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6.【综合与实践】为了给学校的柯尔鸭提供舒适的过冬环境，饲养小组的同学决定用长为k m的篱笆和一面长为6 m的墙围成如图所示的长方形鸭圈。整个鸭圈的正中间被篱笆隔断成活动区和生活区，活动区和生活区中间的篱笆上分别开了一个门，两个门的尺寸均为0.5 m，鸭圈垂直于墙的一边的长为a m。（其中篱笆全部用完，不考虑高度，篱笆的占地面积忽略不计，门的材料另备）
(1)用含k,a的代数式表示鸭圈另一边长CD=
(2)当k=10时，
①若鸭圈的面积为10 m²，求a的值；
②小成、小韩和小林根据a的长度分别给出了如下3种不同的设计方案，请分别计算CD的长并分析谁的方案合理。
(3)若篱笆最多有16 m，鸭圈的面积能否达到24 m²？
(1)用含k,a的代数式表示鸭圈另一边长CD=
$(k+1-3a)$
m。(2)当k=10时，
①若鸭圈的面积为10 m²，求a的值；
②小成、小韩和小林根据a的长度分别给出了如下3种不同的设计方案，请分别计算CD的长并分析谁的方案合理。
(3)若篱笆最多有16 m，鸭圈的面积能否达到24 m²？
答案
(1)$(k+1-3a)$
(2)解:①$\because k=10$,
$\therefore CD=k+1-3a=(11-3a)\mathrm{m}$,
$\therefore 10=a(11-3a)$,
解得$a_1=2,a_2=\frac{5}{3}$。
②$\because$墙长为6 m,门宽0.5 m,
$\therefore 0.5＜CD≤ 6$。
当$a=1.5$时,$CD=11-3a=6.5＞6$,不合题意;
当$a=2.5$时,$CD=3.5＜6$,符合题意;
当$a=3.5$时,$CD=0.5$,不合题意。
所以小韩的方案合理。
(3)解:当$k=16$时,$CD=(17-3a)\mathrm{m}$。
由(2)得$0.5＜CD≤ 6$,
$\therefore 0.5＜17-3a≤ 6$,
解得$\frac{11}{3}≤ a＜5.5$。
设鸭圈的面积为$S$,则$S=a(17-3a)=-3a^2+17a$。
$\because -3＜0$,
$\therefore$函数图象的对称轴为直线$a=\frac{17}{6}$。
$\because \frac{17}{6}＜\frac{11}{3}$,
$\therefore$当$a=\frac{11}{3}$时,$S$取得最大值,$S_{\mathrm{最大}}=22＜24$,
所以鸭圈的面积不能达到$24\ \mathrm{m}^2$。
(2)解:①$\because k=10$,
$\therefore CD=k+1-3a=(11-3a)\mathrm{m}$,
$\therefore 10=a(11-3a)$,
解得$a_1=2,a_2=\frac{5}{3}$。
②$\because$墙长为6 m,门宽0.5 m,
$\therefore 0.5＜CD≤ 6$。
当$a=1.5$时,$CD=11-3a=6.5＞6$,不合题意;
当$a=2.5$时,$CD=3.5＜6$,符合题意;
当$a=3.5$时,$CD=0.5$,不合题意。
所以小韩的方案合理。
(3)解:当$k=16$时,$CD=(17-3a)\mathrm{m}$。
由(2)得$0.5＜CD≤ 6$,
$\therefore 0.5＜17-3a≤ 6$,
解得$\frac{11}{3}≤ a＜5.5$。
设鸭圈的面积为$S$,则$S=a(17-3a)=-3a^2+17a$。
$\because -3＜0$,
$\therefore$函数图象的对称轴为直线$a=\frac{17}{6}$。
$\because \frac{17}{6}＜\frac{11}{3}$,
$\therefore$当$a=\frac{11}{3}$时,$S$取得最大值,$S_{\mathrm{最大}}=22＜24$,
所以鸭圈的面积不能达到$24\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
(1) 先分析篱笆的构成：鸭圈有3条垂直于墙的边，每条长a m，总长度为3a m；平行于墙的边为CD，中间隔断的2个门各宽0.5m，门无需使用篱笆，因此总篱笆长度$k=3a+CD-2×0.5$，变形即可得到CD的表达式。
(2) ①将k=10代入(1)中CD的表达式，结合长方形面积公式“面积=垂直于墙的边长×CD”列一元二次方程求解即可；②先根据墙长6m、门宽0.5m确定CD的取值范围为$0.5＜CD≤6$，分别代入三个方案的a值计算CD，判断是否符合取值范围即可判断方案合理性。
(3) 当k最大为16时，先写出CD的表达式，结合CD的取值范围求出a的可行区间，再写出面积S关于a的二次函数解析式，根据二次函数的开口方向和对称轴，判断在a的可行区间内的最大面积，与24比较即可得出结论。
【解析】
(1) 由篱笆总长度关系：$k=3a+CD-2×0.5$，移项得$CD=k+1-3a$。
(2) ①当$k=10$时，$CD=10+1-3a=11-3a$，
由鸭圈面积为$10\ \mathrm{m}^2$，得$a(11-3a)=10$，
整理得$3a^2-11a+10=0$，
因式分解得$(3a-5)(a-2)=0$，
解得$a_1=2$，$a_2=\frac{5}{3}$。
②由题意，CD长度需满足$0.5＜CD≤6$：
当$a=1.5$时，$CD=11-3×1.5=6.5＞6$，超出墙长，不符合要求；
当$a=2.5$时，$CD=11-3×2.5=3.5$，满足$0.5＜3.5≤6$，符合要求；
当$a=3.5$时，$CD=11-3×3.5=0.5$，不满足CD大于0.5的要求，不符合；
因此小韩的方案合理。
(3) 当篱笆最长$k=16$时，$CD=16+1-3a=17-3a$，
由$0.5＜CD≤6$，得$0.5＜17-3a≤6$，
解不等式得$\frac{11}{3}≤a＜5.5$。
设鸭圈面积为S，则$S=a· CD=a(17-3a)=-3a^2+17a$，
该二次函数开口向下，对称轴为直线$a=\frac{17}{6}$，
因为$\frac{17}{6}＜\frac{11}{3}$，所以在a的取值范围内，S随a的增大而减小，
因此当$a=\frac{11}{3}$时，S取得最大值：
$S_{\mathrm{最大}}=\frac{11}{3}×(17-3×\frac{11}{3})=22＜24$，
故鸭圈的面积不能达到$24\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{k+1-3a}$
(2) ①$\boldsymbol{a_1=2,a_2=\frac{5}{3}}$；②小韩的方案合理
(3) 鸭圈的面积不能达到$\boldsymbol{24\ \mathrm{m}^2}$
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；二次函数的最值应用
【点评】
本题结合生活实际场景命题，考查了代数知识在实际问题中的应用，解题时需注意结合墙长、门宽等实际限制条件对结果进行取舍，避免出现与实际不符的答案，同时要熟练掌握二次函数最值的求解方法。
【难度系数】
0.6
(1) 先分析篱笆的构成：鸭圈有3条垂直于墙的边，每条长a m，总长度为3a m；平行于墙的边为CD，中间隔断的2个门各宽0.5m，门无需使用篱笆，因此总篱笆长度$k=3a+CD-2×0.5$，变形即可得到CD的表达式。
(2) ①将k=10代入(1)中CD的表达式，结合长方形面积公式“面积=垂直于墙的边长×CD”列一元二次方程求解即可；②先根据墙长6m、门宽0.5m确定CD的取值范围为$0.5＜CD≤6$，分别代入三个方案的a值计算CD，判断是否符合取值范围即可判断方案合理性。
(3) 当k最大为16时，先写出CD的表达式，结合CD的取值范围求出a的可行区间，再写出面积S关于a的二次函数解析式，根据二次函数的开口方向和对称轴，判断在a的可行区间内的最大面积，与24比较即可得出结论。
【解析】
(1) 由篱笆总长度关系：$k=3a+CD-2×0.5$，移项得$CD=k+1-3a$。
(2) ①当$k=10$时，$CD=10+1-3a=11-3a$，
由鸭圈面积为$10\ \mathrm{m}^2$，得$a(11-3a)=10$，
整理得$3a^2-11a+10=0$，
因式分解得$(3a-5)(a-2)=0$，
解得$a_1=2$，$a_2=\frac{5}{3}$。
②由题意，CD长度需满足$0.5＜CD≤6$：
当$a=1.5$时，$CD=11-3×1.5=6.5＞6$，超出墙长，不符合要求；
当$a=2.5$时，$CD=11-3×2.5=3.5$，满足$0.5＜3.5≤6$，符合要求；
当$a=3.5$时，$CD=11-3×3.5=0.5$，不满足CD大于0.5的要求，不符合；
因此小韩的方案合理。
(3) 当篱笆最长$k=16$时，$CD=16+1-3a=17-3a$，
由$0.5＜CD≤6$，得$0.5＜17-3a≤6$，
解不等式得$\frac{11}{3}≤a＜5.5$。
设鸭圈面积为S，则$S=a· CD=a(17-3a)=-3a^2+17a$，
该二次函数开口向下，对称轴为直线$a=\frac{17}{6}$，
因为$\frac{17}{6}＜\frac{11}{3}$，所以在a的取值范围内，S随a的增大而减小，
因此当$a=\frac{11}{3}$时，S取得最大值：
$S_{\mathrm{最大}}=\frac{11}{3}×(17-3×\frac{11}{3})=22＜24$，
故鸭圈的面积不能达到$24\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{k+1-3a}$
(2) ①$\boldsymbol{a_1=2,a_2=\frac{5}{3}}$；②小韩的方案合理
(3) 鸭圈的面积不能达到$\boldsymbol{24\ \mathrm{m}^2}$
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；二次函数的最值应用
【点评】
本题结合生活实际场景命题，考查了代数知识在实际问题中的应用，解题时需注意结合墙长、门宽等实际限制条件对结果进行取舍，避免出现与实际不符的答案，同时要熟练掌握二次函数最值的求解方法。
【难度系数】
0.6
