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1. 如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,下列能判定四边形ABCD是正方形的条件是(
A.$AO=BO=CO=DO,AC⊥ BD$
B.$AC=BC=CD=DA$
C.$AO=CO,BO=DO,AC⊥ BD$
D.$AB=BC,CD⊥ DA$
（第1题）
A
)。A.$AO=BO=CO=DO,AC⊥ BD$
B.$AC=BC=CD=DA$
C.$AO=CO,BO=DO,AC⊥ BD$
D.$AB=BC,CD⊥ DA$
（第1题）答案
1.A
解析
【分析】
要判定四边形是正方形，需明确正方形同时具备矩形和菱形的特征，即既要满足矩形的判定条件，也要满足菱形的判定条件。解题时先回忆各类特殊四边形的判定定理，再逐一分析每个选项的条件，判断是否同时满足矩形和菱形的判定要求即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：由$AO=BO=CO=DO$可得，四边形ABCD的对角线互相平分且相等，根据矩形的判定定理，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，因此四边形ABCD是矩形；又$AC⊥ BD$，根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”，可判定该四边形是正方形，符合要求。
选项B：$AC=BC=CD=DA$仅能说明三条边与对角线AC相等，无法证明四边形同时具备矩形和菱形的特征，不能判定为正方形。
选项C：$AO=CO,BO=DO$说明四边形对角线互相平分，是平行四边形，又$AC⊥ BD$，可判定该平行四边形是菱形，但缺少矩形的判定条件，无法判定为正方形。
选项D：$AB=BC,CD⊥ DA$仅给出一组邻边相等和一个直角的线索，既不能判定是平行四边形，也不满足正方形的判定条件，无法判定。
综上只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
正方形的判定、矩形的判定、菱形的判定
【点评】
本题考查特殊四边形的判定，解题关键是明确正方形的判定思路：需先判定四边形为矩形或菱形，再补充对应的菱形或矩形的特征条件即可判定为正方形，熟练掌握各类特殊四边形的判定定理就能快速排除错误选项。
【难度系数】
0.8
要判定四边形是正方形，需明确正方形同时具备矩形和菱形的特征，即既要满足矩形的判定条件，也要满足菱形的判定条件。解题时先回忆各类特殊四边形的判定定理，再逐一分析每个选项的条件，判断是否同时满足矩形和菱形的判定要求即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：由$AO=BO=CO=DO$可得，四边形ABCD的对角线互相平分且相等，根据矩形的判定定理，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，因此四边形ABCD是矩形；又$AC⊥ BD$，根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”，可判定该四边形是正方形，符合要求。
选项B：$AC=BC=CD=DA$仅能说明三条边与对角线AC相等，无法证明四边形同时具备矩形和菱形的特征，不能判定为正方形。
选项C：$AO=CO,BO=DO$说明四边形对角线互相平分，是平行四边形，又$AC⊥ BD$，可判定该平行四边形是菱形，但缺少矩形的判定条件，无法判定为正方形。
选项D：$AB=BC,CD⊥ DA$仅给出一组邻边相等和一个直角的线索，既不能判定是平行四边形，也不满足正方形的判定条件，无法判定。
综上只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
正方形的判定、矩形的判定、菱形的判定
【点评】
本题考查特殊四边形的判定，解题关键是明确正方形的判定思路：需先判定四边形为矩形或菱形，再补充对应的菱形或矩形的特征条件即可判定为正方形，熟练掌握各类特殊四边形的判定定理就能快速排除错误选项。
【难度系数】
0.8
2. 如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，点A落在BC上的点F处，连接EF，将纸片展开并铺平，则四边形ABFE是正方形。推理的依据是（
A.对角线相等的菱形是正方形
B.有一组邻边相等的矩形是正方形
C.两个全等的直角三角形拼成正方形
D.轴对称图形是正方形
B
）。A.对角线相等的菱形是正方形
B.有一组邻边相等的矩形是正方形
C.两个全等的直角三角形拼成正方形
D.轴对称图形是正方形
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先明确四边形ABCD是矩形，可得其内角为直角；再结合折叠的性质得到对应边相等、对应角相等，先判断四边形ABFE的形状为矩形，再结合邻边相等的条件，对应正方形的判定定理即可选出正确选项。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABF=90°，
由折叠的性质可知：AB=BF，∠BFE=∠A=90°，
∴∠A=∠ABF=∠BFE=90°，
∴四边形ABFE是矩形（三个角是直角的四边形是矩形），
又
∵AB=BF，即该矩形有一组邻边相等，
∴根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”，可得四边形ABFE是正方形，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
正方形的判定，矩形的性质，折叠的性质
【点评】
本题属于基础题，主要结合折叠性质与矩形的性质考查正方形的判定，解题关键是先推导得出四边形ABFE是矩形，再找到邻边相等的条件即可得出结论。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先明确四边形ABCD是矩形，可得其内角为直角；再结合折叠的性质得到对应边相等、对应角相等，先判断四边形ABFE的形状为矩形，再结合邻边相等的条件，对应正方形的判定定理即可选出正确选项。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABF=90°，
由折叠的性质可知：AB=BF，∠BFE=∠A=90°，
∴∠A=∠ABF=∠BFE=90°，
∴四边形ABFE是矩形（三个角是直角的四边形是矩形），
又
∵AB=BF，即该矩形有一组邻边相等，
∴根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”，可得四边形ABFE是正方形，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
正方形的判定，矩形的性质，折叠的性质
【点评】
本题属于基础题，主要结合折叠性质与矩形的性质考查正方形的判定，解题关键是先推导得出四边形ABFE是矩形，再找到邻边相等的条件即可得出结论。
【难度系数】
0.8
3. 如图，D是$△ ABC$内一点，$AD⊥ BC$，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，添加一个条件后，能判定四边形EFGH为正方形，添加的条件可以是（
A.$BD=CD$
B.$BD⊥ CD$
C.$AD=BC$
D.$AB=AC$
C
）。A.$BD=CD$
B.$BD⊥ CD$
C.$AD=BC$
D.$AB=AC$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时先利用三角形中位线定理确定四边形EFGH的初始形状：首先由中点性质推导得EFGH是平行四边形，再结合AD⊥BC的条件证明该平行四边形是矩形；最后根据正方形的判定规则（邻边相等的矩形是正方形），推导得出需要补充的边相等的条件，对应选项即可选出答案。
【解析】
1. 证明四边形EFGH是平行四边形：
∵E、H分别是AB、AC的中点，
∴EH是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：$\boldsymbol{EH// BC}$，$\boldsymbol{EH=\frac{1}{2}BC}$。
同理，F、G分别是BD、CD的中点，FG是△BCD的中位线，可得：$\boldsymbol{FG// BC}$，$\boldsymbol{FG=\frac{1}{2}BC}$。
∴EH//FG，且EH=FG，因此四边形EFGH是平行四边形。
2. 证明平行四边形EFGH是矩形：
∵E、F分别是AB、BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，可得：$\boldsymbol{EF// AD}$，$\boldsymbol{EF=\frac{1}{2}AD}$。
已知AD⊥BC，结合EH//BC、EF//AD，可得EF⊥EH，即∠FEH=90°。
∴有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此四边形EFGH是矩形。
3. 推导使矩形变为正方形的条件：
正方形的判定要求矩形的邻边相等，即需要EF=EH。
代入EF=$\frac{1}{2}$AD，EH=$\frac{1}{2}$BC，可得：当$\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$，即AD=BC时，EF=EH，此时矩形EFGH是正方形。
因此添加的条件为AD=BC，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理，矩形的判定，正方形的判定
【点评】
本题属于中点四边形类的基础综合题，核心是熟练运用三角形中位线的性质，结合特殊平行四边形的判定规则逐步推导，明确中点四边形的形状由原四边形对角线的位置和数量关系决定，即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先利用三角形中位线定理确定四边形EFGH的初始形状：首先由中点性质推导得EFGH是平行四边形，再结合AD⊥BC的条件证明该平行四边形是矩形；最后根据正方形的判定规则（邻边相等的矩形是正方形），推导得出需要补充的边相等的条件，对应选项即可选出答案。
【解析】
1. 证明四边形EFGH是平行四边形：
∵E、H分别是AB、AC的中点，
∴EH是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：$\boldsymbol{EH// BC}$，$\boldsymbol{EH=\frac{1}{2}BC}$。
同理，F、G分别是BD、CD的中点，FG是△BCD的中位线，可得：$\boldsymbol{FG// BC}$，$\boldsymbol{FG=\frac{1}{2}BC}$。
∴EH//FG，且EH=FG，因此四边形EFGH是平行四边形。
2. 证明平行四边形EFGH是矩形：
∵E、F分别是AB、BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，可得：$\boldsymbol{EF// AD}$，$\boldsymbol{EF=\frac{1}{2}AD}$。
已知AD⊥BC，结合EH//BC、EF//AD，可得EF⊥EH，即∠FEH=90°。
∴有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此四边形EFGH是矩形。
3. 推导使矩形变为正方形的条件：
正方形的判定要求矩形的邻边相等，即需要EF=EH。
代入EF=$\frac{1}{2}$AD，EH=$\frac{1}{2}$BC，可得：当$\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$，即AD=BC时，EF=EH，此时矩形EFGH是正方形。
因此添加的条件为AD=BC，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理，矩形的判定，正方形的判定
【点评】
本题属于中点四边形类的基础综合题，核心是熟练运用三角形中位线的性质，结合特殊平行四边形的判定规则逐步推导，明确中点四边形的形状由原四边形对角线的位置和数量关系决定，即可快速解题。
【难度系数】
0.7
4. 如图，AD是$△ ABC$的中线，$AB=AC$，$∠ BAC=90°$，过点D分别作$DE // AB$交AC于点E，$DF // AC$交AB于点F，证明：四边形AEDF是正方形。
答案
4. 证明:$\because DE// AB, DF// AC,$
$\therefore$ 四边形 AEDF 是平行四边形，$∠ EAD=∠ ADF$。
$\because ∠ BAC=90°,$
$\therefore$ 四边形 AEDF 是矩形。
$\because AB=AC,AD$ 是$△ ABC$ 的中线，
$\therefore AD$ 是$∠ BAC$ 的平分线，
$\therefore ∠ EAD=∠ DAF,$
$\therefore ∠ ADF=∠ DAF$。
$\therefore DF=AF,$
$\therefore$ 四边形 AEDF 是正方形。
$\therefore$ 四边形 AEDF 是平行四边形，$∠ EAD=∠ ADF$。
$\because ∠ BAC=90°,$
$\therefore$ 四边形 AEDF 是矩形。
$\because AB=AC,AD$ 是$△ ABC$ 的中线，
$\therefore AD$ 是$∠ BAC$ 的平分线，
$\therefore ∠ EAD=∠ DAF,$
$\therefore ∠ ADF=∠ DAF$。
$\therefore DF=AF,$
$\therefore$ 四边形 AEDF 是正方形。
解析
【分析】
要证明四边形AEDF是正方形，可按“先证平行四边形，再证矩形，最后证邻边相等得正方形”的思路推导：首先根据两组对边分别平行判定四边形是平行四边形；再结合∠BAC=90°，判定该平行四边形为矩形；最后利用等腰三角形三线合一的性质得角相等，结合平行线的内错角相等推导出邻边相等，即可得邻边相等的矩形是正方形。
【解析】
证明：$\because DE// AB, DF// AC,$
$\therefore$ 四边形AEDF是平行四边形，$∠ EAD=∠ ADF$。
$\because ∠ BAC=90°,$
$\therefore$ 四边形AEDF是矩形。
$\because AB=AC,AD$是$△ ABC$的中线，
$\therefore AD$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore ∠ EAD=∠ DAF,$
$\therefore ∠ ADF=∠ DAF$。
$\therefore DF=AF,$
$\therefore$ 四边形AEDF是正方形。
【答案】
证明：$\because DE// AB, DF// AC,$
$\therefore$ 四边形AEDF是平行四边形，$∠ EAD=∠ ADF$。
$\because ∠ BAC=90°,$
$\therefore$ 四边形AEDF是矩形。
$\because AB=AC,AD$是$△ ABC$的中线，
$\therefore AD$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore ∠ EAD=∠ DAF,$
$\therefore ∠ ADF=∠ DAF$。
$\therefore DF=AF,$
$\therefore$ 四边形AEDF是正方形。
【知识点】
平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定
【点评】
本题属于特殊四边形判定的基础题型，重点考察平行四边形、矩形、正方形的判定定理及等腰三角形三线合一的性质，解题时需理清证明的逻辑顺序，做到每一步推导都有对应的定理依据，避免跳步。
【难度系数】
0.8
要证明四边形AEDF是正方形，可按“先证平行四边形，再证矩形，最后证邻边相等得正方形”的思路推导：首先根据两组对边分别平行判定四边形是平行四边形；再结合∠BAC=90°，判定该平行四边形为矩形；最后利用等腰三角形三线合一的性质得角相等，结合平行线的内错角相等推导出邻边相等，即可得邻边相等的矩形是正方形。
【解析】
证明：$\because DE// AB, DF// AC,$
$\therefore$ 四边形AEDF是平行四边形，$∠ EAD=∠ ADF$。
$\because ∠ BAC=90°,$
$\therefore$ 四边形AEDF是矩形。
$\because AB=AC,AD$是$△ ABC$的中线，
$\therefore AD$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore ∠ EAD=∠ DAF,$
$\therefore ∠ ADF=∠ DAF$。
$\therefore DF=AF,$
$\therefore$ 四边形AEDF是正方形。
【答案】
证明：$\because DE// AB, DF// AC,$
$\therefore$ 四边形AEDF是平行四边形，$∠ EAD=∠ ADF$。
$\because ∠ BAC=90°,$
$\therefore$ 四边形AEDF是矩形。
$\because AB=AC,AD$是$△ ABC$的中线，
$\therefore AD$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore ∠ EAD=∠ DAF,$
$\therefore ∠ ADF=∠ DAF$。
$\therefore DF=AF,$
$\therefore$ 四边形AEDF是正方形。
【知识点】
平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定
【点评】
本题属于特殊四边形判定的基础题型，重点考察平行四边形、矩形、正方形的判定定理及等腰三角形三线合一的性质，解题时需理清证明的逻辑顺序，做到每一步推导都有对应的定理依据，避免跳步。
【难度系数】
0.8
1. 下列命题是真命题的是(
A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形
C.对角线相等的菱形是正方形
D.有一个角是直角的四边形是矩形
C
)。A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形
C.对角线相等的菱形是正方形
D.有一个角是直角的四边形是矩形
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查特殊四边形的判定相关知识，解题时需逐个分析每个选项，结合平行四边形、菱形、正方形、矩形的判定定理，对不符合定理的选项通过举反例排除，最终选出真命题即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故该选项是假命题；
B. 只有两条对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，仅一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形不是菱形，故该选项是假命题；
C. 菱形的四边相等、对角线互相垂直，若对角线还相等，则满足正方形的判定条件，即对角线相等的菱形是正方形，故该选项是真命题；
D. 有一个角是直角的四边形可能是直角梯形等，只有有一个角是直角的平行四边形才是矩形，故该选项是假命题。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的判定
【点评】
本题重点考查各类特殊四边形判定定理的应用，易错点是忽略判定定理的前提条件，解题时可通过举常见反例快速排除错误选项，日常学习要理清不同特殊四边形的判定条件的区别与联系。
【难度系数】
0.7
本题考查特殊四边形的判定相关知识，解题时需逐个分析每个选项，结合平行四边形、菱形、正方形、矩形的判定定理，对不符合定理的选项通过举反例排除，最终选出真命题即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故该选项是假命题；
B. 只有两条对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，仅一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形不是菱形，故该选项是假命题；
C. 菱形的四边相等、对角线互相垂直，若对角线还相等，则满足正方形的判定条件，即对角线相等的菱形是正方形，故该选项是真命题；
D. 有一个角是直角的四边形可能是直角梯形等，只有有一个角是直角的平行四边形才是矩形，故该选项是假命题。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的判定
【点评】
本题重点考查各类特殊四边形判定定理的应用，易错点是忽略判定定理的前提条件，解题时可通过举常见反例快速排除错误选项，日常学习要理清不同特殊四边形的判定条件的区别与联系。
【难度系数】
0.7
2. 如图，$△ ACE$是边长为2的等边三角形，EO为$△ ACE$的中线，在EO上截取$OD=AO$，连接AD，DC，作$△ ADC$关于直线AC对称的三角形ABC，则DE的长为（
A.$\sqrt{3}$
B.$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}-1$
D
）。A.$\sqrt{3}$
B.$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}-1$
答案
2.D
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先利用等边三角形“三线合一”的性质，得出中线EO同时是AC边上的高，且O是AC中点，计算出AO和EO的长度；第二步，根据轴对称的性质判断E、O、D三点共线，结合已知OD=AO得到OD的长度；第三步，根据线段和差关系，用EO减去OD即可得到DE的长度。
【解析】
解：
∵△ACE是边长为2的等边三角形，EO是△ACE的中线，
∴根据等边三角形“三线合一”的性质，得$EO⊥ AC$，$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2=1$，
在$Rt△ AEO$中，由勾股定理得：
$EO=\sqrt{AE^2-AO^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
由轴对称的性质可知，AC垂直平分BD，结合$EO⊥ AC$，可得E、O、D三点共线，
又
∵$OD=AO$，
∴$OD=1$，
∴$DE=EO-OD=\sqrt{3}-1$。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；勾股定理；轴对称的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，侧重考查核心几何性质的简单应用，解题的关键是熟练掌握等边三角形三线合一的特点，准确判断三点共线，结合勾股定理计算线段长度，是平面几何的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先利用等边三角形“三线合一”的性质，得出中线EO同时是AC边上的高，且O是AC中点，计算出AO和EO的长度；第二步，根据轴对称的性质判断E、O、D三点共线，结合已知OD=AO得到OD的长度；第三步，根据线段和差关系，用EO减去OD即可得到DE的长度。
【解析】
解：
∵△ACE是边长为2的等边三角形，EO是△ACE的中线，
∴根据等边三角形“三线合一”的性质，得$EO⊥ AC$，$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2=1$，
在$Rt△ AEO$中，由勾股定理得：
$EO=\sqrt{AE^2-AO^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
由轴对称的性质可知，AC垂直平分BD，结合$EO⊥ AC$，可得E、O、D三点共线，
又
∵$OD=AO$，
∴$OD=1$，
∴$DE=EO-OD=\sqrt{3}-1$。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；勾股定理；轴对称的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，侧重考查核心几何性质的简单应用，解题的关键是熟练掌握等边三角形三线合一的特点，准确判断三点共线，结合勾股定理计算线段长度，是平面几何的常考题型。
【难度系数】
0.7
