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8. 如图,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合),GE⊥CD于点E,GF⊥BC于点F,连接AG。
(1)猜想AG,GE,GF之间的数量关系,并说明理由;
(2)若正方形ABCD的边长为2,∠AGF=105°,求BG的长。
(1)猜想AG,GE,GF之间的数量关系,并说明理由;
(2)若正方形ABCD的边长为2,∠AGF=105°,求BG的长。
答案
8.解:(1)$AG^2=GE^2+GF^2$。理由如下：
如图①,连接$CG$。
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore A,C$关于对角线$BD$所在的直线对称。
$\because$ 点$G$在$BD$上,$\therefore AG=CG$。
$\because GE⊥ CD$于点$E$,$GF⊥ BC$于点$F$，
$\therefore ∠ GEC=∠ ECF=∠ CFG=90°$，
$\therefore$ 四边形$EGFC$是矩形,$\therefore CF=GE$。
在$\mathrm{Rt}△ GFC$中,由勾股定理,得
$CG^2=CF^2+GF^2$，
$\therefore AG^2=GE^2+GF^2$。
(2)如图②,过点$A$作$AM⊥ BD$于点$M$，
$\therefore ∠ AMB=∠ AMG=90°$。
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore ∠ BAD=∠ ABC=90°,AB=AD$，
$\therefore ∠ ABG=\frac{1}{2}(180°-∠ BAD)=45°$，
$\therefore ∠ FBG=∠ ABC-∠ ABG=45°$，
$∠ BAM=180°-∠ AMB-∠ ABG=45°$，
$\therefore ∠ ABG=∠ BAM=45°,\therefore BM=AM$。
$\because ∠ BFG=∠ CFG=90°$，
$\therefore ∠ FGB=90°-∠ FBG=45°$。
$\because ∠ AGF=105°$，
$\therefore ∠ AGB=∠ AGF-∠ FGB=60°$。
$\because ∠ AMG=90°$，
$\therefore ∠ GAM=90°-∠ AGB=30°$，
$\therefore AG=2GM$。
$\because$ 正方形$ABCD$的边长为$2$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ABM$中,由勾股定理,得
$AM^2+BM^2=AB^2=2^2$，
解得$AM=BM=\sqrt{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ AGM$中,由勾股定理,得
$AM^2+GM^2=AG^2$，
$\therefore (\sqrt{2})^2+GM^2=4GM^2$，解得$GM=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
$\therefore BG=BM+GM=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}$。
解析
【分析】
(1)要推导AG、GE、GF的数量关系，可利用正方形对角线的对称性，将AG转化为CG；再由GE⊥CD、GF⊥BC，可判定四边形GECF是矩形，得到CF=GE，最后在Rt△GFC中运用勾股定理即可建立三条线段的等量关系。
(2)求BG的长度，先根据正方形的性质得到对角线与边的夹角为45°，结合已知∠AGF=105°，可算出∠AGB=60°；过点A作AM⊥BD，构造等腰直角△ABM和含30°角的Rt△AGM，先由正方形边长求出AM、BM的长度，再利用勾股定理求出GM的长度，相加即可得到BG的长度。
【解析】
(1) $AG^2=GE^2+GF^2$，理由如下：
如图①，连接$CG$。
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore A,C$关于对角线$BD$所在的直线对称。
$\because$ 点$G$在$BD$上，$\therefore AG=CG$。
$\because GE⊥CD$于点$E$，$GF⊥BC$于点$F$，
$\therefore ∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°$，
$\therefore$ 四边形$EGFC$是矩形，$\therefore CF=GE$。
在$\mathrm{Rt}△GFC$中，由勾股定理，得
$CG^2=CF^2+GF^2$，
$\therefore AG^2=GE^2+GF^2$。
(2) 如图②，过点$A$作$AM⊥BD$于点$M$，
$\therefore ∠AMB=∠AMG=90°$。
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore ∠BAD=∠ABC=90°,AB=AD$，
$\therefore ∠ABG=\frac{1}{2}(180°-∠BAD)=45°$，
$\therefore ∠FBG=∠ABC-∠ABG=45°$，
$∠BAM=180°-∠AMB-∠ABG=45°$，
$\therefore ∠ABG=∠BAM=45°,\therefore BM=AM$。
$\because ∠BFG=∠CFG=90°$，
$\therefore ∠FGB=90°-∠FBG=45°$。
$\because ∠AGF=105°$，
$\therefore ∠AGB=∠AGF-∠FGB=60°$。
$\because ∠AMG=90°$，
$\therefore ∠GAM=90°-∠AGB=30°$，
$\therefore AG=2GM$。
$\because$ 正方形$ABCD$的边长为$2$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ABM$中，由勾股定理，得
$AM^2+BM^2=AB^2=2^2$，
解得$AM=BM=\sqrt{2}$。
在$\mathrm{Rt}△AGM$中，由勾股定理，得
$AM^2+GM^2=AG^2$，
$\therefore (\sqrt{2})^2+GM^2=4GM^2$，解得$GM=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
$\therefore BG=BM+GM=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}$。
【答案】
(1)$AG^2=GE^2+GF^2$；
(2)$BG=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}$
【知识点】
正方形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合题，将正方形、矩形的性质与勾股定理结合考查，通过作辅助线转化线段、角度关系是解题的关键，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1)要推导AG、GE、GF的数量关系，可利用正方形对角线的对称性，将AG转化为CG；再由GE⊥CD、GF⊥BC，可判定四边形GECF是矩形，得到CF=GE，最后在Rt△GFC中运用勾股定理即可建立三条线段的等量关系。
(2)求BG的长度，先根据正方形的性质得到对角线与边的夹角为45°，结合已知∠AGF=105°，可算出∠AGB=60°；过点A作AM⊥BD，构造等腰直角△ABM和含30°角的Rt△AGM，先由正方形边长求出AM、BM的长度，再利用勾股定理求出GM的长度，相加即可得到BG的长度。
【解析】
(1) $AG^2=GE^2+GF^2$，理由如下：
如图①，连接$CG$。
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore A,C$关于对角线$BD$所在的直线对称。
$\because$ 点$G$在$BD$上，$\therefore AG=CG$。
$\because GE⊥CD$于点$E$，$GF⊥BC$于点$F$，
$\therefore ∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°$，
$\therefore$ 四边形$EGFC$是矩形，$\therefore CF=GE$。
在$\mathrm{Rt}△GFC$中，由勾股定理，得
$CG^2=CF^2+GF^2$，
$\therefore AG^2=GE^2+GF^2$。
(2) 如图②，过点$A$作$AM⊥BD$于点$M$，
$\therefore ∠AMB=∠AMG=90°$。
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore ∠BAD=∠ABC=90°,AB=AD$，
$\therefore ∠ABG=\frac{1}{2}(180°-∠BAD)=45°$，
$\therefore ∠FBG=∠ABC-∠ABG=45°$，
$∠BAM=180°-∠AMB-∠ABG=45°$，
$\therefore ∠ABG=∠BAM=45°,\therefore BM=AM$。
$\because ∠BFG=∠CFG=90°$，
$\therefore ∠FGB=90°-∠FBG=45°$。
$\because ∠AGF=105°$，
$\therefore ∠AGB=∠AGF-∠FGB=60°$。
$\because ∠AMG=90°$，
$\therefore ∠GAM=90°-∠AGB=30°$，
$\therefore AG=2GM$。
$\because$ 正方形$ABCD$的边长为$2$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ABM$中，由勾股定理，得
$AM^2+BM^2=AB^2=2^2$，
解得$AM=BM=\sqrt{2}$。
在$\mathrm{Rt}△AGM$中，由勾股定理，得
$AM^2+GM^2=AG^2$，
$\therefore (\sqrt{2})^2+GM^2=4GM^2$，解得$GM=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
$\therefore BG=BM+GM=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}$。
【答案】
(1)$AG^2=GE^2+GF^2$；
(2)$BG=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}$
【知识点】
正方形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合题，将正方形、矩形的性质与勾股定理结合考查，通过作辅助线转化线段、角度关系是解题的关键，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
9.【综合与实践】如图,在正方形ABCD中,点G是平面内一点,将CG绕点C按顺时针方向旋转90°得到CE,连接DE,EG,连接BG并延长,交DE于点H,连接CH。
(1)探究BG与DE之间的数量及位置关系,并说明理由；
(2)已知AB=6,将CG绕点C旋转一周,当CH=4时,求DH的长。
(1)探究BG与DE之间的数量及位置关系,并说明理由；
(2)已知AB=6,将CG绕点C旋转一周,当CH=4时,求DH的长。
答案
9.解:(1)$BG=DE,BG⊥ DE$。理由如下：
如图①,设$DC$,$BH$相交于点$F$。
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore BC=DC,∠ BCD=90°$。
由旋转得,$∠ GCE=90°,CG=CE$，
$\therefore ∠ BCG=∠ DCE$，
$\therefore △ BCG≌△ DCE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BG=DE,∠ CBG=∠ CDE$，
即$∠ CBF=∠ FDH$。
$\because ∠ BFC=∠ DFH$，
$\therefore ∠ DHF=∠ BCF=90°$，
$\therefore BG⊥ DE$。
(2)如图②,在$BH$上取$BM=DH$,连接$CM$，
过点$C$作$CN⊥ BH$于点$N$，
则$∠ BNC=90°$。
由(1)知,$∠ CBM=∠ CDH$。
在$△ BCM$和$△ DCH$中，
$\begin{cases} BM=DH, \\ ∠ CBM=∠ CDH, \\ BC=DC, \end{cases}$
$\therefore △ BCM≌△ DCH(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ BCM=∠ DCH,CM=CH=4$，
$\therefore ∠ MCH=∠ BCD=90°$，
$\therefore △ MCH$是等腰直角三角形。
由勾股定理,得
$MH=\sqrt{CM^2+CH^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
$\because CN⊥ BH$，
$\therefore CN=MN=HN=\frac{1}{2}MH=2\sqrt{2}$。
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形,$AB=6$，
$\therefore BC=AB=6$。
在$\mathrm{Rt}△ BCN$中,由勾股定理,得
$BN=\sqrt{BC^2-CN^2}=\sqrt{6^2-(2\sqrt{2})^2}=2\sqrt{7}$，
$\therefore DH=BM=BN-MN=2\sqrt{7}-2\sqrt{2}$。
解析
【分析】
(1) 探究BG和DE的关系时，先结合正方形性质得到边相等和直角的条件，再根据旋转的性质得到对应边相等、旋转角为90°，推导得出夹角相等，即可证明△BCG和△DCE全等，由全等性质得到边相等，再通过角的等量代换证明两线的夹角为90°，得到垂直关系。
(2) 求DH的长度时，可通过构造全等转化线段：在BH上截取BM=DH，先证△BCM≌△DCH，得到CM=CH且∠MCH为90°，推出△MCH是等腰直角三角形，用勾股定理算出MH的长度，再作CN⊥BH，结合等腰直角三角形性质得到MN、CN的长度，最后在Rt△BCN中用勾股定理算出BN，即可得到DH=BM=BN-MN的结果。
【解析】
(1)$BG=DE,BG⊥ DE$。理由如下：
如图①,设$DC$,$BH$相交于点$F$。
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore BC=DC,∠ BCD=90°$。
由旋转得,$∠ GCE=90°,CG=CE$，
$\therefore ∠ BCG=∠ DCE$，
$\therefore △ BCG≌△ DCE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BG=DE,∠ CBG=∠ CDE$，
即$∠ CBF=∠ FDH$。
$\because ∠ BFC=∠ DFH$，
$\therefore ∠ DHF=∠ BCF=90°$，
$\therefore BG⊥ DE$。
(2)如图②,在$BH$上取$BM=DH$,连接$CM$，
过点$C$作$CN⊥ BH$于点$N$，
则$∠ BNC=90°$。
由(1)知,$∠ CBM=∠ CDH$。
在$△ BCM$和$△ DCH$中，
$\begin{cases} BM=DH, \\ ∠ CBM=∠ CDH, \\ BC=DC, \end{cases}$
$\therefore △ BCM≌△ DCH(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ BCM=∠ DCH,CM=CH=4$，
$\therefore ∠ MCH=∠ BCD=90°$，
$\therefore △ MCH$是等腰直角三角形。
由勾股定理,得
$MH=\sqrt{CM^2+CH^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
$\because CN⊥ BH$，
$\therefore CN=MN=HN=\frac{1}{2}MH=2\sqrt{2}$。
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形,$AB=6$，
$\therefore BC=AB=6$。
在$\mathrm{Rt}△ BCN$中,由勾股定理,得
$BN=\sqrt{BC^2-CN^2}=\sqrt{6^2-(2\sqrt{2})^2}=2\sqrt{7}$，
$\therefore DH=BM=BN-MN=2\sqrt{7}-2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $BG=DE$，$BG⊥ DE$，理由见解析；
(2) $DH$的长为$2\sqrt{7}-2\sqrt{2}$。
【知识点】
1. 正方形的性质
2. 旋转的性质
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，融合了正方形、旋转、全等三角形、勾股定理等知识点，第一问属于基础的旋转全等模型，难度较低；第二问需要通过截长补短构造全等三角形实现线段转化，对学生的辅助线构造能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 探究BG和DE的关系时，先结合正方形性质得到边相等和直角的条件，再根据旋转的性质得到对应边相等、旋转角为90°，推导得出夹角相等，即可证明△BCG和△DCE全等，由全等性质得到边相等，再通过角的等量代换证明两线的夹角为90°，得到垂直关系。
(2) 求DH的长度时，可通过构造全等转化线段：在BH上截取BM=DH，先证△BCM≌△DCH，得到CM=CH且∠MCH为90°，推出△MCH是等腰直角三角形，用勾股定理算出MH的长度，再作CN⊥BH，结合等腰直角三角形性质得到MN、CN的长度，最后在Rt△BCN中用勾股定理算出BN，即可得到DH=BM=BN-MN的结果。
【解析】
(1)$BG=DE,BG⊥ DE$。理由如下：
如图①,设$DC$,$BH$相交于点$F$。
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore BC=DC,∠ BCD=90°$。
由旋转得,$∠ GCE=90°,CG=CE$，
$\therefore ∠ BCG=∠ DCE$，
$\therefore △ BCG≌△ DCE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BG=DE,∠ CBG=∠ CDE$，
即$∠ CBF=∠ FDH$。
$\because ∠ BFC=∠ DFH$，
$\therefore ∠ DHF=∠ BCF=90°$，
$\therefore BG⊥ DE$。
(2)如图②,在$BH$上取$BM=DH$,连接$CM$，
过点$C$作$CN⊥ BH$于点$N$，
则$∠ BNC=90°$。
由(1)知,$∠ CBM=∠ CDH$。
在$△ BCM$和$△ DCH$中，
$\begin{cases} BM=DH, \\ ∠ CBM=∠ CDH, \\ BC=DC, \end{cases}$
$\therefore △ BCM≌△ DCH(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ BCM=∠ DCH,CM=CH=4$，
$\therefore ∠ MCH=∠ BCD=90°$，
$\therefore △ MCH$是等腰直角三角形。
由勾股定理,得
$MH=\sqrt{CM^2+CH^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
$\because CN⊥ BH$，
$\therefore CN=MN=HN=\frac{1}{2}MH=2\sqrt{2}$。
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形,$AB=6$，
$\therefore BC=AB=6$。
在$\mathrm{Rt}△ BCN$中,由勾股定理,得
$BN=\sqrt{BC^2-CN^2}=\sqrt{6^2-(2\sqrt{2})^2}=2\sqrt{7}$，
$\therefore DH=BM=BN-MN=2\sqrt{7}-2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $BG=DE$，$BG⊥ DE$，理由见解析；
(2) $DH$的长为$2\sqrt{7}-2\sqrt{2}$。
【知识点】
1. 正方形的性质
2. 旋转的性质
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，融合了正方形、旋转、全等三角形、勾股定理等知识点，第一问属于基础的旋转全等模型，难度较低；第二问需要通过截长补短构造全等三角形实现线段转化，对学生的辅助线构造能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
