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8. 如图①，小明用总长为a m的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，中间的一条篱笆隔离栏将这个矩形菜园分割成两个较小的矩形，设大矩形垂直于墙的一边长为x m，菜园的总面积为y m²，y关于x的函数图象如图②所示，则a的值是（
A.10
B.20
C.50
D.不能确定
B
）。A.10
B.20
C.50
D.不能确定
答案
8.B
解析
【分析】
解题时首先要明确篱笆的构成：靠墙一侧无需篱笆，中间的隔离栏平行于墙，因此总长为a的篱笆包含2段垂直于墙的边（每段长度为x）和2段平行于墙的边。先根据篱笆总长表示出平行于墙的边长，再结合矩形面积公式得到y关于x的函数关系式，最后结合二次函数图像的顶点坐标（即最大值点）代入计算即可求出a的值。
【解析】
设平行于墙的边长为b m。
根据篱笆的构成可得：篱笆总长$ a = 2x + 2b $，变形得$ b = \frac{a - 2x}{2} $。
矩形菜园的面积$ y = x · b $，将b代入得：
$ y = x · \frac{a - 2x}{2} = -x^2 + \frac{a}{2}x $
由图②可知，当$ x=5 $时，y取得最大值25，将$ x=5，y=25 $代入函数式：
$ 25 = -5^2 + \frac{a}{2} × 5 $
化简得：$ 25 = -25 + \frac{5a}{2} $
移项计算：$ \frac{5a}{2} = 50 $，解得$ a=20 $。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的图象与性质；矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数在实际问题中的应用题型，解题的核心是正确分析篱笆的组成，结合面积公式列出函数表达式，再利用函数图象的顶点信息求解参数，需要注意审题时不要漏算中间的隔离栏。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确篱笆的构成：靠墙一侧无需篱笆，中间的隔离栏平行于墙，因此总长为a的篱笆包含2段垂直于墙的边（每段长度为x）和2段平行于墙的边。先根据篱笆总长表示出平行于墙的边长，再结合矩形面积公式得到y关于x的函数关系式，最后结合二次函数图像的顶点坐标（即最大值点）代入计算即可求出a的值。
【解析】
设平行于墙的边长为b m。
根据篱笆的构成可得：篱笆总长$ a = 2x + 2b $，变形得$ b = \frac{a - 2x}{2} $。
矩形菜园的面积$ y = x · b $，将b代入得：
$ y = x · \frac{a - 2x}{2} = -x^2 + \frac{a}{2}x $
由图②可知，当$ x=5 $时，y取得最大值25，将$ x=5，y=25 $代入函数式：
$ 25 = -5^2 + \frac{a}{2} × 5 $
化简得：$ 25 = -25 + \frac{5a}{2} $
移项计算：$ \frac{5a}{2} = 50 $，解得$ a=20 $。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的图象与性质；矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数在实际问题中的应用题型，解题的核心是正确分析篱笆的组成，结合面积公式列出函数表达式，再利用函数图象的顶点信息求解参数，需要注意审题时不要漏算中间的隔离栏。
【难度系数】
0.7
9.【数学应用】红灯笼象征着生活美满团圆，红红火火，重大节庆日挂灯笼是我国一种传统文化。某商店最近购进甲、乙两种红灯笼，已知用3 120元购进甲灯笼与用4 200元购进乙灯笼的数量相同，乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元。
(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价。
(2)经市场调查发现，乙灯笼每对的售价为50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对，当地市场监管部门限定其售价不高于每对65元。乙种灯笼的售价为多少元时，一天获得的利润最大？最大利润是多少元？
(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价。
(2)经市场调查发现，乙灯笼每对的售价为50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对，当地市场监管部门限定其售价不高于每对65元。乙种灯笼的售价为多少元时，一天获得的利润最大？最大利润是多少元？
答案
9.解:(1)设甲灯笼每对的进价为$x$元,则乙灯笼每对的进价为$(x+9)$元。
根据题意得$\frac{3\ 120}{x}=\frac{4\ 200}{x+9}$,解得$x=26$。
经检验,$x=26$是所列方程的根。
$26+9=35$。
故甲灯笼每对的进价为26元,乙灯笼每对的进价为35元。
(2)设乙灯笼的售价在50元的基础上提高$a$元,一天获得的利润为$y$元。
根据题意得$y=(50+a-35)(98-2a)=-2a^2+68a+1\ 470$。
$\because -2＜0$,
$\therefore y$有最大值。
$\because$ 该二次函数图象的对称轴为直线$a=-\frac{68}{2×(-2)}=17$,
售价不高于每对65元,
$\therefore a+50≤ 65$,解得$a≤ 15$。
$\because a＜17$时,$y$随$x$的增大而增大,
$\therefore$ 当$a=15$时,$y_{\mathrm{最大}}=2\ 040$。
$15+50=65$。
故乙灯笼的售价为每对65元时,一天获得的利润最大,最大利润是2 040元。
根据题意得$\frac{3\ 120}{x}=\frac{4\ 200}{x+9}$,解得$x=26$。
经检验,$x=26$是所列方程的根。
$26+9=35$。
故甲灯笼每对的进价为26元,乙灯笼每对的进价为35元。
(2)设乙灯笼的售价在50元的基础上提高$a$元,一天获得的利润为$y$元。
根据题意得$y=(50+a-35)(98-2a)=-2a^2+68a+1\ 470$。
$\because -2＜0$,
$\therefore y$有最大值。
$\because$ 该二次函数图象的对称轴为直线$a=-\frac{68}{2×(-2)}=17$,
售价不高于每对65元,
$\therefore a+50≤ 65$,解得$a≤ 15$。
$\because a＜17$时,$y$随$x$的增大而增大,
$\therefore$ 当$a=15$时,$y_{\mathrm{最大}}=2\ 040$。
$15+50=65$。
故乙灯笼的售价为每对65元时,一天获得的利润最大,最大利润是2 040元。
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 属于分式方程应用问题，核心等量关系是“3120元购进甲灯笼的数量=4200元购进乙灯笼的数量”，购进数量=总花费÷单对进价，因此设甲灯笼每对进价为x元，即可表示出乙的进价，根据等量关系列分式方程求解即可，注意分式方程要检验根的合理性。
(2) 属于二次函数利润最值问题，核心公式是“总利润=单对利润×销售数量”，先设售价提高a元，分别表示出单对利润和销量，得到利润关于a的二次函数表达式，再结合二次函数的开口方向、对称轴，以及售价不高于65元的限制条件，确定a的取值范围，进而求出最大利润即可。
【解析】
(1) 设甲灯笼每对的进价为$x$元，则乙灯笼每对的进价为$(x+9)$元。
根据题意列方程：
$\frac{3120}{x}=\frac{4200}{x+9}$
解得$x=26$。
经检验，$x=26$是所列方程的根，且符合实际意义。
乙灯笼每对进价为：$26+9=35$（元）。
(2) 设乙灯笼的售价在50元的基础上提高$a$元，一天获得的利润为$y$元。
根据题意得：
$y=(50+a-35)(98-2a)=-2a^2+68a+1470$
$\because -2＜0$，$\therefore$ 二次函数图象开口向下，$y$有最大值。
该二次函数图象的对称轴为直线$a=-\frac{68}{2×(-2)}=17$，
根据售价不高于每对65元，得$a+50≤ 65$，解得$a≤ 15$。
$\because a＜17$时，$y$随$a$的增大而增大，
$\therefore$ 当$a=15$时，$y$取得最大值，$y_{\mathrm{最大}}=2040$，
此时售价为$15+50=65$（元）。
【答案】
(1) 甲灯笼每对进价为26元，乙灯笼每对进价为35元；
(2) 乙种灯笼售价为每对65元时，一天获得的利润最大，最大利润是2040元。
【知识点】
分式方程的应用；二次函数利润最值问题
【点评】
本题是方程与函数结合的实际应用题型，既考查了从题干中提取等量关系列方程的能力，也考查了二次函数性质的应用，解题时要注意实际问题中自变量的取值限制，避免忽略售价上限直接取对称轴位置求最值导致错误。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 属于分式方程应用问题，核心等量关系是“3120元购进甲灯笼的数量=4200元购进乙灯笼的数量”，购进数量=总花费÷单对进价，因此设甲灯笼每对进价为x元，即可表示出乙的进价，根据等量关系列分式方程求解即可，注意分式方程要检验根的合理性。
(2) 属于二次函数利润最值问题，核心公式是“总利润=单对利润×销售数量”，先设售价提高a元，分别表示出单对利润和销量，得到利润关于a的二次函数表达式，再结合二次函数的开口方向、对称轴，以及售价不高于65元的限制条件，确定a的取值范围，进而求出最大利润即可。
【解析】
(1) 设甲灯笼每对的进价为$x$元，则乙灯笼每对的进价为$(x+9)$元。
根据题意列方程：
$\frac{3120}{x}=\frac{4200}{x+9}$
解得$x=26$。
经检验，$x=26$是所列方程的根，且符合实际意义。
乙灯笼每对进价为：$26+9=35$（元）。
(2) 设乙灯笼的售价在50元的基础上提高$a$元，一天获得的利润为$y$元。
根据题意得：
$y=(50+a-35)(98-2a)=-2a^2+68a+1470$
$\because -2＜0$，$\therefore$ 二次函数图象开口向下，$y$有最大值。
该二次函数图象的对称轴为直线$a=-\frac{68}{2×(-2)}=17$，
根据售价不高于每对65元，得$a+50≤ 65$，解得$a≤ 15$。
$\because a＜17$时，$y$随$a$的增大而增大，
$\therefore$ 当$a=15$时，$y$取得最大值，$y_{\mathrm{最大}}=2040$，
此时售价为$15+50=65$（元）。
【答案】
(1) 甲灯笼每对进价为26元，乙灯笼每对进价为35元；
(2) 乙种灯笼售价为每对65元时，一天获得的利润最大，最大利润是2040元。
【知识点】
分式方程的应用；二次函数利润最值问题
【点评】
本题是方程与函数结合的实际应用题型，既考查了从题干中提取等量关系列方程的能力，也考查了二次函数性质的应用，解题时要注意实际问题中自变量的取值限制，避免忽略售价上限直接取对称轴位置求最值导致错误。
【难度系数】
0.6
