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8. 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,∠ABC=∠ADC=90°,对角线AC,BD交于点O,DE平分∠ADC交BC于点E,连接OE。
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)当∠BDE=15°时,求∠DOE的度数;
(3)在(2)的条件下,若AB=2,求△BOE的面积。
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)当∠BDE=15°时,求∠DOE的度数;
(3)在(2)的条件下,若AB=2,求△BOE的面积。
答案
8.(1)证明:
∵AD//BC,
∴∠ABC+∠BAD=180°。
∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴∠BAD=90°,
∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°,
∴四边形ABCD是矩形。
(2)解:
∵DE平分∠ADC交BC于点E,∠ADC=90°,
∴∠ADE=∠EDC=1/2∠ADC=45°。
∵∠BDE=15°,
∴∠BDE+∠EDC=60°,即∠BDC=60°。
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BCD = 90°, OC = 1/2 AC, OD = 1/2 BD, AC=BD,
∴OC=OD,∠DEC=90°-∠EDC=45°,
∴△DOC是等边三角形,∠DEC=∠EDC=45°,
∴∠DOC=∠OCD=60°,CD=OC,CD=EC,
∴∠OCE=90°-∠OCD=30°,OC=EC,
∴∠COE=(180°-∠OCE)/2=75°,
∴∠DOE=∠DOC+∠COE=135°。
(3)解:如图,取BC的中点H,连接OH。
∵∠ABC=90°,∠OCE=30°,AB=2,
∴AC=2AB=4。
∵四边形ABCD是矩形,
∴O是AC的中点,OC=1/2 AC=2,
∴OH是△ABC的中位线,
∴OH=1/2 AB=1。
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
BC=√(AC²-AB²)=√(4²-2²)=2√3。
∵EC=OC,OC=2,
∴BE=BC-CE=2√3-2,
∴S△BOE=1/2 BE·OH=1/2 ×(2√3-2)×1=√3-1。
解析
【分析】
(1) 要证明四边形ABCD是矩形，可利用“三个内角为直角的四边形是矩形”的判定定理：已知AD//BC，∠ABC=90°，先由平行线同旁内角互补的性质推出∠BAD=90°，结合已知的两个直角，即可完成证明。
(2) 求∠DOE的度数，先根据角平分线定义得∠EDC=45°，结合∠BDE=15°推出∠BDC=60°；再利用矩形对角线相等且互相平分的性质，得OC=OD，推出△DOC为等边三角形，同时△DEC为等腰直角三角形，得CE=OC；接着求出∠OCE=30°，在等腰△OCE中计算出∠COE的度数，最后与∠DOC相加即可得到∠DOE。
(3) 求△BOE的面积，选取BE为底，过O作BC的垂线段OH为高：根据矩形性质可知OH是△ABC的中位线，长度为AB的一半；先由含30°角的直角三角形性质求出AC长，再用勾股定理算出BC长，结合CE=OC求出BE的长，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明:
∵AD//BC,
∴∠ABC+∠BAD=180°。
∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴∠BAD=90°,
∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°,
∴四边形ABCD是矩形。
(2) 解:
∵DE平分∠ADC交BC于点E,∠ADC=90°,
∴∠ADE=∠EDC=1/2∠ADC=45°。
∵∠BDE=15°,
∴∠BDE+∠EDC=60°,即∠BDC=60°。
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BCD = 90°, OC = 1/2 AC, OD = 1/2 BD, AC=BD,
∴OC=OD,∠DEC=90°-∠EDC=45°,
∴△DOC是等边三角形,∠DEC=∠EDC=45°,
∴∠DOC=∠OCD=60°,CD=OC,CD=EC,
∴∠OCE=90°-∠OCD=30°,OC=EC,
∴∠COE=(180°-∠OCE)/2=75°,
∴∠DOE=∠DOC+∠COE=135°。
(3) 解: 如图,取BC的中点H,连接OH。
∵∠ABC=90°,∠OCE=30°,AB=2,
∴AC=2AB=4。
∵四边形ABCD是矩形,
∴O是AC的中点,OC=1/2 AC=2,
∴OH是△ABC的中位线,
∴OH=1/2 AB=1。
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
BC=√(AC²-AB²)=√(4²-2²)=2√3。
∵EC=OC,OC=2,
∴BE=BC-CE=2√3-2,
∴S△BOE=1/2 BE·OH=1/2 ×(2√3-2)×1=√3-1。
【答案】
(1) 四边形ABCD是矩形，证明成立；
(2) ∠DOE=135°；
(3) △BOE的面积为√3-1。
【知识点】
矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形面积计算
【点评】
本题属于几何综合题，将矩形的判定性质、特殊三角形的性质、中位线定理等知识点结合考查，解题时需要逐步推导图形中的隐含边角关系，有助于提升几何分析和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明四边形ABCD是矩形，可利用“三个内角为直角的四边形是矩形”的判定定理：已知AD//BC，∠ABC=90°，先由平行线同旁内角互补的性质推出∠BAD=90°，结合已知的两个直角，即可完成证明。
(2) 求∠DOE的度数，先根据角平分线定义得∠EDC=45°，结合∠BDE=15°推出∠BDC=60°；再利用矩形对角线相等且互相平分的性质，得OC=OD，推出△DOC为等边三角形，同时△DEC为等腰直角三角形，得CE=OC；接着求出∠OCE=30°，在等腰△OCE中计算出∠COE的度数，最后与∠DOC相加即可得到∠DOE。
(3) 求△BOE的面积，选取BE为底，过O作BC的垂线段OH为高：根据矩形性质可知OH是△ABC的中位线，长度为AB的一半；先由含30°角的直角三角形性质求出AC长，再用勾股定理算出BC长，结合CE=OC求出BE的长，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明:
∵AD//BC,
∴∠ABC+∠BAD=180°。
∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴∠BAD=90°,
∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°,
∴四边形ABCD是矩形。
(2) 解:
∵DE平分∠ADC交BC于点E,∠ADC=90°,
∴∠ADE=∠EDC=1/2∠ADC=45°。
∵∠BDE=15°,
∴∠BDE+∠EDC=60°,即∠BDC=60°。
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BCD = 90°, OC = 1/2 AC, OD = 1/2 BD, AC=BD,
∴OC=OD,∠DEC=90°-∠EDC=45°,
∴△DOC是等边三角形,∠DEC=∠EDC=45°,
∴∠DOC=∠OCD=60°,CD=OC,CD=EC,
∴∠OCE=90°-∠OCD=30°,OC=EC,
∴∠COE=(180°-∠OCE)/2=75°,
∴∠DOE=∠DOC+∠COE=135°。
(3) 解: 如图,取BC的中点H,连接OH。
∵∠ABC=90°,∠OCE=30°,AB=2,
∴AC=2AB=4。
∵四边形ABCD是矩形,
∴O是AC的中点,OC=1/2 AC=2,
∴OH是△ABC的中位线,
∴OH=1/2 AB=1。
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
BC=√(AC²-AB²)=√(4²-2²)=2√3。
∵EC=OC,OC=2,
∴BE=BC-CE=2√3-2,
∴S△BOE=1/2 BE·OH=1/2 ×(2√3-2)×1=√3-1。
【答案】
(1) 四边形ABCD是矩形，证明成立；
(2) ∠DOE=135°；
(3) △BOE的面积为√3-1。
【知识点】
矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形面积计算
【点评】
本题属于几何综合题，将矩形的判定性质、特殊三角形的性质、中位线定理等知识点结合考查，解题时需要逐步推导图形中的隐含边角关系，有助于提升几何分析和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
9. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F。O是EF的中点，连接BO并延长到点G，且$GO=BO$，连接BD，EG，FG。
(1) 试判断四边形EBFG的形状，并说明理由；
(2) 求证：$BD⊥ BG$。
(1) 试判断四边形EBFG的形状，并说明理由；
(2) 求证：$BD⊥ BG$。
答案
9.(1)解:四边形EBFG是矩形。理由如下:
∵O是EF的中点，
∴EO=FO。
∵GO=BO，
∴四边形EBFG是平行四边形。
∵∠ABC=90°,
∴∠FBE=180°-∠ABC=90°,
∴四边形EBFG是矩形。
(2)证明:
∵DF是AC的垂直平分线，
∴AD=CD,∠CDE=90°。
在Rt△ABC中,AD=CD,
∴BD=1/2 AC=CD,
∴∠DBC=∠C。
∵∠CDE=90°,
∴∠CED+∠C=90°。
∵四边形EBFG是矩形，
∴EF=BG,EO=1/2 EF,BO=1/2 BG,
∴EO=BO,
∴∠OEB=∠OBE。
∵∠CED=∠OEB,
∴∠DBC+∠OBE=90°,即∠DBG=90°,
∴BD⊥BG。
∵O是EF的中点，
∴EO=FO。
∵GO=BO，
∴四边形EBFG是平行四边形。
∵∠ABC=90°,
∴∠FBE=180°-∠ABC=90°,
∴四边形EBFG是矩形。
(2)证明:
∵DF是AC的垂直平分线，
∴AD=CD,∠CDE=90°。
在Rt△ABC中,AD=CD,
∴BD=1/2 AC=CD,
∴∠DBC=∠C。
∵∠CDE=90°,
∴∠CED+∠C=90°。
∵四边形EBFG是矩形，
∴EF=BG,EO=1/2 EF,BO=1/2 BG,
∴EO=BO,
∴∠OEB=∠OBE。
∵∠CED=∠OEB,
∴∠DBC+∠OBE=90°,即∠DBG=90°,
∴BD⊥BG。
解析
【分析】
(1) 判定四边形形状优先从已知对角线条件入手：已知O是EF中点得EO=FO，结合GO=BO，满足对角线互相平分，可先证四边形EBFG是平行四边形；再寻找直角条件，由∠ABC=90°可得其邻补角∠EBF=90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可得出结论。
(2) 证明垂直即证明夹角为90°：首先由AC的垂直平分线得D是AC中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得BD=CD，推出∠DBC=∠C；再由矩形的性质得对角线相等且互相平分，推出EO=BO，得∠OEB=∠OBE；最后结合Rt△CDE中两锐角互余，以及对顶角∠CED=∠OEB，等量代换可得∠DBC+∠OBE=90°，即∠DBG=90°，得证垂直。
【解析】
(1) 四边形EBFG是矩形，理由如下：
∵O是EF的中点，
∴EO=FO。
∵GO=BO，
∴四边形EBFG是平行四边形。
∵∠ABC=90°，
∴∠FBE=180°-∠ABC=90°，
∴四边形EBFG是矩形。
(2) 证明：
∵DF是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，∠CDE=90°。
在Rt△ABC中，AD=CD，
∴BD=1/2 AC=CD，
∴∠DBC=∠C。
∵∠CDE=90°，
∴∠CED+∠C=90°。
∵四边形EBFG是矩形，
∴EF=BG，EO=1/2 EF，BO=1/2 BG，
∴EO=BO，
∴∠OEB=∠OBE。
∵∠CED=∠OEB，
∴∠DBC+∠OBE=90°，即∠DBG=90°，
∴BD⊥BG。
【答案】
(1) 四边形EBFG是矩形；
(2) BD⊥BG成立。
【知识点】
矩形的判定；直角三角形斜边中线性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将平行四边形、矩形的判定与直角三角形、线段垂直平分线的性质结合考查，解题时需从已知条件出发逐步推导边、角关系，灵活运用等量代换处理角度和的问题。
【难度系数】
0.7
(1) 判定四边形形状优先从已知对角线条件入手：已知O是EF中点得EO=FO，结合GO=BO，满足对角线互相平分，可先证四边形EBFG是平行四边形；再寻找直角条件，由∠ABC=90°可得其邻补角∠EBF=90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可得出结论。
(2) 证明垂直即证明夹角为90°：首先由AC的垂直平分线得D是AC中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得BD=CD，推出∠DBC=∠C；再由矩形的性质得对角线相等且互相平分，推出EO=BO，得∠OEB=∠OBE；最后结合Rt△CDE中两锐角互余，以及对顶角∠CED=∠OEB，等量代换可得∠DBC+∠OBE=90°，即∠DBG=90°，得证垂直。
【解析】
(1) 四边形EBFG是矩形，理由如下：
∵O是EF的中点，
∴EO=FO。
∵GO=BO，
∴四边形EBFG是平行四边形。
∵∠ABC=90°，
∴∠FBE=180°-∠ABC=90°，
∴四边形EBFG是矩形。
(2) 证明：
∵DF是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，∠CDE=90°。
在Rt△ABC中，AD=CD，
∴BD=1/2 AC=CD，
∴∠DBC=∠C。
∵∠CDE=90°，
∴∠CED+∠C=90°。
∵四边形EBFG是矩形，
∴EF=BG，EO=1/2 EF，BO=1/2 BG，
∴EO=BO，
∴∠OEB=∠OBE。
∵∠CED=∠OEB，
∴∠DBC+∠OBE=90°，即∠DBG=90°，
∴BD⊥BG。
【答案】
(1) 四边形EBFG是矩形；
(2) BD⊥BG成立。
【知识点】
矩形的判定；直角三角形斜边中线性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将平行四边形、矩形的判定与直角三角形、线段垂直平分线的性质结合考查，解题时需从已知条件出发逐步推导边、角关系，灵活运用等量代换处理角度和的问题。
【难度系数】
0.7
