登录
2. 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在边AB上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为（
A.3
B.4
C.5
D.6
C
）。A.3
B.4
C.5
D.6
答案
2.C
解析
【分析】
解题时先利用正方形的性质得到对角线与边的夹角为45°，结合EF垂直AC的条件可判断△AEF是等腰直角三角形，得到EF与AF相等；再根据△EFC的周长，推导出FC和EC的数量关系；最后在直角△EFC中用勾股定理列方程，即可求出EC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线
∴∠BAC=45°
∵EF⊥AC
∴△AEF为等腰直角三角形
∴EF=AF=3
已知△EFC的周长为12，即$EF+FC+EC=12$
将EF=3代入得：$3+FC+EC=12$，即$FC+EC=9$
设$EC=x$，则$FC=9-x$
又
∵EF⊥AC，△EFC是直角三角形，由勾股定理可得：
$EC^2=EF^2+FC^2$
代入数值：$x^2=3^2+(9-x)^2$
展开得：$x^2=9+81-18x+x^2$
化简得：$18x=90$
解得$x=5$，即EC的长为5。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是正方形相关的基础综合题，解题的核心是先推出EF的长度，再结合周长关系得到两条未知边的关系，最后用勾股定理列方程求解，思路清晰，侧重对基础性质应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时先利用正方形的性质得到对角线与边的夹角为45°，结合EF垂直AC的条件可判断△AEF是等腰直角三角形，得到EF与AF相等；再根据△EFC的周长，推导出FC和EC的数量关系；最后在直角△EFC中用勾股定理列方程，即可求出EC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线
∴∠BAC=45°
∵EF⊥AC
∴△AEF为等腰直角三角形
∴EF=AF=3
已知△EFC的周长为12，即$EF+FC+EC=12$
将EF=3代入得：$3+FC+EC=12$，即$FC+EC=9$
设$EC=x$，则$FC=9-x$
又
∵EF⊥AC，△EFC是直角三角形，由勾股定理可得：
$EC^2=EF^2+FC^2$
代入数值：$x^2=3^2+(9-x)^2$
展开得：$x^2=9+81-18x+x^2$
化简得：$18x=90$
解得$x=5$，即EC的长为5。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是正方形相关的基础综合题，解题的核心是先推出EF的长度，再结合周长关系得到两条未知边的关系，最后用勾股定理列方程求解，思路清晰，侧重对基础性质应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在$Rt△ ABC$中,D是斜边BC的中点,以AD为边作正方形ADEF。若BC=12,则正方形ADEF的面积等于(
A.144
B.36
C.12
D.6
B
)。A.144
B.36
C.12
D.6
答案
3.B
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，已知Rt△ABC的斜边长度和斜边中点D，首先想到运用直角三角形斜边中线的性质求出AD的长度；再结合正方形ADEF的边长为AD，利用正方形面积等于边长的平方，即可求出正方形的面积。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，
∴ 由直角三角形斜边中线定理可得：$ AD = \frac{1}{2}BC $，
已知$ BC=12 $，代入得$ AD = \frac{1}{2} × 12 = 6 $，
∵ 四边形ADEF是正方形，
∴ 正方形ADEF的面积$ S = AD^2 = 6^2 = 36 $。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；正方形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，将直角三角形的性质和正方形的性质结合考查，解题关键是快速定位到直角三角形斜边中线与斜边的数量关系，求出正方形边长后即可直接计算面积。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形特征，已知Rt△ABC的斜边长度和斜边中点D，首先想到运用直角三角形斜边中线的性质求出AD的长度；再结合正方形ADEF的边长为AD，利用正方形面积等于边长的平方，即可求出正方形的面积。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，
∴ 由直角三角形斜边中线定理可得：$ AD = \frac{1}{2}BC $，
已知$ BC=12 $，代入得$ AD = \frac{1}{2} × 12 = 6 $，
∵ 四边形ADEF是正方形，
∴ 正方形ADEF的面积$ S = AD^2 = 6^2 = 36 $。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；正方形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，将直角三角形的性质和正方形的性质结合考查，解题关键是快速定位到直角三角形斜边中线与斜边的数量关系，求出正方形边长后即可直接计算面积。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在正方形$ABCD$中,$AB=2\sqrt{5}$,将边$BC$绕点$B$按逆时针方向旋转至$BC'$的位置,连接$CC'$,$DC'$。若$CC'⊥DC'$,则$CC'$的长等于(
A.$\frac{3}{2}$
B.2
C.$\frac{5}{2}$
D.4
（第4题）
D
)。A.$\frac{3}{2}$
B.2
C.$\frac{5}{2}$
D.4
（第4题）答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先结合正方形性质得到边长相等、内角为90°，再利用旋转的性质得出BC=BC'，可知△BCC'为等腰三角形；通过同角的余角相等推导角度相等，构造辅助线证明三角形全等，得到边的等量关系，最后在直角三角形中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
过点$B$作$BE ⊥ CC'$，垂足为$E$。
1. 由正方形性质得：$BC=CD=AB=2\sqrt{5}$，$∠ BCD=90°$，因此$∠ BCE + ∠ DCC' = 90°$。
2. 由旋转的性质得$BC'=BC$，结合$BE ⊥ CC'$，根据等腰三角形三线合一可得$CE=C'E=\frac{1}{2}CC'$。
3. 已知$CC' ⊥ DC'$，则$∠ CC'D=90°=∠ BEC$，且$∠ DCC' + ∠ CDC' =90°$，因此$∠ BCE=∠ CDC'$（同角的余角相等）。
4. 在$△ BEC$和$△ CC'D$中：
$\begin{cases}∠ BEC=∠ CC'D \\∠ BCE=∠ CDC' \\BC=CD\end{cases}$
可得$△ BEC ≌ △ CC'D$（AAS），因此$CE=C'D$。
5. 设$CC'=x$，则$CE=C'D=\frac{1}{2}x$，在$Rt△ CC'D$中由勾股定理得：
$CC'^2 + C'D^2 = CD^2$
代入数据：
$x^2 + (\frac{1}{2}x)^2 = (2\sqrt{5})^2$
整理得$\frac{5}{4}x^2=20$，解得$x=4$（边长为正，舍去负根），即$CC'=4$。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了几何图形性质的综合应用，解题关键是通过构造辅助线证明三角形全等，找到边的数量关系后结合勾股定理列方程求解。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合正方形性质得到边长相等、内角为90°，再利用旋转的性质得出BC=BC'，可知△BCC'为等腰三角形；通过同角的余角相等推导角度相等，构造辅助线证明三角形全等，得到边的等量关系，最后在直角三角形中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
过点$B$作$BE ⊥ CC'$，垂足为$E$。
1. 由正方形性质得：$BC=CD=AB=2\sqrt{5}$，$∠ BCD=90°$，因此$∠ BCE + ∠ DCC' = 90°$。
2. 由旋转的性质得$BC'=BC$，结合$BE ⊥ CC'$，根据等腰三角形三线合一可得$CE=C'E=\frac{1}{2}CC'$。
3. 已知$CC' ⊥ DC'$，则$∠ CC'D=90°=∠ BEC$，且$∠ DCC' + ∠ CDC' =90°$，因此$∠ BCE=∠ CDC'$（同角的余角相等）。
4. 在$△ BEC$和$△ CC'D$中：
$\begin{cases}∠ BEC=∠ CC'D \\∠ BCE=∠ CDC' \\BC=CD\end{cases}$
可得$△ BEC ≌ △ CC'D$（AAS），因此$CE=C'D$。
5. 设$CC'=x$，则$CE=C'D=\frac{1}{2}x$，在$Rt△ CC'D$中由勾股定理得：
$CC'^2 + C'D^2 = CD^2$
代入数据：
$x^2 + (\frac{1}{2}x)^2 = (2\sqrt{5})^2$
整理得$\frac{5}{4}x^2=20$，解得$x=4$（边长为正，舍去负根），即$CC'=4$。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了几何图形性质的综合应用，解题关键是通过构造辅助线证明三角形全等，找到边的数量关系后结合勾股定理列方程求解。
【难度系数】
0.6
5. 如图，在正方形纸片ABCD中，AB=6，E是BC的中点，把△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，延长EF交CD于点G，连接AG，则AG的长为
$2\sqrt{10}$
。答案
5.$2\sqrt{10}$
解析
【分析】
本题可结合正方形性质、折叠性质与勾股定理求解：首先根据折叠性质得到相等的边和角，证明Rt△ADG≌Rt△AFG得到DG=FG；再设DG的长为未知数，用含未知数的式子表示出Rt△ECG的三边，利用勾股定理列方程求出DG的长；最后在Rt△ADG中用勾股定理计算AG的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD=6，∠B=∠D=∠C=90°，
由折叠的性质可知：AF=AB=6，∠AFE=∠B=90°，EF=BE，
∴AF=AD，∠AFG=∠D=90°，
在Rt△ADG和Rt△AFG中，
$\{\begin{array}{l}AG=AG\\ AD=AF\end{array} $
∴Rt△ADG≌Rt△AFG（HL），
∴DG=FG，
∵E是BC的中点，
∴BE=EC=EF=$\frac{1}{2}$BC=3，
设DG=x，则FG=x，GC=CD-DG=6-x，EG=EF+FG=3+x，
在Rt△ECG中，根据勾股定理得：$EC^2+GC^2=EG^2$，
代入得：$3^2+(6-x)^2=(3+x)^2$，
展开计算：$9+36-12x+x^2=9+6x+x^2$，
化简得：$18x=36$，解得$x=2$，即DG=2，
在Rt△ADG中，$AG=\sqrt{AD^2+DG^2}=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
【答案】
$2\sqrt{10}$
【知识点】
正方形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是正方形与折叠结合的常见几何题，解题关键是通过折叠性质和全等三角形转化相等线段，再利用勾股定理建立方程求解，能较好地考查学生的几何推理和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
本题可结合正方形性质、折叠性质与勾股定理求解：首先根据折叠性质得到相等的边和角，证明Rt△ADG≌Rt△AFG得到DG=FG；再设DG的长为未知数，用含未知数的式子表示出Rt△ECG的三边，利用勾股定理列方程求出DG的长；最后在Rt△ADG中用勾股定理计算AG的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD=6，∠B=∠D=∠C=90°，
由折叠的性质可知：AF=AB=6，∠AFE=∠B=90°，EF=BE，
∴AF=AD，∠AFG=∠D=90°，
在Rt△ADG和Rt△AFG中，
$\{\begin{array}{l}AG=AG\\ AD=AF\end{array} $
∴Rt△ADG≌Rt△AFG（HL），
∴DG=FG，
∵E是BC的中点，
∴BE=EC=EF=$\frac{1}{2}$BC=3，
设DG=x，则FG=x，GC=CD-DG=6-x，EG=EF+FG=3+x，
在Rt△ECG中，根据勾股定理得：$EC^2+GC^2=EG^2$，
代入得：$3^2+(6-x)^2=(3+x)^2$，
展开计算：$9+36-12x+x^2=9+6x+x^2$，
化简得：$18x=36$，解得$x=2$，即DG=2，
在Rt△ADG中，$AG=\sqrt{AD^2+DG^2}=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
【答案】
$2\sqrt{10}$
【知识点】
正方形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是正方形与折叠结合的常见几何题，解题关键是通过折叠性质和全等三角形转化相等线段，再利用勾股定理建立方程求解，能较好地考查学生的几何推理和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
6.【数学游戏】有六根长度相同的木条，小明先用其中四根木条制作了一个能够活动的菱形学具。他先将学具拼成如图①所示的菱形，测得$∠ A=120°$，对角线$AC=8\ \mathrm{cm}$。接着他又将学具拼成如图②所示的正方形，最后用剩下的两根木条拼成了如图③所示的图形。连接$BE$，则$△ BCE$的面积为
$16\ \mathrm{cm}^2$
。答案
6.$16\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
解题时首先从菱形的已知条件入手：菱形四边相等，结合∠A=120°可推出邻角∠B=60°，进而判定△ABC是等边三角形，得到菱形边长等于对角线AC的长度，即每根木条的长度。接着分析正方形的性质，得到∠BCD=90°，再结合剩余两根木条长度和边长相等，判定△DCE是等边三角形，得到∠DCE=60°，推出∠BCE=150°。最后过E作BC延长线的垂线，利用直角三角形30°角的性质求出高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求木条长度：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC。
∵∠BAD=120°，菱形邻角互补，
∴∠ABC=180°-120°=60°，
∴△ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴AB=BC=AC=8cm，即每根木条长度为8cm。
2. 推导角的度数：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=8cm，∠BCD=90°。
由题意得CE=DE=8cm，
∴CD=CE=DE=8cm，△DCE是等边三角形，
∴∠DCE=60°，
∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，则∠BCE的邻补角为30°。
3. 计算面积：
过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，
在Rt△ECF中，∠ECF=30°，CE=8cm，
∴EF=$\frac{1}{2}$CE=4cm（直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半），
∴$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}× BC× EF=\frac{1}{2}×8×4=16\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$16\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
菱形的性质、正方形的性质、等边三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查特殊四边形和特殊三角形的性质，需要学生逐步推导边长、角度关系，再结合直角三角形的性质求面积，对几何逻辑推理能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.6
解题时首先从菱形的已知条件入手：菱形四边相等，结合∠A=120°可推出邻角∠B=60°，进而判定△ABC是等边三角形，得到菱形边长等于对角线AC的长度，即每根木条的长度。接着分析正方形的性质，得到∠BCD=90°，再结合剩余两根木条长度和边长相等，判定△DCE是等边三角形，得到∠DCE=60°，推出∠BCE=150°。最后过E作BC延长线的垂线，利用直角三角形30°角的性质求出高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求木条长度：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC。
∵∠BAD=120°，菱形邻角互补，
∴∠ABC=180°-120°=60°，
∴△ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴AB=BC=AC=8cm，即每根木条长度为8cm。
2. 推导角的度数：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=8cm，∠BCD=90°。
由题意得CE=DE=8cm，
∴CD=CE=DE=8cm，△DCE是等边三角形，
∴∠DCE=60°，
∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，则∠BCE的邻补角为30°。
3. 计算面积：
过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，
在Rt△ECF中，∠ECF=30°，CE=8cm，
∴EF=$\frac{1}{2}$CE=4cm（直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半），
∴$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}× BC× EF=\frac{1}{2}×8×4=16\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$16\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
菱形的性质、正方形的性质、等边三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查特殊四边形和特殊三角形的性质，需要学生逐步推导边长、角度关系，再结合直角三角形的性质求面积，对几何逻辑推理能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.6
7. 如图,在正方形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,连接AF,DE交于点G,连接BG,CG。
求证:(1)$AD=BG$;
(2)$GE+FG=\sqrt{2}CG$。
求证:(1)$AD=BG$;
(2)$GE+FG=\sqrt{2}CG$。
答案
7.证明:(1)如图①,分别延长$DE$,$AB$交于点$H$。
$\because$ 四边形$ABCD$为正方形，
$\therefore AB = BC = CD = AD$，$∠ ABC=∠ DCE=∠ ADC=90°$。
$\because E,F$分别为$BC,CD$的中点，
$\therefore BE=CE=\frac{1}{2}BC$，$DF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore BE=CE=DF$，
$\therefore △ ADF≌△ DCE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ DAF=∠ CDE$。
$\because ∠ ADE+∠ CDE=90°$，
$\therefore ∠ ADE+∠ DAF=90°$，
$\therefore ∠ AGD=180°-(∠ ADE+∠ DAF)=90°$，
$\therefore ∠ AGE=90°$。
在$△ HBE$和$△ DCE$中，
$\begin{cases} ∠ HBE=∠ DCE=90°, \\ BE=CE, \\ ∠ BEH=∠ CED, \end{cases}$
$\therefore △ HBE≌△ DCE(\mathrm{ASA})$，
$\therefore BH=CD$。
$\because CD=AB$，
$\therefore BH=AB$，
$\therefore BG=\frac{1}{2}AH=AB=AD$，
即$AD=BG$。
(2)如图②,延长$DE$到点$M$,使$EM=FG$,连接$CM$。
$\because △ ADF≌△ DCE$，
$\therefore ∠ DFA=∠ CED$，
$\therefore ∠ CFG=∠ CEM$。
$\because BC=CD,BE=CE=DF$，
$\therefore CF=CE$。
在$△ CFG$和$△ CEM$中，
$\begin{cases} CF=CE, \\ ∠ CFG=∠ CEM, \\ FG=EM, \end{cases}$
$\therefore △ CFG≌△ CEM(\mathrm{SAS})$，
$\therefore CG=CM,∠ GCF=∠ MCE$。
$\because ∠ BCD=90°,\therefore ∠ MCG=90°$，
$\therefore △ MCG$是等腰直角三角形，
$\therefore GE+FG=GE+EM=GM=\sqrt{2}CG$。
解析
【分析】
(1) 要证$AD=BG$，已知$AD$是正方形的边，$AD=AB$，因此只需证$BG=AB$即可。首先利用正方形性质证明$△ ADF≌△ DCE$，推出$AF⊥ DE$得到直角$△ AGH$；再延长$DE$交$AB$延长线于$H$，证明$△ HBE≌△ DCE$得到$BH=AB$，即$B$是$Rt△ AGH$斜边$AH$的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$BG=AB=AD$，即可得证。
(2) 要证$GE+FG=\sqrt{2}CG$，属于线段和类证明，适合用截长补短法：延长$DE$到$M$，使$EM=FG$，只需证$GM=\sqrt{2}CG$即可。先利用全等性质得$∠ CFG=∠ CEM$，结合$CF=CE$证明$△ CFG≌△ CEM$，推出$CG=CM$且$∠ GCM=90°$，即$△ GCM$是等腰直角三角形，因此$GM=\sqrt{2}CG$，而$GM=GE+EM=GE+FG$，即可得证。
【解析】
(1) 如图①,分别延长$DE$,$AB$交于点$H$。
$\because$ 四边形$ABCD$为正方形，
$\therefore AB = BC = CD = AD$，$∠ ABC=∠ DCE=∠ ADC=90°$。
$\because E,F$分别为$BC,CD$的中点，
$\therefore BE=CE=\frac{1}{2}BC$，$DF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore BE=CE=DF$，
$\therefore △ ADF≌△ DCE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ DAF=∠ CDE$。
$\because ∠ ADE+∠ CDE=90°$，
$\therefore ∠ ADE+∠ DAF=90°$，
$\therefore ∠ AGD=180°-(∠ ADE+∠ DAF)=90°$，
$\therefore ∠ AGE=90°$。
在$△ HBE$和$△ DCE$中，
$\begin{cases} ∠ HBE=∠ DCE=90°, \\ BE=CE, \\ ∠ BEH=∠ CED, \end{cases}$
$\therefore △ HBE≌△ DCE(\mathrm{ASA})$，
$\therefore BH=CD$。
$\because CD=AB$，
$\therefore BH=AB$，
$\therefore BG=\frac{1}{2}AH=AB=AD$，
即$AD=BG$。
(2) 如图②,延长$DE$到点$M$,使$EM=FG$,连接$CM$。
$\because △ ADF≌△ DCE$，
$\therefore ∠ DFA=∠ CED$，
$\therefore ∠ CFG=∠ CEM$。
$\because BC=CD,BE=CE=DF$，
$\therefore CF=CE$。
在$△ CFG$和$△ CEM$中，
$\begin{cases} CF=CE, \\ ∠ CFG=∠ CEM, \\ FG=EM, \end{cases}$
$\therefore △ CFG≌△ CEM(\mathrm{SAS})$，
$\therefore CG=CM,∠ GCF=∠ MCE$。
$\because ∠ BCD=90°,\therefore ∠ MCG=90°$，
$\therefore △ MCG$是等腰直角三角形，
$\therefore GE+FG=GE+EM=GM=\sqrt{2}CG$。
【答案】
(1) 证明见上述解析，$AD=BG$成立；
(2) 证明见上述解析，$GE+FG=\sqrt{2}CG$成立。
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是正方形几何综合题，核心考查全等三角形的构造与性质应用，第一问通过延长线段构造直角三角形利用斜边中线性质解题，第二问通过截长补短法构造全等三角形与等腰直角三角形转化线段关系，对几何逻辑推理能力有较好的锻炼价值。
【难度系数】
0.6
(1) 要证$AD=BG$，已知$AD$是正方形的边，$AD=AB$，因此只需证$BG=AB$即可。首先利用正方形性质证明$△ ADF≌△ DCE$，推出$AF⊥ DE$得到直角$△ AGH$；再延长$DE$交$AB$延长线于$H$，证明$△ HBE≌△ DCE$得到$BH=AB$，即$B$是$Rt△ AGH$斜边$AH$的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$BG=AB=AD$，即可得证。
(2) 要证$GE+FG=\sqrt{2}CG$，属于线段和类证明，适合用截长补短法：延长$DE$到$M$，使$EM=FG$，只需证$GM=\sqrt{2}CG$即可。先利用全等性质得$∠ CFG=∠ CEM$，结合$CF=CE$证明$△ CFG≌△ CEM$，推出$CG=CM$且$∠ GCM=90°$，即$△ GCM$是等腰直角三角形，因此$GM=\sqrt{2}CG$，而$GM=GE+EM=GE+FG$，即可得证。
【解析】
(1) 如图①,分别延长$DE$,$AB$交于点$H$。
$\because$ 四边形$ABCD$为正方形，
$\therefore AB = BC = CD = AD$，$∠ ABC=∠ DCE=∠ ADC=90°$。
$\because E,F$分别为$BC,CD$的中点，
$\therefore BE=CE=\frac{1}{2}BC$，$DF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore BE=CE=DF$，
$\therefore △ ADF≌△ DCE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ DAF=∠ CDE$。
$\because ∠ ADE+∠ CDE=90°$，
$\therefore ∠ ADE+∠ DAF=90°$，
$\therefore ∠ AGD=180°-(∠ ADE+∠ DAF)=90°$，
$\therefore ∠ AGE=90°$。
在$△ HBE$和$△ DCE$中，
$\begin{cases} ∠ HBE=∠ DCE=90°, \\ BE=CE, \\ ∠ BEH=∠ CED, \end{cases}$
$\therefore △ HBE≌△ DCE(\mathrm{ASA})$，
$\therefore BH=CD$。
$\because CD=AB$，
$\therefore BH=AB$，
$\therefore BG=\frac{1}{2}AH=AB=AD$，
即$AD=BG$。
(2) 如图②,延长$DE$到点$M$,使$EM=FG$,连接$CM$。
$\because △ ADF≌△ DCE$，
$\therefore ∠ DFA=∠ CED$，
$\therefore ∠ CFG=∠ CEM$。
$\because BC=CD,BE=CE=DF$，
$\therefore CF=CE$。
在$△ CFG$和$△ CEM$中，
$\begin{cases} CF=CE, \\ ∠ CFG=∠ CEM, \\ FG=EM, \end{cases}$
$\therefore △ CFG≌△ CEM(\mathrm{SAS})$，
$\therefore CG=CM,∠ GCF=∠ MCE$。
$\because ∠ BCD=90°,\therefore ∠ MCG=90°$，
$\therefore △ MCG$是等腰直角三角形，
$\therefore GE+FG=GE+EM=GM=\sqrt{2}CG$。
【答案】
(1) 证明见上述解析，$AD=BG$成立；
(2) 证明见上述解析，$GE+FG=\sqrt{2}CG$成立。
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是正方形几何综合题，核心考查全等三角形的构造与性质应用，第一问通过延长线段构造直角三角形利用斜边中线性质解题，第二问通过截长补短法构造全等三角形与等腰直角三角形转化线段关系，对几何逻辑推理能力有较好的锻炼价值。
【难度系数】
0.6
