登录
1. 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{3}{5}(b+d≠0)$，则$\frac{a+c}{b+d}=$（
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{6}{5}$
D.$\frac{3}{10}$
A
）。A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{6}{5}$
D.$\frac{3}{10}$
答案
A
解析
【分析】
看到题目给出两个比值相等的比例式，求分子和与分母和的比值，我们有两种符合学段要求的解题思路：一是利用等比性质，题目已经给出分母之和$b+d≠0$，满足等比性质的使用前提，可直接套用性质得出结果；二是采用设参数的通用方法，将分子用对应分母和比值表示后代入所求式子化简求解，两种方法都能快速得到答案。
【解析】
方法一（等比性质法）：
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{3}{5}$，且$b+d≠0$，根据等比性质：若$\frac{m}{n}=\frac{p}{q}=k$（$n+q≠0$），则$\frac{m+p}{n+q}=k$，直接可得$\frac{a+c}{b+d}=\frac{3}{5}$。
方法二（设参数法）：
由$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{3}{5}$，可得$a=\frac{3}{5}b$，$c=\frac{3}{5}d$。
将上述关系代入所求式子：
$\frac{a+c}{b+d}=\frac{\frac{3}{5}b+\frac{3}{5}d}{b+d}=\frac{\frac{3}{5}(b+d)}{b+d}$
因为$b+d≠0$，分子分母可约去$b+d$，计算得原式$=\frac{3}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
等比性质，比例的基本性质
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，既可以直接套用等比性质快速解题，也可以通过设参数的通用方法化简求解，解题时要注意等比性质的使用前提是分母之和不为0，本题已明确给出该条件，可直接应用。
【难度系数】
0.9
看到题目给出两个比值相等的比例式，求分子和与分母和的比值，我们有两种符合学段要求的解题思路：一是利用等比性质，题目已经给出分母之和$b+d≠0$，满足等比性质的使用前提，可直接套用性质得出结果；二是采用设参数的通用方法，将分子用对应分母和比值表示后代入所求式子化简求解，两种方法都能快速得到答案。
【解析】
方法一（等比性质法）：
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{3}{5}$，且$b+d≠0$，根据等比性质：若$\frac{m}{n}=\frac{p}{q}=k$（$n+q≠0$），则$\frac{m+p}{n+q}=k$，直接可得$\frac{a+c}{b+d}=\frac{3}{5}$。
方法二（设参数法）：
由$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{3}{5}$，可得$a=\frac{3}{5}b$，$c=\frac{3}{5}d$。
将上述关系代入所求式子：
$\frac{a+c}{b+d}=\frac{\frac{3}{5}b+\frac{3}{5}d}{b+d}=\frac{\frac{3}{5}(b+d)}{b+d}$
因为$b+d≠0$，分子分母可约去$b+d$，计算得原式$=\frac{3}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
等比性质，比例的基本性质
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，既可以直接套用等比性质快速解题，也可以通过设参数的通用方法化简求解，解题时要注意等比性质的使用前提是分母之和不为0，本题已明确给出该条件，可直接应用。
【难度系数】
0.9
2. 已知四边形$ABCD ∽$四边形$A'B'C'D'$，$\dfrac{AB+BC+CD+DA}{A'B'+B'C'+C'D'+D'A'}=\dfrac{3}{4}$，则四边形$ABCD$与四边形$A'B'C'D'$的相似比为（
A.$\dfrac{5}{3}$
B.$\dfrac{4}{3}$
C.$\dfrac{3}{5}$
D.$\dfrac{3}{4}$
D
）。A.$\dfrac{5}{3}$
B.$\dfrac{4}{3}$
C.$\dfrac{3}{5}$
D.$\dfrac{3}{4}$
答案
D
解析
【分析】
首先回忆相似多边形的相关性质，相似多边形的周长比等于二者的相似比。解题时先明确题目给出的比值是四边形ABCD的周长与四边形A'B'C'D'的周长之比，再结合周长比和相似比的对应关系，就能直接求出相似比。要注意相似比具有顺序性，本题是四边形ABCD与A'B'C'D'的相似比，对应周长比的前项是ABCD的周长，后项是A'B'C'D'的周长，不要搞反顺序。
【解析】
∵ 四边形$ABCD ∽$四边形$A'B'C'D'$
根据相似多边形的性质：相似多边形的周长比等于相似比。
设四边形$ABCD$的周长为$C_1$，四边形$A'B'C'D'$的周长为$C_2$，则：
$C_1=AB+BC+CD+DA$，$C_2=A'B'+B'C'+C'D'+D'A'$
由题知$\dfrac{C_1}{C_2}=\dfrac{3}{4}$
∴ 四边形$ABCD$与四边形$A'B'C'D'$的相似比 = 周长比 = $\dfrac{3}{4}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
相似多边形的性质；相似比的概念
【点评】
本题是基础概念应用题，只要熟练掌握相似多边形周长比与相似比的对应关系，注意相似比的前后顺序，就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
首先回忆相似多边形的相关性质，相似多边形的周长比等于二者的相似比。解题时先明确题目给出的比值是四边形ABCD的周长与四边形A'B'C'D'的周长之比，再结合周长比和相似比的对应关系，就能直接求出相似比。要注意相似比具有顺序性，本题是四边形ABCD与A'B'C'D'的相似比，对应周长比的前项是ABCD的周长，后项是A'B'C'D'的周长，不要搞反顺序。
【解析】
∵ 四边形$ABCD ∽$四边形$A'B'C'D'$
根据相似多边形的性质：相似多边形的周长比等于相似比。
设四边形$ABCD$的周长为$C_1$，四边形$A'B'C'D'$的周长为$C_2$，则：
$C_1=AB+BC+CD+DA$，$C_2=A'B'+B'C'+C'D'+D'A'$
由题知$\dfrac{C_1}{C_2}=\dfrac{3}{4}$
∴ 四边形$ABCD$与四边形$A'B'C'D'$的相似比 = 周长比 = $\dfrac{3}{4}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
相似多边形的性质；相似比的概念
【点评】
本题是基础概念应用题，只要熟练掌握相似多边形周长比与相似比的对应关系，注意相似比的前后顺序，就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
3. 若一个五边形的边长分别为2,3,4,5,6，另一个与它相似的五边形的最长边长为18，则它的周长为(
A.64
B.60
C.36
D.30
B
)。A.64
B.60
C.36
D.30
答案
B
解析
【分析】
解题时先从相似多边形的核心性质入手思考：①相似多边形的对应边成比例，两个图形的最长边是一组对应边，可通过两组最长边的长度算出相似比；②相似多边形的周长比等于相似比，因此先算出已知五边形的周长，再结合相似比即可求出所求五边形的周长。
【解析】
步骤1：计算原五边形的周长
原五边形边长为2,3,4,5,6，因此周长为：
$2+3+4+5+6=20$
步骤2：计算两个相似五边形的相似比
原五边形最长边长为6，相似五边形的最长边长为18，因此相似比为：
$k=\frac{18}{6}=3$
步骤3：利用相似多边形周长比等于相似比求周长
设所求五边形周长为$C$，根据相似多边形周长比等于相似比，得：
$C=20×3=60$
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
相似多边形的性质，相似比的计算
【点评】
本题是相似多边形性质的基础应用题，解题的关键是找准对应边确定相似比，牢记相似多边形周长比等于相似比的规律即可快速求解，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
解题时先从相似多边形的核心性质入手思考：①相似多边形的对应边成比例，两个图形的最长边是一组对应边，可通过两组最长边的长度算出相似比；②相似多边形的周长比等于相似比，因此先算出已知五边形的周长，再结合相似比即可求出所求五边形的周长。
【解析】
步骤1：计算原五边形的周长
原五边形边长为2,3,4,5,6，因此周长为：
$2+3+4+5+6=20$
步骤2：计算两个相似五边形的相似比
原五边形最长边长为6，相似五边形的最长边长为18，因此相似比为：
$k=\frac{18}{6}=3$
步骤3：利用相似多边形周长比等于相似比求周长
设所求五边形周长为$C$，根据相似多边形周长比等于相似比，得：
$C=20×3=60$
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
相似多边形的性质，相似比的计算
【点评】
本题是相似多边形性质的基础应用题，解题的关键是找准对应边确定相似比，牢记相似多边形周长比等于相似比的规律即可快速求解，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
4. 如图，在$8×6$的小正方形网格中，四边形ABCD是矩形，且其顶点都在格点上。请借助网格画出符合下列条件的格点四边形。
（1）画出一个矩形EFGH，使矩形EFGH∽矩形ABCD，且矩形EFGH的各边长度最小；
（2）画出一个矩形$A'B'C'D'$，使矩形$A'B'C'D'$∽矩形ABCD，且相似比为$\frac{\sqrt{10}}{5}$。
（1）画出一个矩形EFGH，使矩形EFGH∽矩形ABCD，且矩形EFGH的各边长度最小；
（2）画出一个矩形$A'B'C'D'$，使矩形$A'B'C'D'$∽矩形ABCD，且相似比为$\frac{\sqrt{10}}{5}$。
答案
(1)如图，四边形EFGH为所求。
(2)如图，四边形$A'B'C'D'$为所求。
解析
【分析】
解题前先利用勾股定理求出原矩形ABCD的邻边比例，再结合相似多边形的性质分别处理两个作图要求：
1. 先计算原矩形邻边长：设小正方形边长为1，由勾股定理得$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$AD=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，因此矩形ABCD邻边比为$1:2$，且矩形内角均为直角，所以只要绘制的矩形邻边比为$1:2$即可满足相似条件。
2. 第(1)问要求边长最小的格点矩形，最小的格点矩形邻边可取1和2，邻边比恰好为$1:2$，符合要求。
3. 第(2)问相似比为$\frac{\sqrt{10}}{5}$，据此计算新矩形的邻边长度，再结合网格中线段长度的规律找到对应格点即可作图。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
步骤1：求原矩形ABCD的邻边比
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$AD=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$
因此$AB:AD=\sqrt{5}:2\sqrt{5}=1:2$，矩形内角均为$90°$，故与矩形ABCD相似的矩形邻边比也为$1:2$。
---
(1) 绘制矩形EFGH
要使矩形边长最小，取最小的整数格点边长1和2，二者比为$1:2$，满足相似要求，在网格中绘制相邻边长为1、2的格点矩形即可。
---
(2) 绘制矩形$A'B'C'D'$
已知相似比为$\frac{\sqrt{10}}{5}$，因此新矩形的对应边长为：
$A'B'=AB×\frac{\sqrt{10}}{5}=\sqrt{5}×\frac{\sqrt{10}}{5}=\sqrt{2}$
$A'D'=AD×\frac{\sqrt{10}}{5}=2\sqrt{5}×\frac{\sqrt{10}}{5}=2\sqrt{2}$
其中$\sqrt{2}$对应网格中横、纵坐标差均为1的格点线段，$2\sqrt{2}$对应横、纵坐标差均为2的格点线段，按此找到对应格点，绘制邻边长为$\sqrt{2}$、$2\sqrt{2}$的矩形即可。
【答案】
(1)如图，四边形EFGH为所求。
(2)如图，四边形$A'B'C'D'$为所求。
【知识点】
相似多边形的性质，勾股定理，网格作图
【点评】本题属于网格中的相似作图题，核心是先确定原矩形的边长比，再结合相似比确定新矩形的边长，利用勾股定理匹配网格中的线段长度即可完成作图，解题时注意相似多边形对应边成比例、对应角相等的性质的应用。
【难度系数】
0.7
解题前先利用勾股定理求出原矩形ABCD的邻边比例，再结合相似多边形的性质分别处理两个作图要求：
1. 先计算原矩形邻边长：设小正方形边长为1，由勾股定理得$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$AD=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，因此矩形ABCD邻边比为$1:2$，且矩形内角均为直角，所以只要绘制的矩形邻边比为$1:2$即可满足相似条件。
2. 第(1)问要求边长最小的格点矩形，最小的格点矩形邻边可取1和2，邻边比恰好为$1:2$，符合要求。
3. 第(2)问相似比为$\frac{\sqrt{10}}{5}$，据此计算新矩形的邻边长度，再结合网格中线段长度的规律找到对应格点即可作图。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
步骤1：求原矩形ABCD的邻边比
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$AD=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$
因此$AB:AD=\sqrt{5}:2\sqrt{5}=1:2$，矩形内角均为$90°$，故与矩形ABCD相似的矩形邻边比也为$1:2$。
---
(1) 绘制矩形EFGH
要使矩形边长最小，取最小的整数格点边长1和2，二者比为$1:2$，满足相似要求，在网格中绘制相邻边长为1、2的格点矩形即可。
---
(2) 绘制矩形$A'B'C'D'$
已知相似比为$\frac{\sqrt{10}}{5}$，因此新矩形的对应边长为：
$A'B'=AB×\frac{\sqrt{10}}{5}=\sqrt{5}×\frac{\sqrt{10}}{5}=\sqrt{2}$
$A'D'=AD×\frac{\sqrt{10}}{5}=2\sqrt{5}×\frac{\sqrt{10}}{5}=2\sqrt{2}$
其中$\sqrt{2}$对应网格中横、纵坐标差均为1的格点线段，$2\sqrt{2}$对应横、纵坐标差均为2的格点线段，按此找到对应格点，绘制邻边长为$\sqrt{2}$、$2\sqrt{2}$的矩形即可。
【答案】
(1)如图，四边形EFGH为所求。
(2)如图，四边形$A'B'C'D'$为所求。
【知识点】
相似多边形的性质，勾股定理，网格作图
【点评】本题属于网格中的相似作图题，核心是先确定原矩形的边长比，再结合相似比确定新矩形的边长，利用勾股定理匹配网格中的线段长度即可完成作图，解题时注意相似多边形对应边成比例、对应角相等的性质的应用。
【难度系数】
0.7
1. 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=100$，则$\frac{2a - 3c + 5e}{2b - 3d + 5f}(2b - 3d + 5f≠0)$的值为（
A.100
B.104
C.105
D.110
A
）。A.100
B.104
C.105
D.110
答案
A
解析
【分析】
本题已知多个分式的比值相等，求系数相同的分子线性组合与分母线性组合的比值，可利用比例的基本性质求解：首先根据已知的比值，将a、c、e分别用含b、d、f的式子表示，再代入所求分式，提取公因式后结合分母不为0的条件约分即可得到结果；也可直接利用等比性质快速计算。
【解析】
解：
∵ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=100$
∴ $a=100b$，$c=100d$，$e=100f$
将上述关系代入所求分式得：
$\frac{2a - 3c + 5e}{2b - 3d + 5f}=\frac{2×100b - 3×100d + 5×100f}{2b - 3d + 5f}$
$=\frac{100(2b - 3d + 5f)}{2b - 3d + 5f}$
又
∵ $2b - 3d + 5f≠0$，约分可得：
原式$=100$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
比例的基本性质、等比性质
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，解题核心是掌握比例中等量代换的方法，也可直接运用等比性质快速得出结果，解题时要注意题目给出的分母不为0的前提条件，避免无意义的情况。
【难度系数】
0.85
本题已知多个分式的比值相等，求系数相同的分子线性组合与分母线性组合的比值，可利用比例的基本性质求解：首先根据已知的比值，将a、c、e分别用含b、d、f的式子表示，再代入所求分式，提取公因式后结合分母不为0的条件约分即可得到结果；也可直接利用等比性质快速计算。
【解析】
解：
∵ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=100$
∴ $a=100b$，$c=100d$，$e=100f$
将上述关系代入所求分式得：
$\frac{2a - 3c + 5e}{2b - 3d + 5f}=\frac{2×100b - 3×100d + 5×100f}{2b - 3d + 5f}$
$=\frac{100(2b - 3d + 5f)}{2b - 3d + 5f}$
又
∵ $2b - 3d + 5f≠0$，约分可得：
原式$=100$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
比例的基本性质、等比性质
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，解题核心是掌握比例中等量代换的方法，也可直接运用等比性质快速得出结果，解题时要注意题目给出的分母不为0的前提条件，避免无意义的情况。
【难度系数】
0.85
2. 已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}$，则下列等式成立的是（
A.$\frac{a+b}{b+c}=\frac{4}{7}$
B.$\frac{a+b}{a+c}=\frac{5}{7}$
C.$\frac{a+b+c}{2a+c}=\frac{5}{4}$
D.$\frac{3a - b}{a + b + c}=\frac{7}{9}$
B
）。A.$\frac{a+b}{b+c}=\frac{4}{7}$
B.$\frac{a+b}{a+c}=\frac{5}{7}$
C.$\frac{a+b+c}{2a+c}=\frac{5}{4}$
D.$\frac{3a - b}{a + b + c}=\frac{7}{9}$
答案
B
解析
【分析】
遇到连等的比例式时，我们可以采用设参数的方法求解：设这个相等的比值为k，即可将a、b、c都用含k的代数式表示，再分别代入四个选项的左右两边计算，验证是否相等，就能选出正确答案。
【解析】
设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}=k$（$k≠0$），则$a=2k$，$b=3k$，$c=5k$，分别代入各选项验证：
选项A：$\frac{a+b}{b+c}=\frac{2k+3k}{3k+5k}=\frac{5k}{8k}=\frac{5}{8}≠\frac{4}{7}$，故A错误；
选项B：$\frac{a+b}{a+c}=\frac{2k+3k}{2k+5k}=\frac{5k}{7k}=\frac{5}{7}$，左右两边相等，故B正确；
选项C：$\frac{a+b+c}{2a+c}=\frac{2k+3k+5k}{2×2k+5k}=\frac{10k}{9k}=\frac{10}{9}≠\frac{5}{4}$，故C错误；
选项D：$\frac{3a - b}{a+b+c}=\frac{3×2k - 3k}{2k+3k+5k}=\frac{3k}{10k}=\frac{3}{10}≠\frac{7}{9}$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
比例的性质；参数法求值；代数式化简
【点评】
本题是比例相关的基础题型，核心解题方法是连比式设参数k，将多个未知数转化为同一个参数的表达式，代入化简验证即可，计算时注意约分化简不要出错。
【难度系数】
0.75
遇到连等的比例式时，我们可以采用设参数的方法求解：设这个相等的比值为k，即可将a、b、c都用含k的代数式表示，再分别代入四个选项的左右两边计算，验证是否相等，就能选出正确答案。
【解析】
设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}=k$（$k≠0$），则$a=2k$，$b=3k$，$c=5k$，分别代入各选项验证：
选项A：$\frac{a+b}{b+c}=\frac{2k+3k}{3k+5k}=\frac{5k}{8k}=\frac{5}{8}≠\frac{4}{7}$，故A错误；
选项B：$\frac{a+b}{a+c}=\frac{2k+3k}{2k+5k}=\frac{5k}{7k}=\frac{5}{7}$，左右两边相等，故B正确；
选项C：$\frac{a+b+c}{2a+c}=\frac{2k+3k+5k}{2×2k+5k}=\frac{10k}{9k}=\frac{10}{9}≠\frac{5}{4}$，故C错误；
选项D：$\frac{3a - b}{a+b+c}=\frac{3×2k - 3k}{2k+3k+5k}=\frac{3k}{10k}=\frac{3}{10}≠\frac{7}{9}$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
比例的性质；参数法求值；代数式化简
【点评】
本题是比例相关的基础题型，核心解题方法是连比式设参数k，将多个未知数转化为同一个参数的表达式，代入化简验证即可，计算时注意约分化简不要出错。
【难度系数】
0.75
3.【数学应用】在地图上，用刻度尺测得A，B，C三地之间的距离如图所示。已知飞机从C地直飞A地的距离约为1 286 km，那么飞机从C地绕道B地再到A地的飞行距离为（
A.1 543 km
B.2 314 km
C.3 218 km
D.3 858 km
D
）。A.1 543 km
B.2 314 km
C.3 218 km
D.3 858 km
答案
D
解析
【分析】
本题考查比例尺相关的实际应用，解题思路如下：首先根据已知的AC段图上距离和实际飞行距离，求出图上1厘米对应的实际距离；再计算出从C地绕道B地到A地的总图上距离；最后用总图上距离乘单位图上距离对应的实际距离，即可得到所求的实际飞行距离。
【解析】
解：由题意可知，图上AC的距离为3cm，对应的实际距离为1286km，因此图上1cm对应的实际距离为：$\frac{1286}{3}$ km。
从C地绕道B地再到A地的总图上距离为：$AB+BC=5.4+3.6=9$ cm。
因此对应的实际飞行距离为：$9×\frac{1286}{3}=3×1286=3858$ km。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
比例尺应用，线段和计算，比例运算
【点评】
本题结合飞行距离的实际场景考查比例尺的基本应用，解题核心是明确图上距离和实际距离的比例关系，计算难度较低，仔细审题计算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题考查比例尺相关的实际应用，解题思路如下：首先根据已知的AC段图上距离和实际飞行距离，求出图上1厘米对应的实际距离；再计算出从C地绕道B地到A地的总图上距离；最后用总图上距离乘单位图上距离对应的实际距离，即可得到所求的实际飞行距离。
【解析】
解：由题意可知，图上AC的距离为3cm，对应的实际距离为1286km，因此图上1cm对应的实际距离为：$\frac{1286}{3}$ km。
从C地绕道B地再到A地的总图上距离为：$AB+BC=5.4+3.6=9$ cm。
因此对应的实际飞行距离为：$9×\frac{1286}{3}=3×1286=3858$ km。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
比例尺应用，线段和计算，比例运算
【点评】
本题结合飞行距离的实际场景考查比例尺的基本应用，解题核心是明确图上距离和实际距离的比例关系，计算难度较低，仔细审题计算即可得分。
【难度系数】
0.8
