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1.已知$h$与$t$之间的关系式为$h=\frac{1}{2}gt^2$，($g$为正常数)，则函数的图象为(
A
)。答案
1.A
解析
【分析】
首先判断函数类型，$h=\frac{1}{2}gt^2$符合二次函数的形式，先回忆二次函数$y=ax^2$的性质：当$a＞0$时图象开口向上。再考虑自变量$t$的取值范围，$t$为非负数，因此对应的函数值$h$也为非负数，图象仅在第一象限（含原点），再结合二次函数图象是曲线的特征，逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
解：已知关系式$h=\frac{1}{2}gt^2$，$g$为正常数：
1. 函数类型判断：该式是关于$t$的二次函数，二次项系数$\frac{1}{2}g＞0$，因此函数图象开口向上，且为曲线，可排除表示一次函数的直线选项C；
2. 取值范围判断：自变量$t≥0$，代入可得函数值$h≥0$，因此图象仅在第一象限及原点，排除$h$为负的选项B、$h$随$t$增大而减小的选项D；
综上，只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图象、二次函数的性质
【点评】
本题考查二次函数的图象识别，解题时既要结合二次项系数判断图象的开口方向，也要注意自变量的取值范围对图象位置的限制，掌握基础函数的图象特征是解题关键。
【难度系数】
0.8
首先判断函数类型，$h=\frac{1}{2}gt^2$符合二次函数的形式，先回忆二次函数$y=ax^2$的性质：当$a＞0$时图象开口向上。再考虑自变量$t$的取值范围，$t$为非负数，因此对应的函数值$h$也为非负数，图象仅在第一象限（含原点），再结合二次函数图象是曲线的特征，逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
解：已知关系式$h=\frac{1}{2}gt^2$，$g$为正常数：
1. 函数类型判断：该式是关于$t$的二次函数，二次项系数$\frac{1}{2}g＞0$，因此函数图象开口向上，且为曲线，可排除表示一次函数的直线选项C；
2. 取值范围判断：自变量$t≥0$，代入可得函数值$h≥0$，因此图象仅在第一象限及原点，排除$h$为负的选项B、$h$随$t$增大而减小的选项D；
综上，只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图象、二次函数的性质
【点评】
本题考查二次函数的图象识别，解题时既要结合二次项系数判断图象的开口方向，也要注意自变量的取值范围对图象位置的限制，掌握基础函数的图象特征是解题关键。
【难度系数】
0.8
2. 已知抛物线的表达式为$y=2(x+1)^2 -3$，则它的顶点坐标是（
A.(1,3)
B.(1,-3)
C.(-1,3)
D.(-1,-3)
D
）。A.(1,3)
B.(1,-3)
C.(-1,3)
D.(-1,-3)
答案
2.D
解析
【分析】
首先观察题目给出的抛物线表达式，属于二次函数的顶点式形式，解题核心是牢记二次函数顶点式对应的顶点坐标规则。首先回忆二次函数顶点式的一般结构：$ y=a(x-h)^2 +k $（$ a≠0 $），其顶点坐标为$ (h,k) $，需要注意括号内是$ x $减$ h $，如果括号内是加号，要转换为减号形式确定$ h $的取值，再将题目的表达式和一般顶点式对比，即可求出顶点坐标。
【解析】
二次函数的顶点式为$ y=a(x-h)^2 +k $（$ a≠0 $），对应顶点坐标为$ (h,k) $。
将题中抛物线表达式$ y=2(x+1)^2 -3 $变形为和顶点式一致的形式：$ y=2[x-(-1)]^2 + (-3) $，对比可得$ h=-1 $，$ k=-3 $，因此该抛物线的顶点坐标为$ (-1,-3) $。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数顶点坐标
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数顶点式的识别与应用，易错点是混淆顶点横坐标的符号，牢记顶点式中括号内为$ x-h $的形式即可避免出错。
【难度系数】
0.9
首先观察题目给出的抛物线表达式，属于二次函数的顶点式形式，解题核心是牢记二次函数顶点式对应的顶点坐标规则。首先回忆二次函数顶点式的一般结构：$ y=a(x-h)^2 +k $（$ a≠0 $），其顶点坐标为$ (h,k) $，需要注意括号内是$ x $减$ h $，如果括号内是加号，要转换为减号形式确定$ h $的取值，再将题目的表达式和一般顶点式对比，即可求出顶点坐标。
【解析】
二次函数的顶点式为$ y=a(x-h)^2 +k $（$ a≠0 $），对应顶点坐标为$ (h,k) $。
将题中抛物线表达式$ y=2(x+1)^2 -3 $变形为和顶点式一致的形式：$ y=2[x-(-1)]^2 + (-3) $，对比可得$ h=-1 $，$ k=-3 $，因此该抛物线的顶点坐标为$ (-1,-3) $。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数顶点坐标
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数顶点式的识别与应用，易错点是混淆顶点横坐标的符号，牢记顶点式中括号内为$ x-h $的形式即可避免出错。
【难度系数】
0.9
3. 已知二次函数的图象($-0.7 ≤ x ≤ 2$)如图所示，则下列结论正确的是（
A.函数有最小值1，有最大值2
B.函数有最小值－1，有最大值1
C.函数有最小值－1，有最大值2
D.函数有最小值－1，无最大值
C
）。A.函数有最小值1，有最大值2
B.函数有最小值－1，有最大值1
C.函数有最小值－1，有最大值2
D.函数有最小值－1，无最大值
答案
3.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要注意题目给出了二次函数自变量的取值范围是$-0.7 ≤ x ≤ 2$，因此不能直接按全体实数范围判断最值，需要结合该区间内的函数图像找最高点和最低点：首先观察区间内的图像，最高点是抛物线的顶点，对应函数的最大值；再对比区间两个端点的函数值，较低的那个就是区间内的最小值，对应选项即可。
【解析】
观察$-0.7 ≤ x ≤ 2$范围内的二次函数图像：
1. 图像的最高点为顶点$(1,2)$，且$x=1$在给定区间内，因此函数的最大值为$2$；
2. 区间左端点$x=-0.7$处的函数值为$-1$，右端点$x=2$处的函数值为$1$，对比可知区间内最低点的函数值为$-1$，即函数最小值为$-1$。
因此函数有最小值$-1$，有最大值$2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像；二次函数的最值
【点评】
本题考查给定自变量取值范围的二次函数最值问题，解题时需结合限定范围内的图像判断最值，不能直接套用全体实数下的二次函数最值结论，结合图像分析更直观准确。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要注意题目给出了二次函数自变量的取值范围是$-0.7 ≤ x ≤ 2$，因此不能直接按全体实数范围判断最值，需要结合该区间内的函数图像找最高点和最低点：首先观察区间内的图像，最高点是抛物线的顶点，对应函数的最大值；再对比区间两个端点的函数值，较低的那个就是区间内的最小值，对应选项即可。
【解析】
观察$-0.7 ≤ x ≤ 2$范围内的二次函数图像：
1. 图像的最高点为顶点$(1,2)$，且$x=1$在给定区间内，因此函数的最大值为$2$；
2. 区间左端点$x=-0.7$处的函数值为$-1$，右端点$x=2$处的函数值为$1$，对比可知区间内最低点的函数值为$-1$，即函数最小值为$-1$。
因此函数有最小值$-1$，有最大值$2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像；二次函数的最值
【点评】
本题考查给定自变量取值范围的二次函数最值问题，解题时需结合限定范围内的图像判断最值，不能直接套用全体实数下的二次函数最值结论，结合图像分析更直观准确。
【难度系数】
0.8
4. 已知二次函数$y=2(x-5)^2+1$，则下列结论正确的是(
A.图象的开口向下
B.图象的对称轴为直线$x=-5$
C.函数的最小值为1
D.当$x＜5$时，$y$随$x$的增大而增大
C
)。A.图象的开口向下
B.图象的对称轴为直线$x=-5$
C.函数的最小值为1
D.当$x＜5$时，$y$随$x$的增大而增大
答案
4.C
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路是先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$中各参数的意义：$a$决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，再结合这些性质逐一判断四个选项即可。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=2(x-5)^2+1$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=2$，$h=5$，$k=1$：
选项A：$\because a=2＞0$，$\therefore$ 图象开口向上，A错误；
选项B：图象的对称轴为直线$x=h=5$，不是$x=-5$，B错误；
选项C：$\because$ 图象开口向上，顶点为图象最低点，$\therefore$ 函数的最小值为$k=1$，C正确；
选项D：开口向上时，在对称轴左侧（即$x＜5$时），$y$随$x$的增大而减小，D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数顶点式各参数对应的性质，只要熟练掌握顶点式的开口方向、对称轴、最值、增减性的判断规则，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路是先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$中各参数的意义：$a$决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，再结合这些性质逐一判断四个选项即可。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=2(x-5)^2+1$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=2$，$h=5$，$k=1$：
选项A：$\because a=2＞0$，$\therefore$ 图象开口向上，A错误；
选项B：图象的对称轴为直线$x=h=5$，不是$x=-5$，B错误；
选项C：$\because$ 图象开口向上，顶点为图象最低点，$\therefore$ 函数的最小值为$k=1$，C正确；
选项D：开口向上时，在对称轴左侧（即$x＜5$时），$y$随$x$的增大而减小，D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数顶点式各参数对应的性质，只要熟练掌握顶点式的开口方向、对称轴、最值、增减性的判断规则，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
5. 如图,已知抛物线$y=ax^2-\frac{3}{2}x+c$与x轴交于点A和点B(4,0),与y轴交于点C(0,-2)。
(1)求抛物线的表达式;
(2)在x轴下方的抛物线上存在一点P,使$S_{△ ABP}=5$,求点P的坐标。
(1)求抛物线的表达式;
(2)在x轴下方的抛物线上存在一点P,使$S_{△ ABP}=5$,求点P的坐标。
答案
5.解:(1)把(4,0)和(0,-2)代入$y=ax^2-\frac{3}{2}x+c$,
得$\begin{cases}16a-6+c=0,\\c=-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2},\\c=-2,\end{cases}$
$\therefore y=\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x-2$。
(2)当$y=0$时,$\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x-2=0$,
解得$x_1=-1,x_2=4$。
$\because B(4,0),\therefore A(-1,0)$,
$\therefore AB=4-(-1)=5$。
设$△ ABP$在边$AB$上的高为$h$,则$\frac{1}{2}×5×h=5$,解得$h=2$。
$\because$ 点$P$在$x$轴下方的抛物线上,
$\therefore$ 点$P$的纵坐标为$-2$。
解$\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x-2=-2$,得$x_1=0,x_2=3$。
故$P(0,-2)$或$P(3,-2)$。
得$\begin{cases}16a-6+c=0,\\c=-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2},\\c=-2,\end{cases}$
$\therefore y=\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x-2$。
(2)当$y=0$时,$\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x-2=0$,
解得$x_1=-1,x_2=4$。
$\because B(4,0),\therefore A(-1,0)$,
$\therefore AB=4-(-1)=5$。
设$△ ABP$在边$AB$上的高为$h$,则$\frac{1}{2}×5×h=5$,解得$h=2$。
$\because$ 点$P$在$x$轴下方的抛物线上,
$\therefore$ 点$P$的纵坐标为$-2$。
解$\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x-2=-2$,得$x_1=0,x_2=3$。
故$P(0,-2)$或$P(3,-2)$。
解析
【分析】
(1) 求抛物线表达式可采用待定系数法：已知抛物线经过B、C两点，将两点坐标代入抛物线的一般式，得到关于参数a、c的二元一次方程组，解方程组求出a、c的值即可得到解析式。
(2) 求满足$S_{△ ABP}=5$的点P坐标，首先需要求出AB的长度：令解析式中y=0，解方程得到点A的坐标，即可算出AB的长度；再结合三角形面积公式求出AB边上的高，因为点P在x轴下方，所以点P的纵坐标为高的相反数，最后将该纵坐标代入抛物线解析式，解出对应的x值，即可得到点P的坐标。
【解析】
(1) 将点B(4,0)、C(0,-2)代入$y=ax^2-\frac{3}{2}x+c$，可得：
$\begin{cases}16a-\frac{3}{2}×4+c=0\\c=-2\end{cases}$，化简得$\begin{cases}16a-6+c=0\\c=-2\end{cases}$
把$c=-2$代入第一个方程，解得$a=\frac{1}{2}$
$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x-2$
(2) 令$y=0$，代入解析式得：$\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x-2=0$
整理得$x^2-3x-4=0$，因式分解得$(x+1)(x-4)=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=4$，即点A坐标为(-1,0)
$\therefore AB=4-(-1)=5$
设$△ ABP$中AB边上的高为h，由三角形面积公式得：
$\frac{1}{2}× AB× h=5$，代入AB=5解得$h=2$
$\because$ 点P在x轴下方的抛物线上，$\therefore$ 点P的纵坐标为$-2$
令$y=-2$，代入解析式得：$\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x-2=-2$
整理得$x^2-3x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=3$
$\therefore$ 点P的坐标为(0,-2)或(3,-2)
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x-2$；(2) $(0,-2)$或$(3,-2)$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数与坐标轴交点，三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数基础综合题，解题核心是熟练掌握待定系数法求解析式的方法，以及将几何面积条件转化为点的坐标特征，再通过解方程求点坐标，解题时需注意点P的位置限制，避免产生多余解。
【难度系数】
0.8
(1) 求抛物线表达式可采用待定系数法：已知抛物线经过B、C两点，将两点坐标代入抛物线的一般式，得到关于参数a、c的二元一次方程组，解方程组求出a、c的值即可得到解析式。
(2) 求满足$S_{△ ABP}=5$的点P坐标，首先需要求出AB的长度：令解析式中y=0，解方程得到点A的坐标，即可算出AB的长度；再结合三角形面积公式求出AB边上的高，因为点P在x轴下方，所以点P的纵坐标为高的相反数，最后将该纵坐标代入抛物线解析式，解出对应的x值，即可得到点P的坐标。
【解析】
(1) 将点B(4,0)、C(0,-2)代入$y=ax^2-\frac{3}{2}x+c$，可得：
$\begin{cases}16a-\frac{3}{2}×4+c=0\\c=-2\end{cases}$，化简得$\begin{cases}16a-6+c=0\\c=-2\end{cases}$
把$c=-2$代入第一个方程，解得$a=\frac{1}{2}$
$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x-2$
(2) 令$y=0$，代入解析式得：$\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x-2=0$
整理得$x^2-3x-4=0$，因式分解得$(x+1)(x-4)=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=4$，即点A坐标为(-1,0)
$\therefore AB=4-(-1)=5$
设$△ ABP$中AB边上的高为h，由三角形面积公式得：
$\frac{1}{2}× AB× h=5$，代入AB=5解得$h=2$
$\because$ 点P在x轴下方的抛物线上，$\therefore$ 点P的纵坐标为$-2$
令$y=-2$，代入解析式得：$\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x-2=-2$
整理得$x^2-3x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=3$
$\therefore$ 点P的坐标为(0,-2)或(3,-2)
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x-2$；(2) $(0,-2)$或$(3,-2)$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数与坐标轴交点，三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数基础综合题，解题核心是熟练掌握待定系数法求解析式的方法，以及将几何面积条件转化为点的坐标特征，再通过解方程求点坐标，解题时需注意点P的位置限制，避免产生多余解。
【难度系数】
0.8
