4. 如图,在等腰三角形ABC和等腰三角形$A_1B_1C_1$中,底边的长$BC=4$ cm,$B_1C_1=6$ cm,它们的周长分别为16 cm和24 cm,则下列结论正确的是()。


A.$AB=12$ cm
B.$A_1B_1=12$ cm
C.$\frac{2AB+BC}{2A_1B_1+B_1C_1}=\frac{2}{3}$
D.$\frac{AB+BC+AC}{A_1B_1+B_1C_1+A_1C_1}=\frac{3}{2}$

C

【分析】
解题思路：第一步，利用等腰三角形两腰相等的性质，结合已知的底边长和周长，分别计算两个等腰三角形的腰长；第二步，将计算出的边长代入各选项逐一验证，判断正误即可。
【解析】
1. 计算等腰$△ ABC$的腰长：
$\because △ ABC$是等腰三角形，$BC$为底边，$\therefore AB=AC$
已知$△ ABC$周长为$16\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，可得：
$2AB+BC=16$，代入$BC=4$得$2AB=12$，解得$AB=6\ \mathrm{cm}$，故A选项错误。
2. 计算等腰$△ A_1B_1C_1$的腰长：
$\because △ A_1B_1C_1$是等腰三角形，$B_1C_1$为底边，$\therefore A_1B_1=A_1C_1$
已知$△ A_1B_1C_1$周长为$24\ \mathrm{cm}$，$B_1C_1=6\ \mathrm{cm}$，可得：
$2A_1B_1+B_1C_1=24$，代入$B_1C_1=6$得$2A_1B_1=18$，解得$A_1B_1=9\ \mathrm{cm}$，故B选项错误。
3. 验证C选项：
$\frac{2AB+BC}{2A_1B_1+B_1C_1}=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}$，C选项正确。
4. 验证D选项：
$\frac{AB+BC+AC}{A_1B_1+B_1C_1+A_1C_1}=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}≠\frac{3}{2}$，D选项错误。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；周长计算；比值化简
【点评】
本题侧重考查基础性质的应用，解题核心是熟练掌握等腰三角形边长与周长的关系，计算时注意区分两个三角形的对应边长和周长，避免混淆数值即可轻松求解。
【难度系数】
0.8

5. 已知$a,b,c$满足$\frac{a}{3}=\frac{b}{2}=\frac{c}{6}$，且$a+2b+c=26$，则$a$的值为。

6

【分析】
遇到连等的比例式时，常用设参数的方法解题，我们可以设这个相等的比值为k，将a、b、c三个未知数都用含k的代数式表示，再代入已知的等式$a+2b+c=26$，得到关于k的一元一次方程，解出k的值后就能求出a的值。
【解析】
设$\frac{a}{3}=\frac{b}{2}=\frac{c}{6}=k$（$k≠0$），则可得：
$a=3k$，$b=2k$，$c=6k$
将上述式子代入$a+2b+c=26$，得：
$3k + 2×2k + 6k = 26$
化简左边：$3k + 4k + 6k = 13k$
即$13k=26$，解得$k=2$
所以$a=3k=3×2=6$
【答案】
6
【知识点】
比例的性质；一元一次方程解法；换元法
【点评】
本题是比例应用的基础题型，核心解题技巧是对连比式设公共参数，将多个未知量统一为单个参数表示，代入等量关系求解即可，解题思路清晰固定，容易掌握。
【难度系数】
0.8

6. 已知三个非零的实数$a,b,c$满足$\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=k$，则$k$的值为。

2或-1

【分析】
遇到连等的比例式求比值的问题，可先利用比例的性质将比例式转化为整式等式，再对整式等式变形分析。解题时需注意：比例的等比性质有适用前提，即所有分母的和不为0，因此本题要分$a+b+c≠0$和$a+b+c=0$两种情况讨论，避免漏解。
【解析】
由$\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=k$，可得：
$a+b=kc$，$b+c=ka$，$c+a=kb$，
将三个等式左右两边分别相加，得：
$2(a+b+c)=k(a+b+c)$
分两种情况讨论：
1. 当$a+b+c≠0$时，等式两边同时除以$a+b+c$，解得$k=2$；
2. 当$a+b+c=0$时，可得$a+b=-c$，因为c是非零实数，代入$\frac{a+b}{c}=k$得：
$k=\frac{-c}{c}=-1$。
综上，k的值为2或-1。
【答案】
2或-1
【知识点】
比例的等比性质、分式的基本性质、分类讨论思想
【点评】
本题是比例性质应用的经典题型，易错点是忽略等比性质的适用条件，漏掉$a+b+c=0$的情况从而漏解。解题时使用含参数的性质前，要先确认其适用前提是否成立，才能保证结果完整正确。
【难度系数】
0.6

7.【数学应用】如图所示的是两把刻度不同的尺子,每把尺子的刻度都是均匀的,已知两把尺子在刻度10处对齐,且上面的尺子在刻度15处与下面的尺子在刻度18处也刚好对齐,则上面尺子的刻度16在下面尺子对应的刻度是。

19.6

【分析】
两把尺子刻度均均匀，相同实际长度对应的两把尺子的刻度差成固定比例，这是解题的核心。首先根据已知的两组对齐刻度，算出两把尺子对应刻度差的比值，再设上面尺子刻度16对应下面尺子的刻度为x，根据比例关系列方程求解即可。
【解析】
解：设上面尺子刻度16对应下面尺子的刻度为$x$。
已知两把尺子刻度均匀，相同长度对应的刻度差比值固定：
上面尺子从刻度10到15的刻度差为：$15-10=5$
对应下面尺子从刻度10到18的刻度差为：$18-10=8$
当上面尺子从刻度10到16时，刻度差为：$16-10=6$
对应下面尺子从刻度10到$x$的刻度差为：$x-10$
根据比例关系列方程：
$\frac{5}{8}=\frac{6}{x-10}$
交叉相乘得：
$5(x-10)=48$
解得：
$x=19.6$
【答案】
19.6
【知识点】
成比例线段，比例的性质
【点评】
本题属于比例的实际应用问题，解题的关键是理解刻度均匀的含义，将实际长度相等的关系转化为刻度差的比例关系，计算时注意比例式的对应关系不要写反。
【难度系数】
0.7

8. 阅读材料：
已知$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{6}≠0$，求$\frac{x+y-z}{x-y+z}$的值。
解：设$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{6}=k(k≠0)$，
则$x=3k,y=4k,z=6k$，……… 第一步
$\therefore \frac{x+y-z}{x-y+z}=\frac{3k+4k-6k}{3k-4k+6k}=\frac{k}{5k}=\frac{1}{5}$。……
…………………………………… 第二步
(1)回答下列问题：
①第一步运用了的基本性质；
②第二步的解题过程运用了的方法，由$\frac{k}{5k}$得$\frac{1}{5}$利用了的基本性质。
(2)模仿材料中的方法解答下列问题：
已知$x:y:z=2:3:4$，求$\frac{x+y+z}{x-2y+3z}$的值。
9. 【阅读与思考】请认真阅读小斌解决连比等式问题的方法，并完成相应的任务。

任务：
(1)若正数$x,y,z$满足$\frac{x}{2y+z}=\frac{y}{2z+x}=\frac{z}{2x+y}=k$，求$k$的值；
(2)已知$\frac{a+b}{a-b}=\frac{b+c}{2(b-c)}=\frac{c+a}{3(c-a)},a,b,c$互不相等，求证：$8a+9b+5c=0$。

8.(1)①等式 ②代入消元 分式
(2)解:$\because x: y: z=2: 3: 4$,
$\therefore$设 $x=2m,y=3m,z=4m(m≠0)$,
$\therefore \frac{x+y+z}{x-2y+3z}=\frac{2m+3m+4m}{2m-2×3m+3×4m}=\frac{9m}{8m}=\frac{9}{8}$。
9.(1)解:$\because$ 正数 $x, y, z$ 满足 $\frac{x}{2y+z}=\frac{y}{2z+x}=\frac{z}{2x+y}=k$,
$\therefore x=k(2y+z),y=k(2z+x),z=k(2x+y)$,
$\therefore x+y+z=3k(x+y+z)$。
$\because x,y,z$ 均为正数,
$\therefore k=\frac{x+y+z}{3(x+y+z)}=\frac{1}{3}$。
(2)证明:设$\frac{a+b}{a-b}=\frac{b+c}{2(b-c)}=\frac{c+a}{3(c-a)}=k$,
$\therefore a+b=k(a-b),b+c=2k(b-c),c+a=3k(c-a)$,
$\therefore 6(a+b)=6k(a-b),3(b+c)=6k(b-c),2(c+a)=6k(c-a)$,
$\therefore 6(a+b)+ 3(b+c)+ 2(c+a)=6k(a-b)+6k(b-c)+ 6k(c-a)=0$,
$\therefore 8a+9b+5c=0$。

【分析】
1. 连比（等比）类问题的核心解题思路为引入参数法（设k法）：将连比的比值设为参数k，利用等式基本性质把分子转化为分母与k的乘积形式，将多个变量统一用参数表示，再代入所求式子或通过等式运算消去参数，即可得到结果。
2. 第8题(1)考查基础性质辨析：将比例式转化为变量与参数乘积的形式用到等式基本性质；将参数代入分式计算用到代入消元法；约去分子分母中非零的相同因式用到分式基本性质。
3. 第8题(2)给出x,y,z的连比，直接设每一份为参数m，将x,y,z用m表示后代入分式，约去非零的m即可得到结果。
4. 第9题(1)设连比比值为k，得到x,y,z关于k的表达式，三式相加后利用x,y,z为正数可得x+y+z≠0，约去后即可求得k值。
5. 第9题(2)设连比比值为k后，将三个等式分别乘以6、3、2，使右边含k的项相加后为0，左边展开合并同类项即可得到待证等式。
【解析】
第8题
(1) ① 第一步在等比式两边同乘非零分母得到$x=3k$、$y=4k$、$z=6k$，运用了等式的基本性质；
② 第二步将用k表示的x,y,z代入分式计算，运用了代入消元的方法；约去分子分母中非零的k得到$\frac{1}{5}$，利用了分式的基本性质。
(2) 已知$x:y:z=2:3:4$，设$x=2m,y=3m,z=4m$（$m≠0$），代入所求分式：
$\frac{x+y+z}{x-2y+3z}=\frac{2m+3m+4m}{2m-2×3m+3×4m}=\frac{9m}{8m}=\frac{9}{8}$
第9题
(1) 正数$x,y,z$满足$\frac{x}{2y+z}=\frac{y}{2z+x}=\frac{z}{2x+y}=k$，根据等式性质得：
$x=k(2y+z),y=k(2z+x),z=k(2x+y)$
将三个等式左右分别相加：
$x+y+z=k(2y+z+2z+x+2x+y)=3k(x+y+z)$
∵x,y,z均为正数，
∴$x+y+z≠0$，等式两边同除以$x+y+z$得：
$1=3k$，即$k=\frac{1}{3}$
(2) 证明：设$\frac{a+b}{a-b}=\frac{b+c}{2(b-c)}=\frac{c+a}{3(c-a)}=k$，根据等式性质得：
$a+b=k(a-b)\quad①$，$b+c=2k(b-c)\quad②$，$c+a=3k(c-a)\quad③$
为消去参数k，将①×6，②×3，③×2得：
$6(a+b)=6k(a-b)\quad④$
$3(b+c)=6k(b-c)\quad⑤$
$2(c+a)=6k(c-a)\quad⑥$
将④+⑤+⑥，右边合并得：
$6k(a-b)+6k(b-c)+6k(c-a)=6k(a-b+b-c+c-a)=0$
左边展开合并得：
$6a+6b+3b+3c+2c+2a=8a+9b+5c$
∴$8a+9b+5c=0$，原式得证。
【答案】
8.(1)①等式；②代入消元，分式
(2)$\frac{9}{8}$
9.(1)$k=\frac{1}{3}$
(2)已证$8a+9b+5c=0$成立
【知识点】
等比问题设参数法、等式基本性质、分式基本性质
【点评】
连比、等比问题的核心解法是引入参数法，通过参数将多个变量的关系转化为含单一参数的等式，可大幅简化计算和推导；解题时要注意挖掘参数不为0、变量为正等隐含条件，确保约分、变形的合理性。
【难度系数】
0.7