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10.【综合与实践】在数学课上，老师给出一道题:矩形纸片ABCD的长AD=a，宽AB=1，将该矩形纸片分成三个矩形，所分成的三个矩形均与原矩形相似，求a的值。
特例探究
(1)如图①，小明将该纸片分成三个全等的矩形纸片，即矩形ABFE≌矩形FEMN≌矩形MNCD∽矩形BCDA。根据小明的分割方法，直接写出a的值:
操作探究
(2)请根据老师的要求，画出一种与小明不同的分割方法，并求出相应的a的值。
特例探究
(1)如图①，小明将该纸片分成三个全等的矩形纸片，即矩形ABFE≌矩形FEMN≌矩形MNCD∽矩形BCDA。根据小明的分割方法，直接写出a的值:
$\sqrt{3}$
。操作探究
(2)请根据老师的要求，画出一种与小明不同的分割方法，并求出相应的a的值。
答案
10.(1)$\sqrt{3}$
(2)解:方法一:如图①,分割成矩形 ABHG、矩形 GPQD、矩形 PHCQ,且矩形 $ABHG∽$ 矩形$GPQD≌$矩形 $PHCQ∽$ 矩形 ADCB,
$\therefore \frac{AG}{AB}=\frac{AB}{AD}=\frac{GD}{GP}$。
$\because$长 $AD=a$,宽 $AB=1$,$\therefore \frac{AG}{1}=\frac{1}{a}=\frac{a-AG}{\frac{1}{2}}$,
$\therefore AG=\frac{1}{a}$, $a(a-AG)=\frac{1}{2}$,
$\therefore a(a-\frac{1}{a})=\frac{1}{2}$, 解得 $a=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
方法二:如图②,分割成矩形 ABHG、矩形 GDQP、矩形 PQCH,且矩形 $ABHG∽$ 矩形$GDQP≌$矩形 $PQCH∽$ 矩形 ADCB,
$\therefore \frac{AG}{AB}=\frac{AB}{AD}=\frac{GP}{GD}$。
$\because$长 $AD=a$,宽 $AB=1$,
$\therefore \frac{AG}{1}=\frac{1}{a}=\frac{\frac{1}{2}}{a-AG}$,
$\therefore AG=\frac{1}{a}$, $\frac{1}{2}a=a-AG$,
$\therefore \frac{1}{a}=a-\frac{1}{2}a$, 解得 $a=\sqrt{2}$。
(答案不唯一,写出一种即可)
解析
【分析】
(1) 解题思路：已知三个小矩形全等且均与原矩形相似，首先明确原矩形和小矩形的长宽，再根据相似多边形对应边成比例的性质列等式求解。原矩形ABCD的长AD=a，宽AB=1，三个全等小矩形的长为AB=1，宽为AD的三分之一即$\frac{a}{3}$，利用相似图形长宽比相等建立方程即可求出a。
(2) 解题思路：设计不同于小明的分割方式，可先分割出一个与原矩形相似的小矩形，再将剩余部分分为两个全等且与原矩形相似的小矩形，结合分割特征找准各边的长度关系，利用相似多边形对应边成比例列方程，解方程得到a的值，注意a为正数，需舍去负根。
【解析】
(1)
∵ 矩形ABFE∽矩形BCDA，且三个小矩形全等
∴ 小矩形的长为AB=1，宽为$\frac{AD}{3}=\frac{a}{3}$
根据相似多边形对应边成比例，可得$\frac{原矩形长}{原矩形宽}=\frac{小矩形长}{小矩形宽}$，即$\frac{a}{1}=\frac{1}{\frac{a}{3}}$
整理得$a^2=3$，又
∵a＞0，
∴$a=\sqrt{3}$。
(2) 选取一种分割方法求解：如图①，分割成矩形ABHG、矩形GPQD、矩形PHCQ，且矩形$ABHG∽$矩形$GPQD≌$矩形$PHCQ∽$矩形ADCB。
由相似多边形对应边成比例可得：$\frac{AG}{AB}=\frac{AB}{AD}=\frac{GD}{GP}$
已知AD=a，AB=1，GP=$\frac{1}{2}$，GD=a-AG，代入比例式得：
$\frac{AG}{1}=\frac{1}{a}=\frac{a-AG}{\frac{1}{2}}$
由$\frac{AG}{1}=\frac{1}{a}$得$AG=\frac{1}{a}$，由$\frac{1}{a}=\frac{a-AG}{\frac{1}{2}}$得$a(a-AG)=\frac{1}{2}$
将$AG=\frac{1}{a}$代入上式，得$a(a-\frac{1}{a})=\frac{1}{2}$，整理得$a^2=\frac{3}{2}$
∵a＞0，
∴$a=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
（也可选择另一种分割方法，解得$a=\sqrt{2}$，答案合理即可）
【答案】
(1)$\sqrt{3}$
(2) 示例：分割方法见解析，$a=\frac{\sqrt{6}}{2}$（或$a=\sqrt{2}$，答案不唯一）
【知识点】
1. 相似多边形的性质
2. 矩形的性质
3. 比例方程求解
【点评】
本题结合矩形分割考查相似多边形的性质，需要学生根据分割特征准确找到对应边的比例关系，建立方程求解，同时鼓励学生多角度思考分割方式，有效锻炼数形结合思想和分类讨论意识。
【难度系数】
0.6
(1) 解题思路：已知三个小矩形全等且均与原矩形相似，首先明确原矩形和小矩形的长宽，再根据相似多边形对应边成比例的性质列等式求解。原矩形ABCD的长AD=a，宽AB=1，三个全等小矩形的长为AB=1，宽为AD的三分之一即$\frac{a}{3}$，利用相似图形长宽比相等建立方程即可求出a。
(2) 解题思路：设计不同于小明的分割方式，可先分割出一个与原矩形相似的小矩形，再将剩余部分分为两个全等且与原矩形相似的小矩形，结合分割特征找准各边的长度关系，利用相似多边形对应边成比例列方程，解方程得到a的值，注意a为正数，需舍去负根。
【解析】
(1)
∵ 矩形ABFE∽矩形BCDA，且三个小矩形全等
∴ 小矩形的长为AB=1，宽为$\frac{AD}{3}=\frac{a}{3}$
根据相似多边形对应边成比例，可得$\frac{原矩形长}{原矩形宽}=\frac{小矩形长}{小矩形宽}$，即$\frac{a}{1}=\frac{1}{\frac{a}{3}}$
整理得$a^2=3$，又
∵a＞0，
∴$a=\sqrt{3}$。
(2) 选取一种分割方法求解：如图①，分割成矩形ABHG、矩形GPQD、矩形PHCQ，且矩形$ABHG∽$矩形$GPQD≌$矩形$PHCQ∽$矩形ADCB。
由相似多边形对应边成比例可得：$\frac{AG}{AB}=\frac{AB}{AD}=\frac{GD}{GP}$
已知AD=a，AB=1，GP=$\frac{1}{2}$，GD=a-AG，代入比例式得：
$\frac{AG}{1}=\frac{1}{a}=\frac{a-AG}{\frac{1}{2}}$
由$\frac{AG}{1}=\frac{1}{a}$得$AG=\frac{1}{a}$，由$\frac{1}{a}=\frac{a-AG}{\frac{1}{2}}$得$a(a-AG)=\frac{1}{2}$
将$AG=\frac{1}{a}$代入上式，得$a(a-\frac{1}{a})=\frac{1}{2}$，整理得$a^2=\frac{3}{2}$
∵a＞0，
∴$a=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
（也可选择另一种分割方法，解得$a=\sqrt{2}$，答案合理即可）
【答案】
(1)$\sqrt{3}$
(2) 示例：分割方法见解析，$a=\frac{\sqrt{6}}{2}$（或$a=\sqrt{2}$，答案不唯一）
【知识点】
1. 相似多边形的性质
2. 矩形的性质
3. 比例方程求解
【点评】
本题结合矩形分割考查相似多边形的性质，需要学生根据分割特征准确找到对应边的比例关系，建立方程求解，同时鼓励学生多角度思考分割方式，有效锻炼数形结合思想和分类讨论意识。
【难度系数】
0.6
