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1. 如图,正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,下列结论正确的是(
A.$∠BAC=60°$
B.$AB=\frac{\sqrt{3}}{2}AC$
C.$2AO=\sqrt{3}AB$
D.AC平分$∠BAD$和$∠BCD$
（第1题）
D
)。A.$∠BAC=60°$
B.$AB=\frac{\sqrt{3}}{2}AC$
C.$2AO=\sqrt{3}AB$
D.AC平分$∠BAD$和$∠BCD$
（第1题）答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先回忆正方形的核心性质，再结合等腰直角三角形的边长、角度关系，逐个判断四个选项的正误即可：①正方形的四个内角均为90°，对角线平分每组内角，对角线与边的夹角为45°；②正方形的对角线长度是边长的√2倍，且对角线互相平分，即对角线的一半是边长的√2/2倍；③正方形的对角线具备角平分线的功能，可平分两组对角。
【解析】
已知四边形ABCD是正方形，根据正方形性质逐一分析选项：
1. 分析选项A：正方形对角线AC平分∠BAD，∠BAD=90°，因此∠BAC=90°÷2=45°≠60°，A错误；
2. 分析选项B：△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得AC²=AB²+BC²，又AB=BC，因此AC=√2 AB，变形得AB=√2/2 AC≠√3/2 AC，B错误；
3. 分析选项C：正方形对角线互相平分，因此AC=2AO，结合AC=√2 AB，可得2AO=√2 AB≠√3 AB，C错误；
4. 分析选项D：正方形的对角线平分一组对角，因此AC既平分∠BAD，也平分∠BCD，D正确。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质、勾股定理、角平分线的定义
【点评】
本题是基础类题目，重点考查对正方形性质的掌握程度，熟练记忆正方形内角、对角线、边长的相关特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆正方形的核心性质，再结合等腰直角三角形的边长、角度关系，逐个判断四个选项的正误即可：①正方形的四个内角均为90°，对角线平分每组内角，对角线与边的夹角为45°；②正方形的对角线长度是边长的√2倍，且对角线互相平分，即对角线的一半是边长的√2/2倍；③正方形的对角线具备角平分线的功能，可平分两组对角。
【解析】
已知四边形ABCD是正方形，根据正方形性质逐一分析选项：
1. 分析选项A：正方形对角线AC平分∠BAD，∠BAD=90°，因此∠BAC=90°÷2=45°≠60°，A错误；
2. 分析选项B：△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得AC²=AB²+BC²，又AB=BC，因此AC=√2 AB，变形得AB=√2/2 AC≠√3/2 AC，B错误；
3. 分析选项C：正方形对角线互相平分，因此AC=2AO，结合AC=√2 AB，可得2AO=√2 AB≠√3 AB，C错误；
4. 分析选项D：正方形的对角线平分一组对角，因此AC既平分∠BAD，也平分∠BCD，D正确。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质、勾股定理、角平分线的定义
【点评】
本题是基础类题目，重点考查对正方形性质的掌握程度，熟练记忆正方形内角、对角线、边长的相关特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 如图，以正方形ABCD的边AD为边，在正方形外部作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为（
A.$30°$
B.$25°$
C.$20°$
D.$15°$
D
）。A.$30°$
B.$25°$
C.$20°$
D.$15°$
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先结合已知图形的性质推导边的关系，判断出△ABE为等腰三角形，再计算出等腰三角形顶角的度数，最后利用等腰三角形内角的性质求解底角∠AEB的度数。第一步，根据正方形性质可得AB=AD、∠BAD=90°，根据等边三角形性质可得AD=AE、∠DAE=60°，由此可推出AB=AE，即△ABE是等腰三角形；第二步，结合图形位置，∠BAE为正方形内角与等边三角形内角的和，计算出∠BAE的度数；第三步，利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°，即可求出∠AEB的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴AB=AE，∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，
∴△ABE是等腰三角形，∠AEB=∠ABE，
由三角形内角和为180°可得：
$∠ AEB=\frac{180°-∠ BAE}{2}=\frac{180°-150°}{2}=15°$
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是将多个特殊图形的性质结合，找到待求角所在三角形的形状特征，理清角之间的和差关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知图形的性质推导边的关系，判断出△ABE为等腰三角形，再计算出等腰三角形顶角的度数，最后利用等腰三角形内角的性质求解底角∠AEB的度数。第一步，根据正方形性质可得AB=AD、∠BAD=90°，根据等边三角形性质可得AD=AE、∠DAE=60°，由此可推出AB=AE，即△ABE是等腰三角形；第二步，结合图形位置，∠BAE为正方形内角与等边三角形内角的和，计算出∠BAE的度数；第三步，利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°，即可求出∠AEB的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴AB=AE，∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，
∴△ABE是等腰三角形，∠AEB=∠ABE，
由三角形内角和为180°可得：
$∠ AEB=\frac{180°-∠ BAE}{2}=\frac{180°-150°}{2}=15°$
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是将多个特殊图形的性质结合，找到待求角所在三角形的形状特征，理清角之间的和差关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图，正方形ABCD的对角线AC和BD交于点O，点P在对角线BD上，且BP=BC，则∠OCP的度数是(
A.$15°$
B.$20°$
C.$22.5°$
D.$24°$
C
)。A.$15°$
B.$20°$
C.$22.5°$
D.$24°$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时先利用正方形对角线的性质，得到相关角的度数；再结合BP=BC的条件，可知△BPC是等腰三角形，借助三角形内角和算出∠BCP的度数；最后通过两个角的差即可求出∠OCP的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AC、BD是正方形的对角线
∴∠DBC=∠ACB=45°
∵BP=BC
∴△BPC为等腰三角形，∠BCP=∠BPC
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BCP=\frac{180°-∠ DBC}{2}=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$
∴$∠ OCP=∠ BCP-∠ ACB=67.5°-45°=22.5°$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题关键是熟练掌握正方形对角线平分内角的性质，结合等腰三角形角度计算关系推导目标角，考察的都是几何核心基础知识点。
【难度系数】
0.75
解题时先利用正方形对角线的性质，得到相关角的度数；再结合BP=BC的条件，可知△BPC是等腰三角形，借助三角形内角和算出∠BCP的度数；最后通过两个角的差即可求出∠OCP的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AC、BD是正方形的对角线
∴∠DBC=∠ACB=45°
∵BP=BC
∴△BPC为等腰三角形，∠BCP=∠BPC
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BCP=\frac{180°-∠ DBC}{2}=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$
∴$∠ OCP=∠ BCP-∠ ACB=67.5°-45°=22.5°$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题关键是熟练掌握正方形对角线平分内角的性质，结合等腰三角形角度计算关系推导目标角，考察的都是几何核心基础知识点。
【难度系数】
0.75
4. 在正方形ABCD中，点E在边BC上，连接AE。
(1)如图①，在DC上截取CF＝BE，连接BF交AE于点G，判断AE与BF的关系，并说明理由；
(2)如图②，作AE的垂直平分线交AB于点G，交DC于点F，AE＝6，直接写出FG的长。
(1)如图①，在DC上截取CF＝BE，连接BF交AE于点G，判断AE与BF的关系，并说明理由；
(2)如图②，作AE的垂直平分线交AB于点G，交DC于点F，AE＝6，直接写出FG的长。
答案
4.解:(1)$AE=BF,AE⊥BF$。理由如下：
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AB=BC,∠ ABC=∠ C=90°$。
在$△ ABE$和$△ BCF$中，
$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ ABC=∠ C, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ BCF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AE=BF,∠ BAE=∠ CBF$。
$\because ∠ CBF+∠ ABF=90°$，
$\therefore ∠ BAE+∠ ABF=90°$，
$\therefore ∠ AGB=180°-(∠ BAE+∠ ABF)=90°$，
$\therefore AE⊥ BF$。
(2)$FG$的长为$6$。
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AB=BC,∠ ABC=∠ C=90°$。
在$△ ABE$和$△ BCF$中，
$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ ABC=∠ C, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ BCF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AE=BF,∠ BAE=∠ CBF$。
$\because ∠ CBF+∠ ABF=90°$，
$\therefore ∠ BAE+∠ ABF=90°$，
$\therefore ∠ AGB=180°-(∠ BAE+∠ ABF)=90°$，
$\therefore AE⊥ BF$。
(2)$FG$的长为$6$。
解析
【分析】
(1) 判断线段关系需要从数量关系和位置关系两方面入手。首先利用正方形的性质得到等边和等角，结合已知$CF=BE$，可通过SAS证明$△ ABE$和$△ BCF$全等，利用全等性质得到$AE=BF$，再通过角的等量代换推导两角和为$90°$，即可证明两线垂直。
(2) 求$FG$的长度可通过构造辅助线转化线段：过点$F$作$FH⊥AB$于点$H$，先证明$FH=AB$，再结合垂直平分线的性质得到$FG⊥AE$，通过角的等量代换证明$△ ABE≌△ FHG$，即可得到$FG=AE$，代入$AE$的长度即可得结果。
【解析】
(1) $AE=BF$，且$AE⊥BF$，理由如下：
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $AB=BC$，$∠ ABC=∠ C=90°$。
在$△ ABE$和$△ BCF$中：
$\begin{cases}AB=BC \\∠ ABC=∠ C \\BE=CF\end{cases}$
∴ $△ ABE≌△ BCF(\mathrm{SAS})$，
∴ $AE=BF$，$∠ BAE=∠ CBF$。
∵ $∠ CBF+∠ ABF=90°$，
∴ $∠ BAE+∠ ABF=90°$，
∴ $∠ AGB=180°-(∠ BAE+∠ ABF)=90°$，
∴ $AE⊥BF$。
(2) 过点$F$作$FH⊥AB$于点$H$，
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $AB=BC$，$∠ ABC=∠ C=90°$，
∴ 四边形$BCFH$是矩形，得$FH=BC=AB$。
∵ $FG$是$AE$的垂直平分线，
∴ $FG⊥AE$，即$∠ BAE+∠ AGH=90°$，
又$∠ HFG+∠ AGH=90°$，
∴ $∠ BAE=∠ HFG$。
在$△ ABE$和$△ FHG$中：
$\begin{cases}∠ ABE=∠ FHG=90° \\AB=FH \\∠ BAE=∠ HFG\end{cases}$
∴ $△ ABE≌△ FHG(\mathrm{ASA})$，
∴ $FG=AE=6$。
【答案】
(1) $AE=BF$，$AE⊥BF$，理由见解析；
(2) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题是正方形背景下的常考题型，核心考查全等三角形的构造与应用，解题时要利用正方形的等边、直角特性寻找全等条件，将未知线段关系转化为全等三角形的对应边、对应角关系求解，掌握常见的全等构造方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 判断线段关系需要从数量关系和位置关系两方面入手。首先利用正方形的性质得到等边和等角，结合已知$CF=BE$，可通过SAS证明$△ ABE$和$△ BCF$全等，利用全等性质得到$AE=BF$，再通过角的等量代换推导两角和为$90°$，即可证明两线垂直。
(2) 求$FG$的长度可通过构造辅助线转化线段：过点$F$作$FH⊥AB$于点$H$，先证明$FH=AB$，再结合垂直平分线的性质得到$FG⊥AE$，通过角的等量代换证明$△ ABE≌△ FHG$，即可得到$FG=AE$，代入$AE$的长度即可得结果。
【解析】
(1) $AE=BF$，且$AE⊥BF$，理由如下：
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $AB=BC$，$∠ ABC=∠ C=90°$。
在$△ ABE$和$△ BCF$中：
$\begin{cases}AB=BC \\∠ ABC=∠ C \\BE=CF\end{cases}$
∴ $△ ABE≌△ BCF(\mathrm{SAS})$，
∴ $AE=BF$，$∠ BAE=∠ CBF$。
∵ $∠ CBF+∠ ABF=90°$，
∴ $∠ BAE+∠ ABF=90°$，
∴ $∠ AGB=180°-(∠ BAE+∠ ABF)=90°$，
∴ $AE⊥BF$。
(2) 过点$F$作$FH⊥AB$于点$H$，
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $AB=BC$，$∠ ABC=∠ C=90°$，
∴ 四边形$BCFH$是矩形，得$FH=BC=AB$。
∵ $FG$是$AE$的垂直平分线，
∴ $FG⊥AE$，即$∠ BAE+∠ AGH=90°$，
又$∠ HFG+∠ AGH=90°$，
∴ $∠ BAE=∠ HFG$。
在$△ ABE$和$△ FHG$中：
$\begin{cases}∠ ABE=∠ FHG=90° \\AB=FH \\∠ BAE=∠ HFG\end{cases}$
∴ $△ ABE≌△ FHG(\mathrm{ASA})$，
∴ $FG=AE=6$。
【答案】
(1) $AE=BF$，$AE⊥BF$，理由见解析；
(2) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题是正方形背景下的常考题型，核心考查全等三角形的构造与应用，解题时要利用正方形的等边、直角特性寻找全等条件，将未知线段关系转化为全等三角形的对应边、对应角关系求解，掌握常见的全等构造方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
1. 如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为$(1,\sqrt{3})$，则点C的坐标为(
A.$(-\sqrt{3},1)$
B.$(-1,\sqrt{3})$
C.$(\sqrt{3},1)$
D.$(-\sqrt{3},-1)$
A
)。A.$(-\sqrt{3},1)$
B.$(-1,\sqrt{3})$
C.$(\sqrt{3},1)$
D.$(-\sqrt{3},-1)$
答案
1.A
解析
【分析】
本题可结合正方形邻边垂直且相等的性质，通过构造全等三角形求解点C的坐标。首先分别过点A、点C作x轴的垂线，得到两个直角三角形，利用同角的余角相等证明两个三角形的对应角相等，结合正方形边长相等证明三角形全等，再根据点A的坐标得到对应边长度，最后结合点C所在的象限确定坐标符号即可。
【解析】
过点A作$AF ⊥ x$轴于点F，过点C作$CE ⊥ x$轴于点E，则$∠ CEO = ∠ OFA = 90°$。
∵四边形OABC是正方形，
∴$OC=OA$，$∠ COA=90°$，
∴$∠ COE + ∠ AOF = 90°$。
又
∵在$Rt△ AOF$中，$∠ OAF + ∠ AOF = 90°$，
∴$∠ COE = ∠ OAF$。
在$△ COE$和$△ OAF$中：
$\begin{cases}∠ CEO = ∠ OFA \\∠ COE = ∠ OAF \\OC = OA\end{cases}$
∴$△ COE ≌ △ OAF$（AAS）。
已知点A的坐标为$(1,\sqrt{3})$，因此$OF=1$，$AF=\sqrt{3}$。
由全等三角形的性质可得：$CE=OF=1$，$OE=AF=\sqrt{3}$。
∵点C位于第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，
∴点C的坐标为$(-\sqrt{3},1)$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是平面直角坐标系与正方形性质结合的基础题，通过作垂线构造全等三角形是求解这类坐标问题的常用思路，解题时要注意结合点所在的象限判断坐标的符号。
【难度系数】
0.7
本题可结合正方形邻边垂直且相等的性质，通过构造全等三角形求解点C的坐标。首先分别过点A、点C作x轴的垂线，得到两个直角三角形，利用同角的余角相等证明两个三角形的对应角相等，结合正方形边长相等证明三角形全等，再根据点A的坐标得到对应边长度，最后结合点C所在的象限确定坐标符号即可。
【解析】
过点A作$AF ⊥ x$轴于点F，过点C作$CE ⊥ x$轴于点E，则$∠ CEO = ∠ OFA = 90°$。
∵四边形OABC是正方形，
∴$OC=OA$，$∠ COA=90°$，
∴$∠ COE + ∠ AOF = 90°$。
又
∵在$Rt△ AOF$中，$∠ OAF + ∠ AOF = 90°$，
∴$∠ COE = ∠ OAF$。
在$△ COE$和$△ OAF$中：
$\begin{cases}∠ CEO = ∠ OFA \\∠ COE = ∠ OAF \\OC = OA\end{cases}$
∴$△ COE ≌ △ OAF$（AAS）。
已知点A的坐标为$(1,\sqrt{3})$，因此$OF=1$，$AF=\sqrt{3}$。
由全等三角形的性质可得：$CE=OF=1$，$OE=AF=\sqrt{3}$。
∵点C位于第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，
∴点C的坐标为$(-\sqrt{3},1)$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是平面直角坐标系与正方形性质结合的基础题，通过作垂线构造全等三角形是求解这类坐标问题的常用思路，解题时要注意结合点所在的象限判断坐标的符号。
【难度系数】
0.7
