CG=CE+AE=AC$。
$\because$ 四边形 ABCD 为正方形,$AB=6,$
$\therefore AB=BC=6,∠ B=90°,$由勾股定理,得
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2},$
$\therefore CE+CG=6\sqrt{2}$。
解析
【分析】
(1) 要证明矩形DEFG为正方形，只需证明其一组邻边相等，即DE=EF。由于点E在正方形ABCD的对角线AC上，可过E分别作BC、CD的垂线，构造正方形EMCN得到相等的边，再利用同角的余角相等得到相等的角，证明△DEN和△FEM全等，即可推出DE=EF，完成证明。
(2) 要判断CE+CG是否为定值，可通过全等三角形将CG转化为和AC相关的线段：利用正方形的边角关系证明△ADE≌△CDG，得到CG=AE，即可将CE+CG转化为CE+AE=AC，AC是正方形ABCD的定长对角线，代入AB的长度计算即可得到定值。
【解析】
(1)证明:如图,分别过点 E 作 $EM⊥ BC$ 于点 $M,EN⊥ CD$ 于点 N，
$\therefore ∠ EMC=90°,∠ ENC=90°$。
$\because$ 四边形 ABCD 为正方形，
$\therefore ∠ BCD=90°,$
$\therefore ∠ EMC=∠ ENC=∠ BCD=90°,$
$\therefore$ 四边形 EMCN 为矩形。
$\because$ 四边形 ABCD 为正方形，
$\therefore ∠ ADC=90°,AD=CD,$
$\therefore ∠ ECN=45°,$
$\therefore ∠ CEN=180°-∠ ENC-∠ ECN=45°,$
$\therefore ∠ ECN=∠ CEN,\therefore NC=NE,$
$\therefore$ 四边形 EMCN 为正方形，
$\therefore ME=NE$。
$\because$ 四边形 DEFG 为矩形，
$\therefore ∠ DEN+∠ NEF=∠ FEM+∠ NEF=90°,$
$\therefore ∠ DEN=∠ FEM$。
$\therefore$ 在$△ DEN$ 和$△ FEM$ 中，
$\begin{cases}∠ DNE=∠ FME,\\NE=ME,\\∠ DEN=∠ FEM,\end{cases}$
$\therefore △ DEN≌△ FEM(\mathrm{ASA})$。
$\therefore DE=FE,$
$\therefore$ 四边形 DEFG 为正方形。
(2)解:$CE+CG$ 的值为定值。理由如下：
$\because$ 四边形 DEFG 为正方形，
$\therefore DE=DG,∠ EDC+∠ CDG=90°$。
$\because$ 四边形 ABCD 为正方形，
$\therefore AD=CD,∠ ADE+∠ EDC=90°$。
$\therefore ∠ ADE=∠ CDG$。
在$△ ADE$ 和$△ CDG$ 中，
$\begin{cases}AD=CD,\\∠ ADE=∠ CDG,\\DE=DG,\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ CDG(\mathrm{SAS}),\therefore AE=CG,$
$\therefore CE+CG=CE+AE=AC$。
$\because$ 四边形 ABCD 为正方形,$AB=6,$
$\therefore AB=BC=6,∠ B=90°,$由勾股定理,得
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2},$
$\therefore CE+CG=6\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 四边形DEFG为正方形，证明成立；
(2) $CE+CG$是定值，定值为$\boldsymbol{6\sqrt{2}}$。
【知识点】
正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题属于四边形综合类题型，解题关键是合理添加辅助线构造全等三角形，通过转化思想将待求线段和转化为定长的正方形对角线求解，能有效锻炼逻辑推理和几何综合应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明矩形DEFG为正方形，只需证明其一组邻边相等，即DE=EF。由于点E在正方形ABCD的对角线AC上，可过E分别作BC、CD的垂线，构造正方形EMCN得到相等的边，再利用同角的余角相等得到相等的角，证明△DEN和△FEM全等，即可推出DE=EF，完成证明。
(2) 要判断CE+CG是否为定值，可通过全等三角形将CG转化为和AC相关的线段：利用正方形的边角关系证明△ADE≌△CDG，得到CG=AE，即可将CE+CG转化为CE+AE=AC，AC是正方形ABCD的定长对角线，代入AB的长度计算即可得到定值。
【解析】
(1)证明:如图,分别过点 E 作 $EM⊥ BC$ 于点 $M,EN⊥ CD$ 于点 N，
$\therefore ∠ EMC=90°,∠ ENC=90°$。
$\because$ 四边形 ABCD 为正方形，
$\therefore ∠ BCD=90°,$
$\therefore ∠ EMC=∠ ENC=∠ BCD=90°,$
$\therefore$ 四边形 EMCN 为矩形。
$\because$ 四边形 ABCD 为正方形，
$\therefore ∠ ADC=90°,AD=CD,$
$\therefore ∠ ECN=45°,$
$\therefore ∠ CEN=180°-∠ ENC-∠ ECN=45°,$
$\therefore ∠ ECN=∠ CEN,\therefore NC=NE,$
$\therefore$ 四边形 EMCN 为正方形，
$\therefore ME=NE$。
$\because$ 四边形 DEFG 为矩形，
$\therefore ∠ DEN+∠ NEF=∠ FEM+∠ NEF=90°,$
$\therefore ∠ DEN=∠ FEM$。
$\therefore$ 在$△ DEN$ 和$△ FEM$ 中，
$\begin{cases}∠ DNE=∠ FME,\\NE=ME,\\∠ DEN=∠ FEM,\end{cases}$
$\therefore △ DEN≌△ FEM(\mathrm{ASA})$。
$\therefore DE=FE,$
$\therefore$ 四边形 DEFG 为正方形。
(2)解:$CE+CG$ 的值为定值。理由如下：
$\because$ 四边形 DEFG 为正方形，
$\therefore DE=DG,∠ EDC+∠ CDG=90°$。
$\because$ 四边形 ABCD 为正方形，
$\therefore AD=CD,∠ ADE+∠ EDC=90°$。
$\therefore ∠ ADE=∠ CDG$。
在$△ ADE$ 和$△ CDG$ 中，
$\begin{cases}AD=CD,\\∠ ADE=∠ CDG,\\DE=DG,\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ CDG(\mathrm{SAS}),\therefore AE=CG,$
$\therefore CE+CG=CE+AE=AC$。
$\because$ 四边形 ABCD 为正方形,$AB=6,$
$\therefore AB=BC=6,∠ B=90°,$由勾股定理,得
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2},$
$\therefore CE+CG=6\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 四边形DEFG为正方形，证明成立；
(2) $CE+CG$是定值，定值为$\boldsymbol{6\sqrt{2}}$。
【知识点】
正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题属于四边形综合类题型，解题关键是合理添加辅助线构造全等三角形，通过转化思想将待求线段和转化为定长的正方形对角线求解，能有效锻炼逻辑推理和几何综合应用能力。
【难度系数】
0.6
9.【综合与实践】问题情境
数学兴趣小组的同学探究与正方形有关的动点问题。在正方形ABCD内取一点E,使$∠ CED=90°$,将线段CE绕点C按逆时针方向旋转$90°$得到线段$CE'$,射线DE,$E'B$交于点F。
特例研究
启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律。如图①,当点E在对角线AC的中点O处时,点F与点B重合,
此时四边形$EFE'C$的形状为正方形。
探究发现
(1)博学小组发现,如图②,只要$∠ CED=90°$,四边形$EFE'C$就是正方形,请证明。
(2)奋发小组受博学小组的启发,进一步深入探究时发现:如图③,取BC的中点G,连接$E'G$,$FO$,$AF$,在点E的运动过程中,$FO$与$E'G$始终保持特定的数量关系。请写出此数量关系,并说明理由。
数学兴趣小组的同学探究与正方形有关的动点问题。在正方形ABCD内取一点E,使$∠ CED=90°$,将线段CE绕点C按逆时针方向旋转$90°$得到线段$CE'$,射线DE,$E'B$交于点F。
特例研究
启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律。如图①,当点E在对角线AC的中点O处时,点F与点B重合,
此时四边形$EFE'C$的形状为正方形。
探究发现
(1)博学小组发现,如图②,只要$∠ CED=90°$,四边形$EFE'C$就是正方形,请证明。
(2)奋发小组受博学小组的启发,进一步深入探究时发现:如图③,取BC的中点G,连接$E'G$,$FO$,$AF$,在点E的运动过程中,$FO$与$E'G$始终保持特定的数量关系。请写出此数量关系,并说明理由。
答案
9. (1)证明:$\because$ 四边形 ABCD 是正方形，
$\therefore ∠ BCD=90°,BC=CD,$
$\therefore ∠ BCE+∠ DCE=90°$。
$\because$ 将线段 CE 绕点 C 按逆时针方向旋转 $90°$得到线段 $CE',$
$\therefore CE=CE',∠ ECE'=90°,$
$\therefore ∠ BCE+∠ BCE'=90°,$
$\therefore ∠ DCE=∠ BCE',$
$\therefore △ CBE'≌△ CDE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ CE'B=∠ CED=90°,$
$\therefore ∠ CEF=90°,$
$\therefore$ 四边形 $EFE'C$ 是矩形。
$\because CE=CE',$
$\therefore$ 四边形 $EFE'C$ 是正方形。
(2)解:$FO=\sqrt{2}E'G$。理由如下：
如图,连接 $BD,OG$。
$\because$ 四边形 ABCD 是正方形，
$\therefore OC=OB,∠ BOC=90°,O$ 是 BD 的中点。
$\because G$ 是 BC 的中点，
$\therefore ∠ OGC=90°,OG=\frac{1}{2}BC=GC,$
$\therefore OC=\sqrt{OG^2+GC^2}=\sqrt{2}GC$。
$\because$ 四边形 $EFE'C$ 是正方形，
$\therefore ∠ CE'B=90°$。
$\because G$ 是 BC 的中点,$\therefore E'G=\frac{1}{2}BC=GC,$
$\therefore OC=\sqrt{2}E'G$。
$\because$ 四边形 $EFE'C$ 是正方形，
$\therefore ∠ BFE=90°$。
$\because O$ 是 BD 的中点，
$\therefore FO=\frac{1}{2}BD=OB,$
$\therefore FO=OC,$
$\therefore FO=\sqrt{2}E'G$。
解析
【分析】
(1) 要证四边形$EFE'C$是正方形，可按“先证矩形，再证邻边相等”的思路推导：首先利用正方形性质和旋转的性质，证明$△ CBE'≌△ CDE$，得到四边形的三个内角为直角，判定其为矩形，再结合旋转得到的邻边$CE=CE'$，即可得证为正方形。
(2) 探究$FO$与$E'G$的数量关系时，可作辅助线连接$BD$、$OG$，利用正方形的性质得到$O$是$BD$中点，结合$G$是$BC$中点的条件，分别通过直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线的性质推导$FO$与$OC$、$E'G$与$GC$的等量关系，再结合$OC$与$GC$的数量关系，即可推出$FO$和$E'G$的关系。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 四边形 ABCD 是正方形，
$\therefore ∠ BCD=90°,BC=CD,$
$\therefore ∠ BCE+∠ DCE=90°$。
$\because$ 将线段 CE 绕点 C 按逆时针方向旋转 $90°$得到线段 $CE',$
$\therefore CE=CE',∠ ECE'=90°,$
$\therefore ∠ BCE+∠ BCE'=90°,$
$\therefore ∠ DCE=∠ BCE',$
$\therefore △ CBE'≌△ CDE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ CE'B=∠ CED=90°,$
$\therefore ∠ CEF=90°,$
$\therefore$ 四边形 $EFE'C$ 是矩形。
$\because CE=CE',$
$\therefore$ 四边形 $EFE'C$ 是正方形。
(2) 解：$FO=\sqrt{2}E'G$。理由如下：
如图，连接 $BD,OG$。
$\because$ 四边形 ABCD 是正方形，
$\therefore OC=OB,∠ BOC=90°,O$ 是 BD 的中点。
$\because G$ 是 BC 的中点，
$\therefore ∠ OGC=90°,OG=\frac{1}{2}BC=GC,$
$\therefore OC=\sqrt{OG^2+GC^2}=\sqrt{2}GC$。
$\because$ 四边形 $EFE'C$ 是正方形，
$\therefore ∠ CE'B=90°$。
$\because G$ 是 BC 的中点,$\therefore E'G=\frac{1}{2}BC=GC,$
$\therefore OC=\sqrt{2}E'G$。
$\because$ 四边形 $EFE'C$ 是正方形，
$\therefore ∠ BFE=90°$。
$\because O$ 是 BD 的中点，
$\therefore FO=\frac{1}{2}BD=OB,$
$\therefore FO=OC,$
$\therefore FO=\sqrt{2}E'G$。
【答案】
(1) 四边形$EFE'C$是正方形，证明如上；
(2) 数量关系为$FO=\sqrt{2}E'G$，理由如上，辅助线如图：
【知识点】
正方形的判定与性质；旋转的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题以正方形动点问题为载体，遵循由特殊到一般的探究逻辑，综合考查了几何图形的判定与性质，需要熟练运用全等证明、直角三角形斜边中线、三角形中位线等知识解决问题，对几何逻辑推理能力有一定的锻炼价值。
【难度系数】
0.6
(1) 要证四边形$EFE'C$是正方形，可按“先证矩形，再证邻边相等”的思路推导：首先利用正方形性质和旋转的性质，证明$△ CBE'≌△ CDE$，得到四边形的三个内角为直角，判定其为矩形，再结合旋转得到的邻边$CE=CE'$，即可得证为正方形。
(2) 探究$FO$与$E'G$的数量关系时，可作辅助线连接$BD$、$OG$，利用正方形的性质得到$O$是$BD$中点，结合$G$是$BC$中点的条件，分别通过直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线的性质推导$FO$与$OC$、$E'G$与$GC$的等量关系，再结合$OC$与$GC$的数量关系，即可推出$FO$和$E'G$的关系。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 四边形 ABCD 是正方形，
$\therefore ∠ BCD=90°,BC=CD,$
$\therefore ∠ BCE+∠ DCE=90°$。
$\because$ 将线段 CE 绕点 C 按逆时针方向旋转 $90°$得到线段 $CE',$
$\therefore CE=CE',∠ ECE'=90°,$
$\therefore ∠ BCE+∠ BCE'=90°,$
$\therefore ∠ DCE=∠ BCE',$
$\therefore △ CBE'≌△ CDE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ CE'B=∠ CED=90°,$
$\therefore ∠ CEF=90°,$
$\therefore$ 四边形 $EFE'C$ 是矩形。
$\because CE=CE',$
$\therefore$ 四边形 $EFE'C$ 是正方形。
(2) 解：$FO=\sqrt{2}E'G$。理由如下：
如图，连接 $BD,OG$。
$\because$ 四边形 ABCD 是正方形，
$\therefore OC=OB,∠ BOC=90°,O$ 是 BD 的中点。
$\because G$ 是 BC 的中点，
$\therefore ∠ OGC=90°,OG=\frac{1}{2}BC=GC,$
$\therefore OC=\sqrt{OG^2+GC^2}=\sqrt{2}GC$。
$\because$ 四边形 $EFE'C$ 是正方形，
$\therefore ∠ CE'B=90°$。
$\because G$ 是 BC 的中点,$\therefore E'G=\frac{1}{2}BC=GC,$
$\therefore OC=\sqrt{2}E'G$。
$\because$ 四边形 $EFE'C$ 是正方形，
$\therefore ∠ BFE=90°$。
$\because O$ 是 BD 的中点，
$\therefore FO=\frac{1}{2}BD=OB,$
$\therefore FO=OC,$
$\therefore FO=\sqrt{2}E'G$。
【答案】
(1) 四边形$EFE'C$是正方形，证明如上；
(2) 数量关系为$FO=\sqrt{2}E'G$，理由如上，辅助线如图：
【知识点】
正方形的判定与性质；旋转的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题以正方形动点问题为载体，遵循由特殊到一般的探究逻辑，综合考查了几何图形的判定与性质，需要熟练运用全等证明、直角三角形斜边中线、三角形中位线等知识解决问题，对几何逻辑推理能力有一定的锻炼价值。
【难度系数】
0.6
