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2. 四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件能判定四边形ABCD是矩形的是(
A.$AB// CD,AD=BC,∠ A+∠ C=180°$
B.$OA=OB=OC=OD$
C.$AB=CD,AB// CD,AC⊥ BD$
D.$AB = CD, AB // CD, OA = OC, OB=OD$
B
)。A.$AB// CD,AD=BC,∠ A+∠ C=180°$
B.$OA=OB=OC=OD$
C.$AB=CD,AB// CD,AC⊥ BD$
D.$AB = CD, AB // CD, OA = OC, OB=OD$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时需先回忆矩形的判定定理、平行四边形的判定与性质，以及常见特殊四边形的判定差异，采用逐一验证选项的方法：首先判断每个选项对应的四边形是否为平行四边形，再看是否满足矩形的特殊判定条件，存在反例的选项即可排除。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$AB// CD,AD=BC$时，四边形可能是等腰梯形，等腰梯形满足$∠ A+∠ C=180°$，但不是矩形，因此不能判定为矩形；
选项B：由$OA=OB=OC=OD$可得，对角线$AC=OA+OC=OB+OD=BD$，且$OA=OC,OB=OD$说明对角线互相平分，根据“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”，可判定四边形$ABCD$是矩形；
选项C：$AB=CD,AB// CD$可判定四边形是平行四边形，又$AC⊥ BD$，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可知该四边形是菱形，不是矩形；
选项D：$AB=CD,AB// CD$可判定四边形是平行四边形，平行四边形本身就满足对角线互相平分（即$OA=OC,OB=OD$），因此只能判定是平行四边形，不能判定是矩形。
综上，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
矩形的判定定理；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题考查特殊四边形的判定，解题关键是熟练区分平行四边形、菱形、矩形、等腰梯形的判定条件，避免混淆各类四边形的性质，可先判断是否为平行四边形，再验证是否符合矩形的特殊判定要求。
【难度系数】
0.75
解题时需先回忆矩形的判定定理、平行四边形的判定与性质，以及常见特殊四边形的判定差异，采用逐一验证选项的方法：首先判断每个选项对应的四边形是否为平行四边形，再看是否满足矩形的特殊判定条件，存在反例的选项即可排除。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$AB// CD,AD=BC$时，四边形可能是等腰梯形，等腰梯形满足$∠ A+∠ C=180°$，但不是矩形，因此不能判定为矩形；
选项B：由$OA=OB=OC=OD$可得，对角线$AC=OA+OC=OB+OD=BD$，且$OA=OC,OB=OD$说明对角线互相平分，根据“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”，可判定四边形$ABCD$是矩形；
选项C：$AB=CD,AB// CD$可判定四边形是平行四边形，又$AC⊥ BD$，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可知该四边形是菱形，不是矩形；
选项D：$AB=CD,AB// CD$可判定四边形是平行四边形，平行四边形本身就满足对角线互相平分（即$OA=OC,OB=OD$），因此只能判定是平行四边形，不能判定是矩形。
综上，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
矩形的判定定理；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题考查特殊四边形的判定，解题关键是熟练区分平行四边形、菱形、矩形、等腰梯形的判定条件，避免混淆各类四边形的性质，可先判断是否为平行四边形，再验证是否符合矩形的特殊判定要求。
【难度系数】
0.75
3. 如图，在$□ ABCD$中，E，F分别是AB，CD的中点，连接AF，CE，AC，当AC=BC时，四边形AECF是（
A.菱形
B.矩形
C.梯形
D.对边相等而邻边不相等的四边形
B
）。A.菱形
B.矩形
C.梯形
D.对边相等而邻边不相等的四边形
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先结合平行四边形ABCD的性质，推导边的关系，先判定四边形AECF是平行四边形；再结合AC=BC、E是AB中点的条件，利用等腰三角形三线合一的性质得到CE与AB垂直，即平行四边形AECF有一个内角为直角，最后根据矩形的判定定理即可得出结论。
【解析】
1. 证明四边形AECF是平行四边形：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD。
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AB$，$CF=\frac{1}{2}CD$，
∴AE=CF，又
∵AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形。
2. 推导平行四边形AECF有一个内角为直角：
∵AC=BC，E是AB的中点，
∴根据等腰三角形“三线合一”的性质，得$CE⊥ AB$，即$∠ AEC=90°$。
3. 判定四边形形状：
有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此四边形AECF是矩形。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质；矩形的判定
【点评】
本题是特殊四边形判定的基础题，将平行四边形性质、等腰三角形性质和矩形判定结合考查，解题的关键是先确定待判定四边形为平行四边形，再找到直角的条件，需要熟练掌握各类特殊图形的性质和判定定理。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合平行四边形ABCD的性质，推导边的关系，先判定四边形AECF是平行四边形；再结合AC=BC、E是AB中点的条件，利用等腰三角形三线合一的性质得到CE与AB垂直，即平行四边形AECF有一个内角为直角，最后根据矩形的判定定理即可得出结论。
【解析】
1. 证明四边形AECF是平行四边形：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD。
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AB$，$CF=\frac{1}{2}CD$，
∴AE=CF，又
∵AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形。
2. 推导平行四边形AECF有一个内角为直角：
∵AC=BC，E是AB的中点，
∴根据等腰三角形“三线合一”的性质，得$CE⊥ AB$，即$∠ AEC=90°$。
3. 判定四边形形状：
有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此四边形AECF是矩形。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质；矩形的判定
【点评】
本题是特殊四边形判定的基础题，将平行四边形性质、等腰三角形性质和矩形判定结合考查，解题的关键是先确定待判定四边形为平行四边形，再找到直角的条件，需要熟练掌握各类特殊图形的性质和判定定理。
【难度系数】
0.7
4. 如图，工人要验收门框ABCD是不是矩形。已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，下列验收方法不正确的是(
A.$AD ⊥ DC$
B.$OA=OB$
C.$AC=BD$
D.$OA=OC$
D
)。A.$AD ⊥ DC$
B.$OA=OB$
C.$AC=BD$
D.$OA=OC$
答案
4.D
解析
【分析】
首先明确已知条件：四边形ABCD是平行四边形，题目要求选出不能判定它是矩形的选项。解题时先回忆平行四边形判定矩形的核心定理：①有一个内角为直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形，再结合平行四边形的固有性质逐个分析选项即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，我们逐个分析选项：
A选项：若$AD ⊥ DC$，即$∠ ADC=90°$，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定ABCD是矩形，该选项不符合题意。
B选项：平行四边形对角线互相平分，因此$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$，若$OA=OB$，可推出$AC=BD$，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定ABCD是矩形，该选项不符合题意。
C选项：若$AC=BD$，直接满足“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定ABCD是矩形，该选项不符合题意。
D选项：对角线互相平分是所有平行四边形的固有性质，$OA=OC$是平行四边形本身就具备的特点，无法额外判定它是矩形，该选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是区分平行四边形的通用性质和矩形的特殊判定条件，熟练掌握矩形的判定定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8
首先明确已知条件：四边形ABCD是平行四边形，题目要求选出不能判定它是矩形的选项。解题时先回忆平行四边形判定矩形的核心定理：①有一个内角为直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形，再结合平行四边形的固有性质逐个分析选项即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，我们逐个分析选项：
A选项：若$AD ⊥ DC$，即$∠ ADC=90°$，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定ABCD是矩形，该选项不符合题意。
B选项：平行四边形对角线互相平分，因此$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$，若$OA=OB$，可推出$AC=BD$，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定ABCD是矩形，该选项不符合题意。
C选项：若$AC=BD$，直接满足“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定ABCD是矩形，该选项不符合题意。
D选项：对角线互相平分是所有平行四边形的固有性质，$OA=OC$是平行四边形本身就具备的特点，无法额外判定它是矩形，该选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是区分平行四边形的通用性质和矩形的特殊判定条件，熟练掌握矩形的判定定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=5,AC=12,P 是斜边 BC 上的一个动点,过点 P 分别作 PM⊥AC于点 M,PN⊥AB于点 N,连接 MN,则线段 MN 的最小值为
60/13
。答案
5.60/13
解析
【分析】
首先观察图形，已知∠BAC=90°，PM⊥AC、PN⊥AB，可先判断四边形AMPN的形状；根据矩形对角线相等的性质，可将求MN的最小值转化为求AP的最小值；再根据“垂线段最短”，可知当AP为Rt△ABC斜边上的高时，AP最短，最后用面积法计算该高即可得到结果。
【解析】
解：连接AP，
∵∠BAC=90°，PM⊥AC，PN⊥AB，
∴四边形AMPN是矩形（三个角是直角的四边形是矩形），
∴MN=AP（矩形的对角线相等）。
要使MN最小，即需AP最小，根据“垂线段最短”，当AP⊥BC时，AP的长度最小。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。
利用△ABC的面积不变，得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· AC=\frac{1}{2}· BC· AP$，
代入数值：$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×13× AP$，
解得$AP=\frac{60}{13}$，
∴MN的最小值为$\frac{60}{13}$。
【答案】
$\frac{60}{13}$
【知识点】
矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理
【点评】
本题属于动态线段最值问题，解题的核心是利用矩形的性质实现线段的转化，将陌生的动线段最值问题转化为熟悉的点到直线的最短距离问题，体现了转化思想的应用，是几何最值类的典型考法。
【难度系数】
0.6
首先观察图形，已知∠BAC=90°，PM⊥AC、PN⊥AB，可先判断四边形AMPN的形状；根据矩形对角线相等的性质，可将求MN的最小值转化为求AP的最小值；再根据“垂线段最短”，可知当AP为Rt△ABC斜边上的高时，AP最短，最后用面积法计算该高即可得到结果。
【解析】
解：连接AP，
∵∠BAC=90°，PM⊥AC，PN⊥AB，
∴四边形AMPN是矩形（三个角是直角的四边形是矩形），
∴MN=AP（矩形的对角线相等）。
要使MN最小，即需AP最小，根据“垂线段最短”，当AP⊥BC时，AP的长度最小。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。
利用△ABC的面积不变，得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· AC=\frac{1}{2}· BC· AP$，
代入数值：$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×13× AP$，
解得$AP=\frac{60}{13}$，
∴MN的最小值为$\frac{60}{13}$。
【答案】
$\frac{60}{13}$
【知识点】
矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理
【点评】
本题属于动态线段最值问题，解题的核心是利用矩形的性质实现线段的转化，将陌生的动线段最值问题转化为熟悉的点到直线的最短距离问题，体现了转化思想的应用，是几何最值类的典型考法。
【难度系数】
0.6
6. 如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH，此时，四边形EFGH的形状是
矩形
。若EH＝3 cm，EF＝4 cm，则矩形ABCD的边AD的长为5
cm。答案
6.矩形 5
解析
【分析】
解题时先结合折叠的性质分析：首先折叠前后对应角相等、对应边相等。第一步判断EFGH的形状，利用平角为180°，推导EFGH的内角特点，即可判定形状；第二步求AD的长度，先通过勾股定理计算矩形EFGH的对角线长，再根据折叠的对应边相等，找到AD与该对角线的等量关系，即可求出结果。
【解析】
1. 判断四边形EFGH的形状：
根据折叠的性质可得：$∠ AEH=∠ HEJ$，$∠ BEF=∠ FEJ$，
∵$∠ AEH+∠ HEJ+∠ BEF+∠ FEJ=180°$，
∴$2(∠ HEJ+∠ FEJ)=180°$，即$∠ HEF=90°$，
同理可证$∠ EFG=90°$，$∠ FGH=90°$，
四个内角均为直角的四边形是矩形，因此四边形EFGH是矩形。
2. 求AD的长度：
在$Rt△ HEF$中，$EH=3\mathrm{cm}$，$EF=4\mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$HF=\sqrt{EH^2+EF^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\mathrm{cm}$，
由折叠的性质可得：$AH=HJ$，$HD=HK$，且折叠后无缝隙无重叠，J、K均在HF上，
因此$AD=AH+HD=HJ+HK=HF=5\mathrm{cm}$。
【答案】
矩形；5
【知识点】
折叠的性质；矩形的判定；勾股定理
【点评】
本题结合折叠变换考查几何图形的判定和线段计算，解题的关键是准确把握折叠前后边和角的对应关系，灵活运用勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.65
解题时先结合折叠的性质分析：首先折叠前后对应角相等、对应边相等。第一步判断EFGH的形状，利用平角为180°，推导EFGH的内角特点，即可判定形状；第二步求AD的长度，先通过勾股定理计算矩形EFGH的对角线长，再根据折叠的对应边相等，找到AD与该对角线的等量关系，即可求出结果。
【解析】
1. 判断四边形EFGH的形状：
根据折叠的性质可得：$∠ AEH=∠ HEJ$，$∠ BEF=∠ FEJ$，
∵$∠ AEH+∠ HEJ+∠ BEF+∠ FEJ=180°$，
∴$2(∠ HEJ+∠ FEJ)=180°$，即$∠ HEF=90°$，
同理可证$∠ EFG=90°$，$∠ FGH=90°$，
四个内角均为直角的四边形是矩形，因此四边形EFGH是矩形。
2. 求AD的长度：
在$Rt△ HEF$中，$EH=3\mathrm{cm}$，$EF=4\mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$HF=\sqrt{EH^2+EF^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\mathrm{cm}$，
由折叠的性质可得：$AH=HJ$，$HD=HK$，且折叠后无缝隙无重叠，J、K均在HF上，
因此$AD=AH+HD=HJ+HK=HF=5\mathrm{cm}$。
【答案】
矩形；5
【知识点】
折叠的性质；矩形的判定；勾股定理
【点评】
本题结合折叠变换考查几何图形的判定和线段计算，解题的关键是准确把握折叠前后边和角的对应关系，灵活运用勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.65
7.【综合与实践】在数学课上，老师提出这样一个数学问题：如图①，在$△ ABC$中，$∠ B=90°$，求作矩形ABCD。
(1)下面是小明的作图过程：如图②，作$∠ BCH=∠ B$，在射线CH上截取$CD=AB$，连接AD。请证明小明的作法是正确的。
(2)请你采用与小明不同的方法，在图①中作矩形ABCD。
(1)下面是小明的作图过程：如图②，作$∠ BCH=∠ B$，在射线CH上截取$CD=AB$，连接AD。请证明小明的作法是正确的。
(2)请你采用与小明不同的方法，在图①中作矩形ABCD。
答案
7.(1)证明:
∵∠B=90°,∠BCH=∠B,
∴∠BCH=90°,
∴∠BCH+∠ABC=180°,
∴AB//CH。
∵CD=AB,
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵∠B=90°,
∴四边形ABCD是矩形。
(2)解:如图,矩形ABCD即为所求。
(答案不唯一)
解析
【分析】
(1) 要证明小明的作法得到的是矩形，可依据矩形的判定定理“有一个角是直角的平行四边形是矩形”推导：首先通过等角关系证明AB与CD平行，结合CD=AB的条件先证四边形ABCD是平行四边形，再结合∠B=90°的条件即可判定为矩形。
(2) 作矩形可依据其他矩形判定定理设计作图步骤，比如用“三个角是直角的四边形是矩形”“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”等判定依据，只要和小明“作等角截等长”的方法不同即可。
【解析】
(1) 证明：
∵∠B=90°，∠BCH=∠B，
∴∠BCH=90°，
∴∠BCH+∠ABC=180°，
∴AB//CH（同旁内角互补，两直线平行）。
∵CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∵∠B=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
(2) 示例作图方法：作线段AC的中点O，连接BO并延长至D，使OD=OB，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求矩形，作图结果如下（方法不唯一）：
【答案】
(1) 证明：
∵∠B=90°,∠BCH=∠B,
∴∠BCH=90°,
∴∠BCH+∠ABC=180°,
∴AB//CH。
∵CD=AB,
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵∠B=90°,
∴四边形ABCD是矩形。
(2)（答案不唯一）
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的判定；平行线的判定
【点评】
本题结合尺规作图考查平行四边形、矩形的判定定理的应用，既要求掌握基础的几何证明逻辑，也通过开放性作图考查对矩形判定方法的灵活运用，能帮助大家深化对矩形性质和判定的理解。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明小明的作法得到的是矩形，可依据矩形的判定定理“有一个角是直角的平行四边形是矩形”推导：首先通过等角关系证明AB与CD平行，结合CD=AB的条件先证四边形ABCD是平行四边形，再结合∠B=90°的条件即可判定为矩形。
(2) 作矩形可依据其他矩形判定定理设计作图步骤，比如用“三个角是直角的四边形是矩形”“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”等判定依据，只要和小明“作等角截等长”的方法不同即可。
【解析】
(1) 证明：
∵∠B=90°，∠BCH=∠B，
∴∠BCH=90°，
∴∠BCH+∠ABC=180°，
∴AB//CH（同旁内角互补，两直线平行）。
∵CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∵∠B=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
(2) 示例作图方法：作线段AC的中点O，连接BO并延长至D，使OD=OB，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求矩形，作图结果如下（方法不唯一）：
【答案】
(1) 证明：
∵∠B=90°,∠BCH=∠B,
∴∠BCH=90°,
∴∠BCH+∠ABC=180°,
∴AB//CH。
∵CD=AB,
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵∠B=90°,
∴四边形ABCD是矩形。
(2)
（答案不唯一）【知识点】
矩形的判定；平行四边形的判定；平行线的判定
【点评】
本题结合尺规作图考查平行四边形、矩形的判定定理的应用，既要求掌握基础的几何证明逻辑，也通过开放性作图考查对矩形判定方法的灵活运用，能帮助大家深化对矩形性质和判定的理解。
【难度系数】
0.7
