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3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，从①$AC=BD$，②$AC⊥ BD$，③$AB=BC$中任意选取两个条件，能判定$□ ABCD$是正方形的不同选取方法有（
A.0种
B.1种
C.2种
D.3种
C
）。A.0种
B.1种
C.2种
D.3种
答案
3.C
解析
【分析】
要判定平行四边形是正方形，需使其同时满足矩形和菱形的判定条件。首先明确三个条件对应的特殊平行四边形判定：①对角线相等的平行四边形是矩形，②对角线垂直的平行四边形是菱形，③邻边相等的平行四边形是菱形。接下来枚举所有两个条件的组合，判断每组组合是否同时包含矩形判定条件和菱形判定条件，满足即可判定为正方形，最后统计符合要求的组合数。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，先分析单个条件的判定结果：
1. 选条件①$AC=BD$：根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定$□ ABCD$是矩形；
2. 选条件②$AC⊥ BD$：根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定$□ ABCD$是菱形；
3. 选条件③$AB=BC$：根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定$□ ABCD$是菱形。
再逐一分析两两组合的情况：
组合①②：$□ ABCD$既是矩形又是菱形，因此是正方形，符合要求；
组合①③：$□ ABCD$既是矩形又是菱形，因此是正方形，符合要求；
组合②③：仅能判定$□ ABCD$是菱形，无法判定其为矩形，因此不能判定是正方形，不符合要求。
综上，能判定$□ ABCD$是正方形的选取方法共2种。
【答案】
C
【知识点】
正方形的判定；矩形的判定；菱形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，解题关键是明确正方形是同时具备矩形、菱形特征的平行四边形，需先梳理每个条件对应的判定类型，再逐一验证组合，避免混淆不同特殊平行四边形的判定定理。
【难度系数】
0.7
要判定平行四边形是正方形，需使其同时满足矩形和菱形的判定条件。首先明确三个条件对应的特殊平行四边形判定：①对角线相等的平行四边形是矩形，②对角线垂直的平行四边形是菱形，③邻边相等的平行四边形是菱形。接下来枚举所有两个条件的组合，判断每组组合是否同时包含矩形判定条件和菱形判定条件，满足即可判定为正方形，最后统计符合要求的组合数。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，先分析单个条件的判定结果：
1. 选条件①$AC=BD$：根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定$□ ABCD$是矩形；
2. 选条件②$AC⊥ BD$：根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定$□ ABCD$是菱形；
3. 选条件③$AB=BC$：根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定$□ ABCD$是菱形。
再逐一分析两两组合的情况：
组合①②：$□ ABCD$既是矩形又是菱形，因此是正方形，符合要求；
组合①③：$□ ABCD$既是矩形又是菱形，因此是正方形，符合要求；
组合②③：仅能判定$□ ABCD$是菱形，无法判定其为矩形，因此不能判定是正方形，不符合要求。
综上，能判定$□ ABCD$是正方形的选取方法共2种。
【答案】
C
【知识点】
正方形的判定；矩形的判定；菱形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，解题关键是明确正方形是同时具备矩形、菱形特征的平行四边形，需先梳理每个条件对应的判定类型，再逐一验证组合，避免混淆不同特殊平行四边形的判定定理。
【难度系数】
0.7
4. 如图，菱形ABCD的边长为13 cm，对角线AC和BD相交于点O，BD＝24 cm，点M，N分别从点B，D同时出发，以相同的速度向点O运动，连接AM，AN，CN和CM，若四边形AMCN是正方形，则M，N运动的最短距离是（
A.7 cm
B.6 cm
C.5.5 cm
D.5 cm
A
）。A.7 cm
B.6 cm
C.5.5 cm
D.5 cm
答案
4.A
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理算出对角线AC一半的长度；第二步判断四边形AMCN天然是菱形（因为对角线互相垂直平分）；第三步根据正方形的判定规则，对角线相等的菱形是正方形，推导得出对角线MN需要等于AC的长度，进而求出M、N运动的距离。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，$BO=OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×24=12\mathrm{cm}$，$AO=OC$
在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，$AB=13\mathrm{cm}$，$BO=12\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5\mathrm{cm}$
∴$AC=2AO=10\mathrm{cm}$
∵点M、N运动速度相同、同时出发，
∴$BM=DN$
∴$BO-BM=OD-DN$，即$MO=ON$
又
∵$AO=OC$，$AC⊥ MN$，
∴四边形AMCN是菱形
要使四边形AMCN为正方形，需菱形对角线相等，即$MN=AC=10\mathrm{cm}$
∴$MO=\frac{1}{2}MN=5\mathrm{cm}$
∴$BM=BO-MO=12-5=7\mathrm{cm}$，即M、N运动的最短距离为7cm。
【答案】A
【知识点】
菱形的性质，正方形的判定，勾股定理
【点评】
本题结合动点问题考查特殊四边形的性质与判定，解题核心是明确菱形转化为正方形的条件，结合勾股定理即可快速求解，需要熟练掌握特殊四边形的判定规则。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理算出对角线AC一半的长度；第二步判断四边形AMCN天然是菱形（因为对角线互相垂直平分）；第三步根据正方形的判定规则，对角线相等的菱形是正方形，推导得出对角线MN需要等于AC的长度，进而求出M、N运动的距离。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，$BO=OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×24=12\mathrm{cm}$，$AO=OC$
在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，$AB=13\mathrm{cm}$，$BO=12\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5\mathrm{cm}$
∴$AC=2AO=10\mathrm{cm}$
∵点M、N运动速度相同、同时出发，
∴$BM=DN$
∴$BO-BM=OD-DN$，即$MO=ON$
又
∵$AO=OC$，$AC⊥ MN$，
∴四边形AMCN是菱形
要使四边形AMCN为正方形，需菱形对角线相等，即$MN=AC=10\mathrm{cm}$
∴$MO=\frac{1}{2}MN=5\mathrm{cm}$
∴$BM=BO-MO=12-5=7\mathrm{cm}$，即M、N运动的最短距离为7cm。
【答案】A
【知识点】
菱形的性质，正方形的判定，勾股定理
【点评】
本题结合动点问题考查特殊四边形的性质与判定，解题核心是明确菱形转化为正方形的条件，结合勾股定理即可快速求解，需要熟练掌握特殊四边形的判定规则。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在四边形ABCD中,AB=BC,BE⊥AD于点E,∠ABC=∠CDA=90°,若四边形ABCD的面积为8,则BE的长为
$2\sqrt{2}$
。答案
5.$2\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题给出了邻边相等（AB=BC）、多个直角的条件，求解线段BE的长度，可通过构造全等三角形将不规则四边形的面积转化为规则图形面积计算。思路如下：首先利用AB=BC和直角相等的条件，证明△ABE与△CBF全等，得到BE=BF，再推导出四边形BEDF是正方形，且其面积等于原四边形ABCD的面积，最后利用正方形面积公式即可求出BE的长度。
【解析】
过点B作BF⊥DC，交DC的延长线于点F。
1. 证明四边形BEDF是矩形：
∵ BE⊥AD，∠D=90°，BF⊥DF，
∴ ∠BED=∠D=∠BFD=90°，
∴ 四边形BEDF是矩形，
∴ ∠EBF=90°，即$∠ EBC + ∠ CBF = 90°$。
2. 证明△ABE≌△CBF：
∵ $∠ ABC=90°$，即$∠ ABE + ∠ EBC = 90°$，
∴ $∠ ABE=∠ CBF$。
在△ABE和△CBF中：
$\{\begin{array}{l}∠AEB=∠CFB=90° \\∠ABE=∠CBF \\AB=BC\end{array} $
∴ $△ ABE ≌ △ CBF$（AAS），
∴ $BE=BF$，$S_{△ ABE}=S_{△ CBF}$。
3. 推导正方形面积求BE：
∵ 矩形BEDF的邻边BE=BF，
∴ 四边形BEDF是正方形。
∵ $S_{四边形ABCD}=S_{△ ABE}+S_{四边形BCDE}=S_{△ CBF}+S_{四边形BCDE}=S_{正方形BEDF}=8$，
∴ $BE^2=8$，
解得$BE=2\sqrt{2}$（线段长度为正，舍去负值）。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，割补法求面积
【点评】
本题通过构造全等三角形实现了不规则图形面积到规则图形面积的转化，解题核心是抓住已知的等线段和直角条件构造全等，较好地考查了转化的数学思想和几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
本题给出了邻边相等（AB=BC）、多个直角的条件，求解线段BE的长度，可通过构造全等三角形将不规则四边形的面积转化为规则图形面积计算。思路如下：首先利用AB=BC和直角相等的条件，证明△ABE与△CBF全等，得到BE=BF，再推导出四边形BEDF是正方形，且其面积等于原四边形ABCD的面积，最后利用正方形面积公式即可求出BE的长度。
【解析】
过点B作BF⊥DC，交DC的延长线于点F。
1. 证明四边形BEDF是矩形：
∵ BE⊥AD，∠D=90°，BF⊥DF，
∴ ∠BED=∠D=∠BFD=90°，
∴ 四边形BEDF是矩形，
∴ ∠EBF=90°，即$∠ EBC + ∠ CBF = 90°$。
2. 证明△ABE≌△CBF：
∵ $∠ ABC=90°$，即$∠ ABE + ∠ EBC = 90°$，
∴ $∠ ABE=∠ CBF$。
在△ABE和△CBF中：
$\{\begin{array}{l}∠AEB=∠CFB=90° \\∠ABE=∠CBF \\AB=BC\end{array} $
∴ $△ ABE ≌ △ CBF$（AAS），
∴ $BE=BF$，$S_{△ ABE}=S_{△ CBF}$。
3. 推导正方形面积求BE：
∵ 矩形BEDF的邻边BE=BF，
∴ 四边形BEDF是正方形。
∵ $S_{四边形ABCD}=S_{△ ABE}+S_{四边形BCDE}=S_{△ CBF}+S_{四边形BCDE}=S_{正方形BEDF}=8$，
∴ $BE^2=8$，
解得$BE=2\sqrt{2}$（线段长度为正，舍去负值）。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，割补法求面积
【点评】
本题通过构造全等三角形实现了不规则图形面积到规则图形面积的转化，解题核心是抓住已知的等线段和直角条件构造全等，较好地考查了转化的数学思想和几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
6. 如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，得到△BED，点C的对应点为点E，BE与AD交于点F；再将△EDF沿DF折叠，使点E落在长方形纸片的内部点G处。若BD平分∠ADG，AB=2，则AD的长为
$2\sqrt{2}+2$
。答案
6.$2\sqrt{2}+2$
解析
【分析】
遇到折叠类几何题，首先回忆折叠的性质：折叠前后对应边、对应角相等。本题结合矩形性质（内角为90°、对边平行）和角平分线条件，可先通过设未知角，利用角的和差关系列方程求出∠ADB的度数，再构造等腰直角三角形和等腰三角形，即可求出AD的长度。
第一步：利用矩形和第一次折叠的性质，推导角的等量关系；
第二步：结合第二次折叠和BD平分∠ADG的条件，列方程求出∠ADB=22.5°；
第三步：构造特殊直角三角形，结合等腰三角形性质计算AD的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°，AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC。
由折叠△BDC得到△BED，可知△BDC≌△BDE，
∴∠DBC=∠DBE，∠BDC=∠BDE，
∴∠ADB=∠DBE，且∠BDC=∠BDE=90°-∠ADB。
设∠ADB=α，则∠BDE=90°-α，
∴∠EDF=∠BDE - ∠ADB = 90°-α -α = 90°-2α。
由△EDF沿DF折叠得到△GDF，得∠EDF=∠GDF=90°-2α。
∵BD平分∠ADG，
∴∠ADB=∠GDB=α，
∴∠GDF=∠GDB + ∠ADB = α + α = 2α，
∴90°-2α=2α，解得α=22.5°，即∠ADB=22.5°。
在AD上取点H，使∠ABH=45°，
∵∠A=90°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴AH=AB=2，$BH=\sqrt{AB^2+AH^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
又
∵∠ABD=90°-∠ADB=90°-22.5°=67.5°，
∴∠HBD=∠ABD - ∠ABH=67.5°-45°=22.5°=∠ADB，
∴△HBD为等腰三角形，$HD=BH=2\sqrt{2}$。
∴$AD=AH + HD = 2 + 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2} + 2$。
【答案】
$2\sqrt{2}+2$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何折叠类的典型题型，综合了图形变换、矩形性质、角度计算和边长求解，解题的关键是抓住折叠前后的角的等量关系，结合角平分线条件推导得到特殊角度，再利用特殊三角形的性质计算边长，能较好地考查学生对几何等量关系的梳理能力。
【难度系数】
0.6
遇到折叠类几何题，首先回忆折叠的性质：折叠前后对应边、对应角相等。本题结合矩形性质（内角为90°、对边平行）和角平分线条件，可先通过设未知角，利用角的和差关系列方程求出∠ADB的度数，再构造等腰直角三角形和等腰三角形，即可求出AD的长度。
第一步：利用矩形和第一次折叠的性质，推导角的等量关系；
第二步：结合第二次折叠和BD平分∠ADG的条件，列方程求出∠ADB=22.5°；
第三步：构造特殊直角三角形，结合等腰三角形性质计算AD的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°，AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC。
由折叠△BDC得到△BED，可知△BDC≌△BDE，
∴∠DBC=∠DBE，∠BDC=∠BDE，
∴∠ADB=∠DBE，且∠BDC=∠BDE=90°-∠ADB。
设∠ADB=α，则∠BDE=90°-α，
∴∠EDF=∠BDE - ∠ADB = 90°-α -α = 90°-2α。
由△EDF沿DF折叠得到△GDF，得∠EDF=∠GDF=90°-2α。
∵BD平分∠ADG，
∴∠ADB=∠GDB=α，
∴∠GDF=∠GDB + ∠ADB = α + α = 2α，
∴90°-2α=2α，解得α=22.5°，即∠ADB=22.5°。
在AD上取点H，使∠ABH=45°，
∵∠A=90°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴AH=AB=2，$BH=\sqrt{AB^2+AH^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
又
∵∠ABD=90°-∠ADB=90°-22.5°=67.5°，
∴∠HBD=∠ABD - ∠ABH=67.5°-45°=22.5°=∠ADB，
∴△HBD为等腰三角形，$HD=BH=2\sqrt{2}$。
∴$AD=AH + HD = 2 + 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2} + 2$。
【答案】
$2\sqrt{2}+2$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何折叠类的典型题型，综合了图形变换、矩形性质、角度计算和边长求解，解题的关键是抓住折叠前后的角的等量关系，结合角平分线条件推导得到特殊角度，再利用特殊三角形的性质计算边长，能较好地考查学生对几何等量关系的梳理能力。
【难度系数】
0.6
7. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$E$，点$G$为$AD$的中点，连接$CG$并延长，交$BA$的延长线于点$F$，连接$DF$。
(1)求证：$AB=AF$。
(2)当$△ ABC$满足什么条件时，四边形$ACDF$为正方形？请补充条件并证明。
(1)求证：$AB=AF$。
(2)当$△ ABC$满足什么条件时，四边形$ACDF$为正方形？请补充条件并证明。
答案
7. (1)证明:$\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形，
$\therefore AB// CD,AB=DC,$
$\therefore ∠ AFG=∠ DCG$。
$\because$ 点 G 为 AD 的中点，
$\therefore AG=DG$。
$\because ∠ AGF=∠ DGC,$
$\therefore △ AFG≌△ DCG(\mathrm{AAS}),$
$\therefore AF=DC,$
$\therefore AB=AF$。
(2)解:条件为 $AB=AC,∠ BAC=90°$。证明如下：
由(1)得,$△ AFG≌△ DCG,\therefore FG=CG$。
$\because AG=DG,$
$\therefore$ 四边形 ACDF 为平行四边形。
$\because ∠ BAC=90°,$
$\therefore ∠ FAC=180°-∠ BAC=90°,$
$\therefore$ 四边形 ACDF 为矩形。
$\because AB=AC,AB=AF,$
$\therefore AC=AF,$
$\therefore$ 四边形 ACDF 为正方形。
$\therefore AB// CD,AB=DC,$
$\therefore ∠ AFG=∠ DCG$。
$\because$ 点 G 为 AD 的中点，
$\therefore AG=DG$。
$\because ∠ AGF=∠ DGC,$
$\therefore △ AFG≌△ DCG(\mathrm{AAS}),$
$\therefore AF=DC,$
$\therefore AB=AF$。
(2)解:条件为 $AB=AC,∠ BAC=90°$。证明如下：
由(1)得,$△ AFG≌△ DCG,\therefore FG=CG$。
$\because AG=DG,$
$\therefore$ 四边形 ACDF 为平行四边形。
$\because ∠ BAC=90°,$
$\therefore ∠ FAC=180°-∠ BAC=90°,$
$\therefore$ 四边形 ACDF 为矩形。
$\because AB=AC,AB=AF,$
$\therefore AC=AF,$
$\therefore$ 四边形 ACDF 为正方形。
解析
【分析】
(1)要证明$AB=AF$，结合平行四边形对边相等的性质可知$AB=CD$，因此只需证$AF=CD$即可。观察图形，$G$是$AD$中点，且$BF// CD$可得内错角相等，结合对顶角相等，可通过AAS证明$△ AFG≌△ DCG$，得到$AF=CD$，进而推出$AB=AF$。
(2)要判断四边形$ACDF$为正方形的条件，首先由(1)的全等结论可得$FG=CG$，结合$AG=DG$可先证得四边形$ACDF$是平行四边形；根据正方形的判定规则，需先使平行四边形变为矩形（有一个内角为直角），再使矩形变为正方形（邻边相等），逆向推导可得需要$∠ BAC=90°$（保证$∠ FAC$为直角）、$AB=AC$（保证$AC=AF$），因此补充条件为$AB=AC$且$∠ BAC=90°$，再顺向证明即可。
【解析】
(1)证明：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB// CD,AB=DC$，
$\therefore ∠ AFG=∠ DCG$。
$\because$ 点$G$为$AD$的中点，
$\therefore AG=DG$。
$\because ∠ AGF=∠ DGC$，
$\therefore △ AFG≌△ DCG(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AF=DC$，
又$\because AB=DC$，
$\therefore AB=AF$。
(2)解：补充条件为$AB=AC,∠ BAC=90°$。证明如下：
由(1)得，$△ AFG≌△ DCG,\therefore FG=CG$。
$\because AG=DG$，
$\therefore$ 四边形$ACDF$为平行四边形。
$\because ∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ FAC=180°-∠ BAC=90°$，
$\therefore$ 四边形$ACDF$为矩形。
$\because AB=AC,AB=AF$，
$\therefore AC=AF$，
$\therefore$ 四边形$ACDF$为正方形。
【答案】
(1)$AB=AF$，证明成立；
(2)当$△ ABC$满足$AB=AC,∠ BAC=90°$时，四边形$ACDF$为正方形，证明成立。
【知识点】
平行四边形的性质与判定；全等三角形的判定；正方形的判定
【点评】
本题综合考查了全等三角形、平行四边形、正方形的相关知识，第一问侧重基础，需结合平行四边形性质寻找全等的条件；第二问为条件开放题，需要熟练掌握正方形的判定定理，通过逆向推导确定所需条件，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明$AB=AF$，结合平行四边形对边相等的性质可知$AB=CD$，因此只需证$AF=CD$即可。观察图形，$G$是$AD$中点，且$BF// CD$可得内错角相等，结合对顶角相等，可通过AAS证明$△ AFG≌△ DCG$，得到$AF=CD$，进而推出$AB=AF$。
(2)要判断四边形$ACDF$为正方形的条件，首先由(1)的全等结论可得$FG=CG$，结合$AG=DG$可先证得四边形$ACDF$是平行四边形；根据正方形的判定规则，需先使平行四边形变为矩形（有一个内角为直角），再使矩形变为正方形（邻边相等），逆向推导可得需要$∠ BAC=90°$（保证$∠ FAC$为直角）、$AB=AC$（保证$AC=AF$），因此补充条件为$AB=AC$且$∠ BAC=90°$，再顺向证明即可。
【解析】
(1)证明：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB// CD,AB=DC$，
$\therefore ∠ AFG=∠ DCG$。
$\because$ 点$G$为$AD$的中点，
$\therefore AG=DG$。
$\because ∠ AGF=∠ DGC$，
$\therefore △ AFG≌△ DCG(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AF=DC$，
又$\because AB=DC$，
$\therefore AB=AF$。
(2)解：补充条件为$AB=AC,∠ BAC=90°$。证明如下：
由(1)得，$△ AFG≌△ DCG,\therefore FG=CG$。
$\because AG=DG$，
$\therefore$ 四边形$ACDF$为平行四边形。
$\because ∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ FAC=180°-∠ BAC=90°$，
$\therefore$ 四边形$ACDF$为矩形。
$\because AB=AC,AB=AF$，
$\therefore AC=AF$，
$\therefore$ 四边形$ACDF$为正方形。
【答案】
(1)$AB=AF$，证明成立；
(2)当$△ ABC$满足$AB=AC,∠ BAC=90°$时，四边形$ACDF$为正方形，证明成立。
【知识点】
平行四边形的性质与判定；全等三角形的判定；正方形的判定
【点评】
本题综合考查了全等三角形、平行四边形、正方形的相关知识，第一问侧重基础，需结合平行四边形性质寻找全等的条件；第二问为条件开放题，需要熟练掌握正方形的判定定理，通过逆向推导确定所需条件，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
