1.已知二次函数$y=x^2+(k-1)x+1$的图象与$x$轴只有一个交点，则$k$的值为（）。

A.1
B.$-1$
C.$2$或$-2$
D.$3$或$-1$

1.D

【分析】
要解决二次函数图象与x轴交点个数的问题，需结合一元二次方程根的判别式分析：二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象与$x$轴只有一个交点，等价于对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=b^2-4ac=0$。我们只需要先确定题中二次函数的$a、b、c$的值，代入判别式列方程求解即可得到$k$的值。
【解析】
已知二次函数$y=x^2+(k-1)x+1$的图象与$x$轴只有一个交点，因此对应的一元二次方程$x^2+(k-1)x+1=0$有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$。
其中$a=1$，$b=k-1$，$c=1$，代入判别式公式：
$\Delta=b^2-4ac=(k-1)^2-4×1×1=0$
整理得：$(k-1)^2=4$
开方得：$k-1=2$或$k-1=-2$
解得：$k=3$或$k=-1$
因此$k$的值为3或-1。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数与x轴交点判定
2.一元二次方程判别式应用
【点评】
本题属于基础常考题，核心是掌握二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程判别式的对应关系，明确$\Delta＞0$时图象与x轴有2个交点，$\Delta=0$时1个交点，$\Delta＜0$时无交点，代入计算即可快速求解。
【难度系数】
0.8

2. 如图，抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交于$A(-1,0),B(3,0)$两点，则方程$ax^2+bx+c=0$的解是（）。


A.$x=-1$或$x=3$
B.$x=-1$且$x=3$
C.$x=1$或$x=-3$
D.$x=1$且$x=-3$

2.A

【分析】
解题时首先要明确二次函数与对应一元二次方程的关系：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解。其次要注意方程的解是满足方程的x的取值，多个解之间是“或”的关系，不需要同时满足。本题已知抛物线与x轴的两个交点坐标，直接提取交点的横坐标即可得到方程的解。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系：当二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为0时，对应的x的值就是方程$ax^2+bx+c=0$的解，也即抛物线与x轴交点的横坐标就是该方程的解。
已知抛物线与x轴交于$A(-1,0)$、$B(3,0)$两点，说明当$x=-1$或$x=3$时，$ax^2+bx+c=0$成立，因此方程$ax^2+bx+c=0$的解是$x=-1$或$x=3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系、一元二次方程的解
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是理解二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程根的对应关系，解题时还要注意区分“或”和“且”的逻辑差异，避免误选错误选项。
【难度系数】
0.9

3. 如果将某一抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得新抛物线的表达式是$y=2(x-2)^2+1$，那么原抛物线的表达式是（）。

A.$y=2(x-3)^2+3$
B.$y=2(x-1)^2+3$
C.$y=2(x-1)^2-1$
D.$y=2(x-3)^2-1$

3.C

【分析】
要解决这道题，首先明确抛物线平移的核心性质：平移过程中抛物线的形状、开口方向不变，因此二次项系数始终为2。题目已知原抛物线经“右移1个单位、上移2个单位”得到新抛物线，要求原抛物线，我们可以采用逆推的思路：将新抛物线进行反向平移，也就是向左平移1个单位、向下平移2个单位，即可还原得到原抛物线。平移时需牢记“左加右减（针对自变量x本身）、上加下减（针对函数整体）”的规律，按规律代入计算即可。
【解析】
解：抛物线平移不改变二次项系数，因此原抛物线的二次项系数为2。
将新抛物线$y=2(x-2)^2+1$反向平移：
1. 先向下平移2个单位，函数整体减2：
$y=2(x-2)^2+1-2=2(x-2)^2-1$
2. 再向左平移1个单位，将自变量$x$替换为$x+1$：
$y=2[(x+1)-2]^2-1=2(x-1)^2-1$
所得解析式对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数平移性质
2. 平移规律“左加右减，上加下减”
【点评】
本题是二次函数平移的基础常考题，易错点是容易混淆平移方向，或者在左右平移时错误地对括号内的整体做加减，而非针对自变量x本身操作，解题时注意正向平移和逆向平移的操作是相反的，牢记规律即可快速作答。
【难度系数】
0.7

4.【数学应用】某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于救援、地形勘察等场景。如图所示的是某次仿生跳跃机器人起跳后的运动路线，可看作抛物线的一部分。若仿生跳跃机器人的跳跃高度h(单位:m)与跳跃时间t(单位:s)之间的关系式为h=$t-\frac{1}{4}t^2$，则仿生跳跃机器人从起跳到落地所用的时间为s。

4.4

【分析】
要计算仿生跳跃机器人从起跳到落地的总时间，首先明确：机器人起跳瞬间和落地瞬间的跳跃高度h都为0，因此我们可以将h=0代入给出的高度与时间的函数关系式，得到关于t的一元二次方程，方程的两个解分别对应起跳时间和落地时间，两个解的差值就是总用时。
【解析】
当机器人起跳或落地时，跳跃高度h=0，将h=0代入关系式$h=t-\frac{1}{4}t^2$，可得：
$0 = t - \frac{1}{4}t^2$
整理方程，提取公因式t得：
$t(1 - \frac{1}{4}t)=0$
解得：$t_1=0$，$t_2=4$
其中t=0对应起跳的初始时刻，t=4对应落地的时刻，因此从起跳到落地所用的时间为$4-0=4\ \mathrm{s}$。
【答案】
4
【知识点】
二次函数的实际应用，解一元二次方程
【点评】
本题结合科技应用场景考查二次函数与一元二次方程的关联，解题的核心是抓住实际场景中“落地时高度为0”的隐含条件，将函数问题转化为解方程的问题，难度较低，能较好地考查学生知识迁移和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8

5. 二次函数 $ y = ax^2 + bx - 3(a ≠ 0) $ 的图象如图所示，对称轴为直线 $ x=1 $，则 $ a,b $ 的值分别为（）。

A.$ a=1, b=\frac{1}{2} $
B.$ a=1, b=-2 $
C.$ a=\frac{1}{2}, b=-2 $
D.$ a=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{2} $

5.B

【分析】
要确定a、b两个未知数的值，需要找到两个关于a、b的等量关系列方程组求解：首先题目给出对称轴为直线x=1，可利用二次函数对称轴公式得到a和b的第一个关系；其次观察图像可知二次函数过点(3,0)，将该点代入函数解析式可得到第二个关于a、b的方程，联立两个方程即可求出a、b的值。
【解析】
1. 根据二次函数对称轴公式，对于$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，已知对称轴为$x=1$，可得：
$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$ ①
2. 由图像可知二次函数经过点$(3,0)$，将$x=3,y=0$代入$y=ax^2+bx-3$得：
$a×3^2 + b×3 - 3=0$，化简得$3a + b=1$ ②
3. 将①代入②，得$3a + (-2a)=1$，解得$a=1$；
把$a=1$代入①，得$b=-2×1=-2$。
因此$a=1,b=-2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数对称轴公式；待定系数法求系数；二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数基础应用题，核心是从题干和图像中提取有效信息列方程，掌握二次函数基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8

6. 已知在二次函数 $ y=ax^2+bx+c(a≠0) $ 中，自变量 $ x $ 和函数值 $ y $ 的部分对应值如下表：

则该二次函数图象的顶点坐标是。

6.$(-\frac{1}{2},-\frac{9}{4})$

【分析】
要确定二次函数的顶点坐标，可利用二次函数的对称性求解：①首先观察表格中函数值相等的两组x、y，找到抛物线上的对称点；②根据对称点的横坐标计算抛物线的对称轴，二次函数的顶点在对称轴上；③找到对称轴对应的y值，即可得到顶点坐标。
【解析】
观察表格数据可知：当$x=-1$时，$y=-2$；当$x=0$时，$y=-2$，因此点$(-1,-2)$和$(0,-2)$是抛物线上的一组对称点。
根据对称点求抛物线对称轴：
对称轴为直线$x=\frac{-1+0}{2}=-\frac{1}{2}$
二次函数的顶点在对称轴上，查表得，当$x=-\frac{1}{2}$时，$y=-\frac{9}{4}$，因此该二次函数图象的顶点坐标为$(-\frac{1}{2},-\frac{9}{4})$。
【答案】
$(-\frac{1}{2},-\frac{9}{4})$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的顶点坐标
【点评】
本题考查二次函数图像性质的应用，利用对称点快速确定对称轴是解题的关键，相比待定系数法求解析式再推导顶点的方法更简便，属于二次函数的基础常考题，需熟练掌握这类技巧提升解题效率。
【难度系数】
0.8

7. 如图,已知二次函数$y=ax^2+bx-1$的图象过$A(2,0),C(4,5)$两点。
(1)求二次函数的表达式；
(2)设二次函数的图象与$x$轴的另一个交点为$D$,求点$D$的坐标；
(3)在同一平面直角坐标系中画出一次函数$y=x+1$的图象,并直接写出当$x$在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值。

7.解:(1)$\because$ 二次函数$y=ax^2+bx-1$的图象过$A(2,0),C(4,5)$两点,
$\therefore \begin{cases}4a+2b-1=0,\\16a+4b-1=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2},\\b=-\frac{1}{2},\end{cases}$
$\therefore$ 二次函数的表达式为$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-1$。
(2)当$y=0$时,$\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-1=0$,
解得$x_1=2,x_2=-1$,
$\therefore$ 点$D$的坐标为$(-1,0)$。
(3)图象如图所示。
由图象得当$-1＜x＜4$时,一次函数的值大于二次函数的值。

【分析】
(1) 二次函数表达式为$y=ax^2+bx-1$，仅含a、b两个未知系数，已知函数过A、C两个点，将两点坐标代入表达式即可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b，就能确定二次函数表达式。
(2) x轴上的点纵坐标为0，因此令二次函数$y=0$，将问题转化为解一元二次方程，方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标，已知A点横坐标为2，另一个根就是D点的横坐标，即可得到D点坐标。
(3) 画一次函数$y=x+1$只需确定两个点连线即可；要找一次函数值大于二次函数值的x范围，观察图像找到一次函数图像在二次函数图像上方对应的x区间即可，两个函数交点的横坐标就是区间端点。
【解析】
(1) 将$A(2,0)$、$C(4,5)$代入$y=ax^2+bx-1$，得：
$\begin{cases}4a+2b-1=0\\16a+4b-1=5\end{cases}$
化简第二个方程得$8a+2b=3$，与第一个方程$4a+2b=1$作差，得$4a=2$，解得$a=\frac{1}{2}$，将$a=\frac{1}{2}$代入$4a+2b=1$，解得$b=-\frac{1}{2}$。
(2) 令$y=0$，代入二次函数表达式得：
$\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-1=0$
两边乘2得$x^2-x-2=0$，因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$，因此D点横坐标为-1，纵坐标为0。
(3) 一次函数$y=x+1$过$(-1,0)$、$(4,5)$两点，连线即可画出图像；观察图像可知两函数交点横坐标为-1和4，在两个交点之间时一次函数图像在二次函数上方。
【答案】
(1) 二次函数的表达式为$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-1$；
(2) 点D的坐标为$(-1,0)$；
(3) 图象如图所示；当$-1＜x＜4$时，一次函数的值大于二次函数的值。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数与x轴交点，函数图像比较大小
【点评】
本题是二次函数基础综合题，侧重考察数形结合思想，解题关键是熟练掌握待定系数法的应用，理解函数与方程的联系，能通过图像直观判断函数值的大小关系。
【难度系数】
0.7