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1. 如图，$△ ABC$是一张边长为6的等边三角形纸片，要在该纸片上剪出一个正六边形$DEFGHI$，使得点$D$，$E$在边$AB$上，点$F$，$G$在边$BC$上，点$H$，$I$在边$AC$上，则$DE$的长为（
A.1.5
B.2
C.$2\sqrt{2}$
D.2.5
B
）。A.1.5
B.2
C.$2\sqrt{2}$
D.2.5
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先结合等边三角形和正六边形的性质分析图形中各线段的关系：①等边△ABC的每个内角都是60°，边长AB=6；②正六边形各边相等，每个内角为120°，由此可推出正六边形外侧的三个小三角形（△ADI、△BEF、△CGH）均为等边三角形，进而得到AB边被AD、DE、EB分成相等的三段，即AB=3DE，代入AB的长度即可求出DE的值。
【解析】
已知△ABC是边长为6的等边三角形，因此$∠ A=∠ B=60°$，$AB=6$。
∵六边形$DEFGHI$是正六边形，
∴各边相等：$DE=ID=EF$，且正六边形的内角$∠ IDE=∠ DEF=120°$。
∴$∠ ADI=180°-∠ IDE=180°-120°=60°$，
在$△ ADI$中，$∠ A=60°$，$∠ ADI=60°$，因此$△ ADI$是等边三角形，可得$AD=ID$，结合$ID=DE$，推出$AD=DE$。
同理，$∠ BEF=180°-∠ DEF=180°-120°=60°$，$∠ B=60°$，因此$△ BEF$是等边三角形，可得$EB=EF$，结合$EF=DE$，推出$EB=DE$。
∵$AB=AD+DE+EB$，将$AD=DE$、$EB=DE$代入得：$AB=3DE$，
代入$AB=6$，得$3DE=6$，解得$DE=2$。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的判定与性质；正六边形的性质
【点评】
本题是特殊多边形性质的基础应用题型，解题的核心是找到等边三角形边长和正六边形边长的等量关系，通过分析角的度数判定小三角形为等边三角形，进而建立等式求解，难度较低。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合等边三角形和正六边形的性质分析图形中各线段的关系：①等边△ABC的每个内角都是60°，边长AB=6；②正六边形各边相等，每个内角为120°，由此可推出正六边形外侧的三个小三角形（△ADI、△BEF、△CGH）均为等边三角形，进而得到AB边被AD、DE、EB分成相等的三段，即AB=3DE，代入AB的长度即可求出DE的值。
【解析】
已知△ABC是边长为6的等边三角形，因此$∠ A=∠ B=60°$，$AB=6$。
∵六边形$DEFGHI$是正六边形，
∴各边相等：$DE=ID=EF$，且正六边形的内角$∠ IDE=∠ DEF=120°$。
∴$∠ ADI=180°-∠ IDE=180°-120°=60°$，
在$△ ADI$中，$∠ A=60°$，$∠ ADI=60°$，因此$△ ADI$是等边三角形，可得$AD=ID$，结合$ID=DE$，推出$AD=DE$。
同理，$∠ BEF=180°-∠ DEF=180°-120°=60°$，$∠ B=60°$，因此$△ BEF$是等边三角形，可得$EB=EF$，结合$EF=DE$，推出$EB=DE$。
∵$AB=AD+DE+EB$，将$AD=DE$、$EB=DE$代入得：$AB=3DE$，
代入$AB=6$，得$3DE=6$，解得$DE=2$。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的判定与性质；正六边形的性质
【点评】
本题是特殊多边形性质的基础应用题型，解题的核心是找到等边三角形边长和正六边形边长的等量关系，通过分析角的度数判定小三角形为等边三角形，进而建立等式求解，难度较低。
【难度系数】
0.7
2. 如图所示的是$7×5$的正方形网格，点A，B，C，D是网格线的交点，下列结论正确的是（
A.$AB=2AC$
B.$∠ BAC=∠ DAC$
C.$AB=\sqrt{2}AD$
D.$∠ BAC=60°$
B
）。A.$AB=2AC$
B.$∠ BAC=∠ DAC$
C.$AB=\sqrt{2}AD$
D.$∠ BAC=60°$
答案
2.B
解析
【分析】
要判断网格中线段和角度的结论是否正确，我们可以先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理计算出相关线段的长度，先排查线段长度相关的选项；再通过线段长度判断三角形的形状，得到对应角的度数，进而判断角度相关选项是否正确。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 用勾股定理计算各线段长度：
$AB=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
$AD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
$CD=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
2. 逐一判断选项：
选项A：$2AC=2\sqrt{10}≠2\sqrt{5}=AB$，结论错误；
选项C：$\sqrt{2}AD=\sqrt{2}×\sqrt{5}=\sqrt{10}≠2\sqrt{5}=AB$，结论错误；
选项D：在$△ ABC$中，$AC^2+BC^2=10+10=20=AB^2$，且$AC=BC$，故$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ BAC=45°≠60°$，结论错误；
选项B：在$△ ADC$中，$AD^2+CD^2=5+5=10=AC^2$，且$AD=CD$，故$△ ADC$是等腰直角三角形，$∠ DAC=45°$，因此$∠ BAC=∠ DAC=45°$，结论正确。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；等腰直角三角形的判定与性质；网格角度计算
【点评】
本题属于网格类常规考题，核心考查勾股定理的应用，通过计算线段长度推导三角形形状，进而得到角的大小关系，解题的关键是准确数对线段对应的横纵方格数，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
要判断网格中线段和角度的结论是否正确，我们可以先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理计算出相关线段的长度，先排查线段长度相关的选项；再通过线段长度判断三角形的形状，得到对应角的度数，进而判断角度相关选项是否正确。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 用勾股定理计算各线段长度：
$AB=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
$AD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
$CD=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
2. 逐一判断选项：
选项A：$2AC=2\sqrt{10}≠2\sqrt{5}=AB$，结论错误；
选项C：$\sqrt{2}AD=\sqrt{2}×\sqrt{5}=\sqrt{10}≠2\sqrt{5}=AB$，结论错误；
选项D：在$△ ABC$中，$AC^2+BC^2=10+10=20=AB^2$，且$AC=BC$，故$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ BAC=45°≠60°$，结论错误；
选项B：在$△ ADC$中，$AD^2+CD^2=5+5=10=AC^2$，且$AD=CD$，故$△ ADC$是等腰直角三角形，$∠ DAC=45°$，因此$∠ BAC=∠ DAC=45°$，结论正确。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；等腰直角三角形的判定与性质；网格角度计算
【点评】
本题属于网格类常规考题，核心考查勾股定理的应用，通过计算线段长度推导三角形形状，进而得到角的大小关系，解题的关键是准确数对线段对应的横纵方格数，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
3. 如图，将边长为8 cm的正方形ABCD沿MN折叠，点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，点M在AB上，点N在CD上，则MN的长为（
A.9 cm
B.9.5 cm
C.$4\sqrt{3}$ cm
D.$4\sqrt{5}$ cm
D
）。A.9 cm
B.9.5 cm
C.$4\sqrt{3}$ cm
D.$4\sqrt{5}$ cm
答案
3.D
解析
【分析】
遇到折叠类几何题，首先回忆折叠的性质：折叠后对应点的连线被折痕垂直平分，因此可先连接DE，得到MN⊥DE的关系。要求MN的长度，直接计算条件不足，因此考虑构造全等三角形转化线段：过点M作CD的垂线，可得到与Rt△DCE全等的直角三角形，将MN转化为DE，再利用勾股定理计算DE的长度即可。
【解析】
解：连接DE，过点M作MG⊥CD于点G，
∵四边形ABCD是正方形，边长为8cm，
∴MG=AD=CD=8cm，∠C=∠MGN=90°，
由折叠的性质可知，点D与点E关于MN对称，
∴MN⊥DE，
∴∠MNG + ∠CDE = 90°，
又
∵在Rt△DCE中，∠DEC + ∠CDE = 90°，
∴∠MNG = ∠DEC，
在△MGN和△DCE中：
$\{\begin{array}{l}∠ MGN=∠ C\\ ∠ MNG=∠ DEC\\ MG=DC\end{array} $
∴△MGN≌△DCE（AAS），
∴MN=DE，
∵E是BC的中点，
∴EC=$\frac{1}{2}$BC=4cm，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{D{C}^{2}+E{C}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$（cm），
∴MN=$4\sqrt{5}$ cm。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，核心是利用折叠的性质得到线段的垂直关系，通过作辅助线构造全等三角形实现未知线段到已知线段的转化，再结合勾股定理求解，很好地考查了几何中的转化思想。
【难度系数】
0.6
遇到折叠类几何题，首先回忆折叠的性质：折叠后对应点的连线被折痕垂直平分，因此可先连接DE，得到MN⊥DE的关系。要求MN的长度，直接计算条件不足，因此考虑构造全等三角形转化线段：过点M作CD的垂线，可得到与Rt△DCE全等的直角三角形，将MN转化为DE，再利用勾股定理计算DE的长度即可。
【解析】
解：连接DE，过点M作MG⊥CD于点G，
∵四边形ABCD是正方形，边长为8cm，
∴MG=AD=CD=8cm，∠C=∠MGN=90°，
由折叠的性质可知，点D与点E关于MN对称，
∴MN⊥DE，
∴∠MNG + ∠CDE = 90°，
又
∵在Rt△DCE中，∠DEC + ∠CDE = 90°，
∴∠MNG = ∠DEC，
在△MGN和△DCE中：
$\{\begin{array}{l}∠ MGN=∠ C\\ ∠ MNG=∠ DEC\\ MG=DC\end{array} $
∴△MGN≌△DCE（AAS），
∴MN=DE，
∵E是BC的中点，
∴EC=$\frac{1}{2}$BC=4cm，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{D{C}^{2}+E{C}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$（cm），
∴MN=$4\sqrt{5}$ cm。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，核心是利用折叠的性质得到线段的垂直关系，通过作辅助线构造全等三角形实现未知线段到已知线段的转化，再结合勾股定理求解，很好地考查了几何中的转化思想。
【难度系数】
0.6
4. 一般地,如果把一个图形绕着某一点旋转一定角度(小于$360°$),它能够与原来的图形重合,那么这个图形叫作旋转对称图形。如图,八边形的每个内角都为$135°$,它是一个旋转对称图形,最小旋转角为$90°$,求阴影部分的面积和。
答案
4.解:如图
,过旋转对称中心点 O 向边 AE,BC 作垂线,垂足分别为点 M,N,延长 MA,NB 交于点 F,∴∠ONF=∠OMF=90°。
∵八边形是旋转对称图形,最小旋转角为 90°,八边形的每个内角都为 135°,
∴∠NBA=∠BAM=135°,
∴∠FBA=∠FAB=45°,
∴AF=BF,∠F=90°,
∴∠ONF=∠OMF=∠F=90°,
∴四边形 ONFM 为矩形。
∵八边形是旋转对称图形,最小旋转角为 90°,
∴OM=ON,
∴四边形 ONFM 为正方形。
∵AB=2,BC=4,PD=2,八边形是旋转对称图形,AF=BF,∠F=90°,
∴BF=$\sqrt{2}$,$BN=\frac{1}{2}BC=2$,$PR=\frac{1}{2}PD=1$,
∴$S_{\mathrm{正方形}ONFM}=(2+\sqrt{2})^2=6+4\sqrt{2}$,
$S_{△ FBA}=\frac{1}{2}×(\sqrt{2})^2=1$,
$S_{\mathrm{四边形}BNRP}+S_{\mathrm{四边形}APSM}=2×\frac{1}{2}×(2+1)×(2+\sqrt{2}-1)=3\sqrt{2}+3$,
∴$S_{△ ABP}+S_{\mathrm{正方形}PSOR}=(6+4\sqrt{2})-(1+3\sqrt{2}+3)=\sqrt{2}+2$,
∴$S_{\mathrm{阴影}}=4×(\sqrt{2}+2)=4\sqrt{2}+8$。
解析
【分析】
本题要求阴影部分的总面积，首先观察图形是最小旋转角为90°的旋转对称图形，因此只需先求出$\frac{1}{4}$区域内的阴影面积，再乘4即可得到总面积。解题时先找到旋转对称中心O，通过作垂线构造辅助线，利用八边形内角为135°推导得到外角为45°，进而构造出等腰直角三角形和正方形，将不规则图形的面积转化为正方形、等腰直角三角形、梯形等规则图形的面积和差计算，最后利用旋转对称性乘4得到总阴影面积。
【解析】
解：如图，过旋转对称中心点O向边AE、BC作垂线，垂足分别为点M、N，延长MA、NB交于点F，
∴$∠ ONF=∠ OMF=90°$。
∵八边形是旋转对称图形，最小旋转角为$90°$，八边形的每个内角都为$135°$，
∴$∠ NBA=∠ BAM=135°$，
∴$∠ FBA=∠ FAB=180°-135°=45°$，
∴$AF=BF$，$∠ F=180°-45°-45°=90°$，
∴$∠ ONF=∠ OMF=∠ F=90°$，
∴四边形ONFM为矩形。
∵八边形是旋转对称图形，最小旋转角为$90°$，
∴$OM=ON$，
∴矩形ONFM为正方形。
∵$AB=2$，$BC=4$，$PD=2$，八边形是旋转对称图形，$AF=BF$，$∠ F=90°$，
∴等腰$Rt△ FBA$中，由勾股定理得$BF=AF=\sqrt{2}$，$BN=\frac{1}{2}BC=2$，$PR=\frac{1}{2}PD=1$，
∴$S_{\mathrm{正方形}ONFM}=(2+\sqrt{2})^2=6+4\sqrt{2}$，
$S_{△ FBA}=\frac{1}{2}×(\sqrt{2})^2=1$，
$S_{\mathrm{四边形}BNRP}+S_{\mathrm{四边形}APSM}=2×\frac{1}{2}×(2+1)×(2+\sqrt{2}-1)=3\sqrt{2}+3$，
∴$\frac{1}{4}$区域内阴影面积为$S_{△ ABP}+S_{\mathrm{正方形}PSOR}=(6+4\sqrt{2})-(1+3\sqrt{2}+3)=\sqrt{2}+2$，
∴$S_{\mathrm{阴影}}=4×(\sqrt{2}+2)=4\sqrt{2}+8$。
【答案】
$4\sqrt{2}+8$
【知识点】
旋转对称图形的性质、等腰直角三角形的性质、正方形的面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心是利用旋转对称的性质将整体面积求解转化为部分面积计算，通过作辅助线把不规则图形转化为规则图形的和差计算，体现了几何中的转化思想，对学生的辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题要求阴影部分的总面积，首先观察图形是最小旋转角为90°的旋转对称图形，因此只需先求出$\frac{1}{4}$区域内的阴影面积，再乘4即可得到总面积。解题时先找到旋转对称中心O，通过作垂线构造辅助线，利用八边形内角为135°推导得到外角为45°，进而构造出等腰直角三角形和正方形，将不规则图形的面积转化为正方形、等腰直角三角形、梯形等规则图形的面积和差计算，最后利用旋转对称性乘4得到总阴影面积。
【解析】
解：如图
，过旋转对称中心点O向边AE、BC作垂线，垂足分别为点M、N，延长MA、NB交于点F，∴$∠ ONF=∠ OMF=90°$。
∵八边形是旋转对称图形，最小旋转角为$90°$，八边形的每个内角都为$135°$，
∴$∠ NBA=∠ BAM=135°$，
∴$∠ FBA=∠ FAB=180°-135°=45°$，
∴$AF=BF$，$∠ F=180°-45°-45°=90°$，
∴$∠ ONF=∠ OMF=∠ F=90°$，
∴四边形ONFM为矩形。
∵八边形是旋转对称图形，最小旋转角为$90°$，
∴$OM=ON$，
∴矩形ONFM为正方形。
∵$AB=2$，$BC=4$，$PD=2$，八边形是旋转对称图形，$AF=BF$，$∠ F=90°$，
∴等腰$Rt△ FBA$中，由勾股定理得$BF=AF=\sqrt{2}$，$BN=\frac{1}{2}BC=2$，$PR=\frac{1}{2}PD=1$，
∴$S_{\mathrm{正方形}ONFM}=(2+\sqrt{2})^2=6+4\sqrt{2}$，
$S_{△ FBA}=\frac{1}{2}×(\sqrt{2})^2=1$，
$S_{\mathrm{四边形}BNRP}+S_{\mathrm{四边形}APSM}=2×\frac{1}{2}×(2+1)×(2+\sqrt{2}-1)=3\sqrt{2}+3$，
∴$\frac{1}{4}$区域内阴影面积为$S_{△ ABP}+S_{\mathrm{正方形}PSOR}=(6+4\sqrt{2})-(1+3\sqrt{2}+3)=\sqrt{2}+2$，
∴$S_{\mathrm{阴影}}=4×(\sqrt{2}+2)=4\sqrt{2}+8$。
【答案】
$4\sqrt{2}+8$
【知识点】
旋转对称图形的性质、等腰直角三角形的性质、正方形的面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心是利用旋转对称的性质将整体面积求解转化为部分面积计算，通过作辅助线把不规则图形转化为规则图形的和差计算，体现了几何中的转化思想，对学生的辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
