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12.【新定义】在一个三角形中，过一个顶点作一条线段，将原三角形分成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形与原三角形相似，那么这条线段称为该三角形的“相似分割线”。
【问题探究】已知在△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，过顶点C作线段CD交AB于点D，且CD是△ABC的“相似分割线”，其中△ACD是等腰三角形，△BCD∽△BAC，求AB的长。
【问题探究】已知在△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，过顶点C作线段CD交AB于点D，且CD是△ABC的“相似分割线”，其中△ACD是等腰三角形，△BCD∽△BAC，求AB的长。
答案
12. 当$AD=DC$时,$\because AD=DC,\therefore ∠ ACD=∠ A=30°$。$\because △ BCD ∽ △ BAC$,$\therefore ∠ BCD=∠ A=30°$,$\therefore ∠ BCA=30°+30°=60°$,$\therefore ∠ B=90°$,$\therefore AB=4\sqrt{3}$。当$AD=AC$时,如图,$\because AD=AC,∠ A=30°,\therefore ∠ ADC=∠ ACD=\dfrac{1}{2}×(180°-30°)=75°$。$\because △ BCD ∽ △ BAC$,$\therefore ∠ BCD=∠ A=30°$,$\therefore ∠ B=∠ ADC-∠ BCD=45°$,过 $C$ 作 $CH ⊥ AB$ 于 $H$,$\therefore ∠ AHC=90°$。$\because ∠ A=30°$,$\therefore CH=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}×8=4$,$\therefore AH=\sqrt{3}CH=4\sqrt{3}$。$\because ∠ BHC=90°,∠ B=45°$,$\therefore BH=CH=4$,$\therefore AB=AH+BH=4\sqrt{3}+4$。综上所述:$AB$ 的长为 $4\sqrt{3}$ 或 $4\sqrt{3}+4$
解析
【分析】
本题属于新定义题型，解题时需先准确理解“相似分割线”的两个核心要求：①分得的△ACD为等腰三角形，②△BCD∽△BAC。首先分析等腰△ACD的腰的可能性，需分情况讨论AD=DC、AD=AC、AC=DC三种情况，先排除角度矛盾的无效情况，再针对两种有效情况，结合相似三角形对应角相等的性质推导△ABC的内角度数，最后利用直角三角形的边角关系计算AB的长度。
【解析】
解：已知CD是△ABC的“相似分割线”，则△ACD为等腰三角形，且△BCD∽△BAC，分情况讨论：
1. 当$AD=DC$时：
$\because AD=DC$，$\therefore ∠ ACD=∠ A=30°$。
$\because △ BCD ∽ △ BAC$，$\therefore ∠ BCD=∠ A=30°$，
$\therefore ∠ BCA=∠ ACD+∠ BCD=60°$，
在$△ ABC$中，$∠ B=180°-30°-60°=90°$，
$\because AC=8$，$∠ A=30°$，$\therefore BC=\frac{1}{2}AC=4$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$。
2. 当$AD=AC$时：
$\because AD=AC$，$∠ A=30°$，$\therefore ∠ ADC=∠ ACD=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$，
$\because △ BCD ∽ △ BAC$，$\therefore ∠ BCD=∠ A=30°$，
$\because ∠ ADC$是$△ BCD$的外角，$\therefore ∠ ADC=∠ B+∠ BCD$，
$\therefore ∠ B=75°-30°=45°$。
过$C$作$CH ⊥ AB$于$H$，则$∠ AHC=∠ BHC=90°$，
在$Rt△ ACH$中，$∠ A=30°$，$AC=8$，$\therefore CH=\frac{1}{2}AC=4$，$AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=4\sqrt{3}$，
在$Rt△ BCH$中，$∠ B=45°$，$\therefore BH=CH=4$，
$\therefore AB=AH+BH=4\sqrt{3}+4$。
3. 当$AC=DC$时，$∠ A=∠ CDA=30°$，同理$∠ BCD=∠ A=30°$，由外角性质得$∠ B=∠ CDA-∠ BCD=0°$，不符合实际，舍去。
【答案】
$AB$的长为$4\sqrt{3}$或$4\sqrt{3}+4$
【知识点】
等腰三角形性质，相似三角形性质，直角三角形边角关系
【点评】
本题为新定义类几何题，解题核心是准确理解“相似分割线”的定义，对等腰三角形的腰的情况进行分类讨论，结合相似三角形、三角形内外角性质及直角三角形的相关性质求解，注意排除不符合实际的情况，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
本题属于新定义题型，解题时需先准确理解“相似分割线”的两个核心要求：①分得的△ACD为等腰三角形，②△BCD∽△BAC。首先分析等腰△ACD的腰的可能性，需分情况讨论AD=DC、AD=AC、AC=DC三种情况，先排除角度矛盾的无效情况，再针对两种有效情况，结合相似三角形对应角相等的性质推导△ABC的内角度数，最后利用直角三角形的边角关系计算AB的长度。
【解析】
解：已知CD是△ABC的“相似分割线”，则△ACD为等腰三角形，且△BCD∽△BAC，分情况讨论：
1. 当$AD=DC$时：
$\because AD=DC$，$\therefore ∠ ACD=∠ A=30°$。
$\because △ BCD ∽ △ BAC$，$\therefore ∠ BCD=∠ A=30°$，
$\therefore ∠ BCA=∠ ACD+∠ BCD=60°$，
在$△ ABC$中，$∠ B=180°-30°-60°=90°$，
$\because AC=8$，$∠ A=30°$，$\therefore BC=\frac{1}{2}AC=4$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$。
2. 当$AD=AC$时：
$\because AD=AC$，$∠ A=30°$，$\therefore ∠ ADC=∠ ACD=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$，
$\because △ BCD ∽ △ BAC$，$\therefore ∠ BCD=∠ A=30°$，
$\because ∠ ADC$是$△ BCD$的外角，$\therefore ∠ ADC=∠ B+∠ BCD$，
$\therefore ∠ B=75°-30°=45°$。
过$C$作$CH ⊥ AB$于$H$，则$∠ AHC=∠ BHC=90°$，
在$Rt△ ACH$中，$∠ A=30°$，$AC=8$，$\therefore CH=\frac{1}{2}AC=4$，$AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=4\sqrt{3}$，
在$Rt△ BCH$中，$∠ B=45°$，$\therefore BH=CH=4$，
$\therefore AB=AH+BH=4\sqrt{3}+4$。
3. 当$AC=DC$时，$∠ A=∠ CDA=30°$，同理$∠ BCD=∠ A=30°$，由外角性质得$∠ B=∠ CDA-∠ BCD=0°$，不符合实际，舍去。
【答案】
$AB$的长为$4\sqrt{3}$或$4\sqrt{3}+4$
【知识点】
等腰三角形性质，相似三角形性质，直角三角形边角关系
【点评】
本题为新定义类几何题，解题核心是准确理解“相似分割线”的定义，对等腰三角形的腰的情况进行分类讨论，结合相似三角形、三角形内外角性质及直角三角形的相关性质求解，注意排除不符合实际的情况，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
