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8. 如图,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=16 cm,E,F分别是AB,CD上的点,且AE=DF=8 cm。两动点M,N都以2 cm/s的速度分别从C,F两点沿CB,FE向B,E两点运动,当矩形CFNM∽矩形AEFD时,求运动的时间。
答案
8. 解:设运动的时间为 $t$ s。
$\because$ 动点 $M$ 以 $2\ \mathrm{cm/s}$ 的速度运动，
$\therefore CM=2t\ \mathrm{cm}$。
$\because$ 在矩形 $ABCD$ 中,$AB=12\ \mathrm{cm},BC=16\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CD=AB=12\ \mathrm{cm},AD=BC=16\ \mathrm{cm}$。
$\because AE=DF=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CF=CD-DF=4\ \mathrm{cm}$。
$\because$ 矩形 $CFNM∽$ 矩形 $AEFD$，
$\therefore\frac{CF}{AE}=\frac{CM}{AD}$,即 $\frac{4}{8}=\frac{2t}{16}$。解得 $t=4$。
故运动的时间为 $4\ \mathrm{s}$。
$\because$ 动点 $M$ 以 $2\ \mathrm{cm/s}$ 的速度运动，
$\therefore CM=2t\ \mathrm{cm}$。
$\because$ 在矩形 $ABCD$ 中,$AB=12\ \mathrm{cm},BC=16\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CD=AB=12\ \mathrm{cm},AD=BC=16\ \mathrm{cm}$。
$\because AE=DF=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CF=CD-DF=4\ \mathrm{cm}$。
$\because$ 矩形 $CFNM∽$ 矩形 $AEFD$，
$\therefore\frac{CF}{AE}=\frac{CM}{AD}$,即 $\frac{4}{8}=\frac{2t}{16}$。解得 $t=4$。
故运动的时间为 $4\ \mathrm{s}$。
解析
【分析】
解决本题需利用相似多边形对应边成比例的性质求解：首先设运动时间为$ t $ s，先结合矩形的性质和已知边长算出$ CF $的长度，再根据动点速度表示出$ CM $的长度；随后根据题目给出的相似矩形的顶点对应顺序，找准成比例的对应边，列出关于$ t $的一元一次方程，解方程即可得到运动时间。
【解析】
解：设运动的时间为 $ t $ s。
∵ 动点$ M $以$ 2\ \mathrm{cm/s} $的速度运动，
∴ $ CM=2t\ \mathrm{cm} $。
∵ 在矩形$ ABCD $中，$ AB=12\ \mathrm{cm},BC=16\ \mathrm{cm} $，
∴ $ CD=AB=12\ \mathrm{cm},AD=BC=16\ \mathrm{cm} $。
∵ $ AE=DF=8\ \mathrm{cm} $，
∴ $ CF=CD-DF=12-8=4\ \mathrm{cm} $。
∵ 矩形$ CFNM∽ $矩形$ AEFD $，根据相似多边形对应边成比例可得：
$\frac{CF}{AE}=\frac{CM}{AD}$，代入数值为$\frac{4}{8}=\frac{2t}{16}$，
解得$ t=4 $。
【答案】
$\boxed{4\ \mathrm{s}}$
【知识点】
矩形的性质，相似多边形的性质，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于相似多边形性质的基础应用题型，解题核心是根据相似的顶点对应顺序准确匹配对应边，利用对应边成比例建立方程求解，需注意不要混淆对应边的比例关系。
【难度系数】
0.7
解决本题需利用相似多边形对应边成比例的性质求解：首先设运动时间为$ t $ s，先结合矩形的性质和已知边长算出$ CF $的长度，再根据动点速度表示出$ CM $的长度；随后根据题目给出的相似矩形的顶点对应顺序，找准成比例的对应边，列出关于$ t $的一元一次方程，解方程即可得到运动时间。
【解析】
解：设运动的时间为 $ t $ s。
∵ 动点$ M $以$ 2\ \mathrm{cm/s} $的速度运动，
∴ $ CM=2t\ \mathrm{cm} $。
∵ 在矩形$ ABCD $中，$ AB=12\ \mathrm{cm},BC=16\ \mathrm{cm} $，
∴ $ CD=AB=12\ \mathrm{cm},AD=BC=16\ \mathrm{cm} $。
∵ $ AE=DF=8\ \mathrm{cm} $，
∴ $ CF=CD-DF=12-8=4\ \mathrm{cm} $。
∵ 矩形$ CFNM∽ $矩形$ AEFD $，根据相似多边形对应边成比例可得：
$\frac{CF}{AE}=\frac{CM}{AD}$，代入数值为$\frac{4}{8}=\frac{2t}{16}$，
解得$ t=4 $。
【答案】
$\boxed{4\ \mathrm{s}}$
【知识点】
矩形的性质，相似多边形的性质，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于相似多边形性质的基础应用题型，解题核心是根据相似的顶点对应顺序准确匹配对应边，利用对应边成比例建立方程求解，需注意不要混淆对应边的比例关系。
【难度系数】
0.7
9. 如图，矩形$A'B'C'D'$在矩形$ABCD$的内部，$AB// A'B'$，$AD// A'D'$，且$AD=12$，$AB=6$。设$AB$与$A'B'$，$BC$与$B'C'$，$CD$与$C'D'$，$AD$与$A'D'$之间的距离分别为$a,b,c,d$。
(1)当$a=b=c=d=2$时，矩形$A'B'C'D'$与矩形$ABCD$相似吗？请说明理由。
(2)当矩形$A'B'C'D'∽$矩形$ABCD$时，写出$a,b,c,d$满足的等量关系。
(1)当$a=b=c=d=2$时，矩形$A'B'C'D'$与矩形$ABCD$相似吗？请说明理由。
(2)当矩形$A'B'C'D'∽$矩形$ABCD$时，写出$a,b,c,d$满足的等量关系。
答案
9. 解:(1)不相似。理由如下：
$\because AD=12,AB=6,a=b=c=d=2$，
$\therefore A'B'=AB-b-d=6-2-2=2$，
$A'D'=AD-a-c=12-2-2=8$。
$\because\frac{AB}{A'B'}=\frac{6}{2}=3,\frac{AD}{A'D'}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$，
$\therefore\frac{AB}{A'B'}≠\frac{AD}{A'D'}$，
$\therefore$ 矩形 $A'B'C'D'$ 与矩形 $ABCD$ 不相似。
(2)$\because$ 矩形的每个内角均为 $90°$,矩形 $A'B'C'D'∽$ 矩形 $ABCD$，
$\therefore\frac{AB}{A'B'}=\frac{AD}{A'D'},\therefore\frac{6}{6-b-d}=\frac{12}{12-a-c}$。
整理得 $2b+2d=a+c$。
$\because AD=12,AB=6,a=b=c=d=2$，
$\therefore A'B'=AB-b-d=6-2-2=2$，
$A'D'=AD-a-c=12-2-2=8$。
$\because\frac{AB}{A'B'}=\frac{6}{2}=3,\frac{AD}{A'D'}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$，
$\therefore\frac{AB}{A'B'}≠\frac{AD}{A'D'}$，
$\therefore$ 矩形 $A'B'C'D'$ 与矩形 $ABCD$ 不相似。
(2)$\because$ 矩形的每个内角均为 $90°$,矩形 $A'B'C'D'∽$ 矩形 $ABCD$，
$\therefore\frac{AB}{A'B'}=\frac{AD}{A'D'},\therefore\frac{6}{6-b-d}=\frac{12}{12-a-c}$。
整理得 $2b+2d=a+c$。
解析
【分析】
判断两个矩形是否相似的核心是验证对应边是否成比例（矩形的四个角均为直角，天然满足对应角相等的条件）。
对于(1)，先根据给出的距离值求出内部矩形的长和宽，再计算大、小矩形对应边长的比值，若比值相等则相似，反之则不相似。
对于(2)，当两矩形相似时对应边成比例，先将内部矩形的边长用a、b、c、d和大矩形的边长表示，代入比例式化简即可得到所求等量关系。
【解析】
(1) 不相似，理由如下：
已知$AD=12$，$AB=6$，$a=b=c=d=2$，
则内部矩形的宽$A'B'=AB-b-d=6-2-2=2$，
内部矩形的长$A'D'=AD-a-c=12-2-2=8$，
计算对应边比值：$\frac{AB}{A'B'}=\frac{6}{2}=3$，$\frac{AD}{A'D'}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$，
可得$\frac{AB}{A'B'} ≠ \frac{AD}{A'D'}$，因此矩形$A'B'C'D'$与矩形$ABCD$不相似。
(2) 矩形的四个内角均为$90°$，若矩形$A'B'C'D'∽$矩形$ABCD$，则对应边成比例，即$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AD}{A'D'}$，
代入边长表达式得：$\frac{6}{6-b-d}=\frac{12}{12-a-c}$，
交叉相乘化简：$6(12-a-c)=12(6-b-d)$，
两边同除以6得$12-a-c=12-2b-2d$，
整理得$2b+2d=a+c$。
【答案】
(1) 不相似，理由见解析；
(2) $2b+2d=a+c$
【知识点】
相似多边形的判定，矩形的性质，比例的化简
【点评】
本题重点考查相似矩形的判定方法，解题的关键是准确找到两个矩形的对应边，正确表示内部矩形的边长，化简比例式时注意计算的准确性，不要混淆不同边对应的距离。
【难度系数】
0.7
判断两个矩形是否相似的核心是验证对应边是否成比例（矩形的四个角均为直角，天然满足对应角相等的条件）。
对于(1)，先根据给出的距离值求出内部矩形的长和宽，再计算大、小矩形对应边长的比值，若比值相等则相似，反之则不相似。
对于(2)，当两矩形相似时对应边成比例，先将内部矩形的边长用a、b、c、d和大矩形的边长表示，代入比例式化简即可得到所求等量关系。
【解析】
(1) 不相似，理由如下：
已知$AD=12$，$AB=6$，$a=b=c=d=2$，
则内部矩形的宽$A'B'=AB-b-d=6-2-2=2$，
内部矩形的长$A'D'=AD-a-c=12-2-2=8$，
计算对应边比值：$\frac{AB}{A'B'}=\frac{6}{2}=3$，$\frac{AD}{A'D'}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$，
可得$\frac{AB}{A'B'} ≠ \frac{AD}{A'D'}$，因此矩形$A'B'C'D'$与矩形$ABCD$不相似。
(2) 矩形的四个内角均为$90°$，若矩形$A'B'C'D'∽$矩形$ABCD$，则对应边成比例，即$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AD}{A'D'}$，
代入边长表达式得：$\frac{6}{6-b-d}=\frac{12}{12-a-c}$，
交叉相乘化简：$6(12-a-c)=12(6-b-d)$，
两边同除以6得$12-a-c=12-2b-2d$，
整理得$2b+2d=a+c$。
【答案】
(1) 不相似，理由见解析；
(2) $2b+2d=a+c$
【知识点】
相似多边形的判定，矩形的性质，比例的化简
【点评】
本题重点考查相似矩形的判定方法，解题的关键是准确找到两个矩形的对应边，正确表示内部矩形的边长，化简比例式时注意计算的准确性，不要混淆不同边对应的距离。
【难度系数】
0.7
10.【综合与实践】如图①，将一张A4纸折叠两次，发现第一次的折痕在第二次折叠后与A4纸较长的边重合。如图②，将一张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开可得到2张A5纸。
(1)求A4纸较长边与较短边的比值。
(2)A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由。
(1)求A4纸较长边与较短边的比值。
(2)A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由。
答案
10. 解:(1)设 $AB=x$。
由折叠的性质得 $∠ FCG=∠ CFG=∠ FCE=∠ CFE=45°$，
$∠ ACF=∠ HDF=180°-∠ FCG=135°,∠ H=∠ A=90°,∠ BDF=90°,HB=AB=x$，
$\therefore∠ HDB=∠ HDF-∠ BDF=45°,CE=FE$。
在 $\mathrm{Rt}△ HBD$ 中,$∠ HBD=90°-∠ HDB=45°$，
$\therefore∠ HBD=∠ HDB=45°$，
$\therefore HD=HB=x,\therefore BD=\sqrt{2}x$，
$\therefore AD=AB+BD=(\sqrt{2}+1)x$，
$\therefore FE=CE=AD=(\sqrt{2}+1)x$。
$\because DE=AC=HD=AB=x$，
$\therefore DF=DE+FE=(\sqrt{2}+2)x$，
$\therefore\frac{DF}{AD}=\frac{(\sqrt{2}+2)x}{(\sqrt{2}+1)x}=\sqrt{2}$，
$\therefore$ A4 纸较长边与较短边的比值是$\sqrt{2}$。
(2)是相似图形。理由如下：
由(1)知 A5 纸的长边为 A4 纸的短边,长为$(\sqrt{2}+1)x$,A5 纸的短边长为 $(\frac{\sqrt{2}+2}{2})x$，
$\therefore$ A5 纸长边 $:$ A5 纸短边 $=\frac{(\sqrt{2}+1)x}{(\frac{\sqrt{2}+2}{2})x}=\sqrt{2}$，
$\therefore$ A4 纸与 A5 纸是相似图形。
由折叠的性质得 $∠ FCG=∠ CFG=∠ FCE=∠ CFE=45°$，
$∠ ACF=∠ HDF=180°-∠ FCG=135°,∠ H=∠ A=90°,∠ BDF=90°,HB=AB=x$，
$\therefore∠ HDB=∠ HDF-∠ BDF=45°,CE=FE$。
在 $\mathrm{Rt}△ HBD$ 中,$∠ HBD=90°-∠ HDB=45°$，
$\therefore∠ HBD=∠ HDB=45°$，
$\therefore HD=HB=x,\therefore BD=\sqrt{2}x$，
$\therefore AD=AB+BD=(\sqrt{2}+1)x$，
$\therefore FE=CE=AD=(\sqrt{2}+1)x$。
$\because DE=AC=HD=AB=x$，
$\therefore DF=DE+FE=(\sqrt{2}+2)x$，
$\therefore\frac{DF}{AD}=\frac{(\sqrt{2}+2)x}{(\sqrt{2}+1)x}=\sqrt{2}$，
$\therefore$ A4 纸较长边与较短边的比值是$\sqrt{2}$。
(2)是相似图形。理由如下：
由(1)知 A5 纸的长边为 A4 纸的短边,长为$(\sqrt{2}+1)x$,A5 纸的短边长为 $(\frac{\sqrt{2}+2}{2})x$，
$\therefore$ A5 纸长边 $:$ A5 纸短边 $=\frac{(\sqrt{2}+1)x}{(\frac{\sqrt{2}+2}{2})x}=\sqrt{2}$，
$\therefore$ A4 纸与 A5 纸是相似图形。
解析
【分析】
(1)要求A4纸较长边与较短边的比值，可先设短边长为未知数，结合折叠的性质得出折叠后图形的角度关系，得到等腰直角三角形，再利用勾股定理分别表示出长边和短边的长度，最终计算二者的比值即可。(2)判断两个图形是否相似，需要满足对应角相等、对应边成比例两个条件；A4和A5都是矩形，四个角均为90°，天然满足对应角相等，因此只需验证二者的长宽比是否相等，结合第(1)问的结论求出A5纸的长宽比，与A4的比值对比即可判断。
【解析】
(1)设A4纸的短边$AB=x$。
由折叠的性质得：$∠ FCG=∠ CFG=∠ FCE=∠ CFE=45°$，$∠ ACF=∠ HDF=180°-∠ FCG=135°,∠ H=∠ A=90°,∠ BDF=90°,HB=AB=x$，
$\therefore∠ HDB=∠ HDF-∠ BDF=135°-90°=45°,CE=FE$。
在$\mathrm{Rt}△ HBD$中，$∠ HBD=90°-∠ HDB=45°$，
$\therefore∠ HBD=∠ HDB=45°$，
$\therefore HD=HB=x$，由勾股定理得$BD=\sqrt{HD^2+HB^2}=\sqrt{2}x$，
$\therefore AD=AB+BD=x+\sqrt{2}x=(\sqrt{2}+1)x$，
$\therefore FE=CE=AD=(\sqrt{2}+1)x$。
$\because DE=AC=HD=AB=x$，
$\therefore DF=DE+FE=x+(\sqrt{2}+1)x=(\sqrt{2}+2)x$，
$\therefore\frac{DF}{AD}=\frac{(\sqrt{2}+2)x}{(\sqrt{2}+1)x}=\sqrt{2}$。
(2)是相似图形，理由如下：
由(1)可知，A5纸的长边等于A4纸的短边，长为$(\sqrt{2}+1)x$，A5纸的短边长为A4纸长边的一半，即$\frac{(\sqrt{2}+2)x}{2}$，
$\therefore$A5纸长边$:$A5纸短边$=\frac{(\sqrt{2}+1)x}{\frac{(\sqrt{2}+2)x}{2}}=\sqrt{2}$，
可知A4纸和A5纸的长宽比相等，又因为二者都是矩形，四个角均为90°，对应角相等，符合相似多边形的判定条件。
【答案】
(1)$\sqrt{2}$；(2)是相似图形，理由见解析。
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，相似多边形的判定
【点评】
本题以生活中常见的A4纸为背景，将实际操作问题转化为几何问题，既考查了折叠前后图形的边角不变性，又考查了相似多边形的判定方法，解题的关键是合理设未知数，利用等腰直角三角形的性质表示出各边长度，题型灵活，贴近生活。
【难度系数】
0.7
(1)要求A4纸较长边与较短边的比值，可先设短边长为未知数，结合折叠的性质得出折叠后图形的角度关系，得到等腰直角三角形，再利用勾股定理分别表示出长边和短边的长度，最终计算二者的比值即可。(2)判断两个图形是否相似，需要满足对应角相等、对应边成比例两个条件；A4和A5都是矩形，四个角均为90°，天然满足对应角相等，因此只需验证二者的长宽比是否相等，结合第(1)问的结论求出A5纸的长宽比，与A4的比值对比即可判断。
【解析】
(1)设A4纸的短边$AB=x$。
由折叠的性质得：$∠ FCG=∠ CFG=∠ FCE=∠ CFE=45°$，$∠ ACF=∠ HDF=180°-∠ FCG=135°,∠ H=∠ A=90°,∠ BDF=90°,HB=AB=x$，
$\therefore∠ HDB=∠ HDF-∠ BDF=135°-90°=45°,CE=FE$。
在$\mathrm{Rt}△ HBD$中，$∠ HBD=90°-∠ HDB=45°$，
$\therefore∠ HBD=∠ HDB=45°$，
$\therefore HD=HB=x$，由勾股定理得$BD=\sqrt{HD^2+HB^2}=\sqrt{2}x$，
$\therefore AD=AB+BD=x+\sqrt{2}x=(\sqrt{2}+1)x$，
$\therefore FE=CE=AD=(\sqrt{2}+1)x$。
$\because DE=AC=HD=AB=x$，
$\therefore DF=DE+FE=x+(\sqrt{2}+1)x=(\sqrt{2}+2)x$，
$\therefore\frac{DF}{AD}=\frac{(\sqrt{2}+2)x}{(\sqrt{2}+1)x}=\sqrt{2}$。
(2)是相似图形，理由如下：
由(1)可知，A5纸的长边等于A4纸的短边，长为$(\sqrt{2}+1)x$，A5纸的短边长为A4纸长边的一半，即$\frac{(\sqrt{2}+2)x}{2}$，
$\therefore$A5纸长边$:$A5纸短边$=\frac{(\sqrt{2}+1)x}{\frac{(\sqrt{2}+2)x}{2}}=\sqrt{2}$，
可知A4纸和A5纸的长宽比相等，又因为二者都是矩形，四个角均为90°，对应角相等，符合相似多边形的判定条件。
【答案】
(1)$\sqrt{2}$；(2)是相似图形，理由见解析。
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，相似多边形的判定
【点评】
本题以生活中常见的A4纸为背景，将实际操作问题转化为几何问题，既考查了折叠前后图形的边角不变性，又考查了相似多边形的判定方法，解题的关键是合理设未知数，利用等腰直角三角形的性质表示出各边长度，题型灵活，贴近生活。
【难度系数】
0.7
