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1. 如图,在$△ ABC$中,点D,E分别在AB,AC边上,且$\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}=3$。若$DE=2$,则BC的长为（
A.6
B.5
C.4
D.3
A
）A.6
B.5
C.4
D.3
答案
A
解析
【分析】
首先观察图形，△ADE和△ABC有公共角∠A，结合已知给出的两组边的比例关系$\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}=3$，可转化得到两个三角形夹公共角的两组边对应成比例，由此可判定两个三角形相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知DE的长度即可求出BC的长。
【解析】
在$△ ADE$和$△ ABC$中：
∵ $∠ A = ∠ A$（公共角），且$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ 相似三角形对应边成比例，即$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，
将$DE=2$代入得：$\frac{2}{BC}=\frac{1}{3}$，
解得 $BC=6$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形相关知识的基础应用，解题的核心是准确找到两个三角形的公共角和对应成比例的边，判定相似后利用对应边的比例关系求解未知边长，难度较低，熟练掌握相似的判定定理和性质即可快速解答。
【难度系数】
0.85
首先观察图形，△ADE和△ABC有公共角∠A，结合已知给出的两组边的比例关系$\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}=3$，可转化得到两个三角形夹公共角的两组边对应成比例，由此可判定两个三角形相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知DE的长度即可求出BC的长。
【解析】
在$△ ADE$和$△ ABC$中：
∵ $∠ A = ∠ A$（公共角），且$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ 相似三角形对应边成比例，即$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，
将$DE=2$代入得：$\frac{2}{BC}=\frac{1}{3}$，
解得 $BC=6$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形相关知识的基础应用，解题的核心是准确找到两个三角形的公共角和对应成比例的边，判定相似后利用对应边的比例关系求解未知边长，难度较低，熟练掌握相似的判定定理和性质即可快速解答。
【难度系数】
0.85
2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=80°$，$AB=8$，$AC=6$，将$△ ABC$沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与$△ ABC$不相似的是（
C
）答案
C
解析
【分析】
要判断阴影三角形与原△ABC是否相似，需结合三角形相似的判定定理（两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等）逐一分析：首先明确原△ABC的已知条件：∠A=80°，AB=8，AC=6，公共角可直接利用。对每个选项先找公共角，再判断剩余角是否相等，或夹公共角的两边是否对应成比例，即可得出结论。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：阴影三角形与△ABC有公共角∠B，且阴影内的80°角等于原△的∠A=80°，根据“两角对应相等的两个三角形相似”，两三角形相似。
2. 选项B：阴影三角形与△ABC有公共角∠C，且阴影内的80°角等于原△的∠A=80°，根据“两角对应相等的两个三角形相似”，两三角形相似。
3. 选项C：阴影三角形与△ABC有公共角∠C，夹∠C的两边中，阴影的两边长为3（在AC边上）、4（在BC边上），原△夹∠C的两边长为AC=6、BC，$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，但$\frac{4}{BC}$不等于$\frac{1}{2}$，不满足“两边对应成比例且夹角相等”，故两三角形不相似。
4. 选项D：阴影三角形与△ABC有公共角∠A，夹∠A的两边中，阴影的两边长为$AB-5=8-5=3$、$AC-2=6-2=4$，原△夹∠A的两边长为AC=6、AB=8，$\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，两三角形相似。
综上，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角形相似的判定
【点评】
本题考查三角形相似判定定理的实际应用，解题时要注意公共角的利用，判断边成比例时需明确对应边关系，避免对应边混淆出错。
【难度系数】
0.7
要判断阴影三角形与原△ABC是否相似，需结合三角形相似的判定定理（两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等）逐一分析：首先明确原△ABC的已知条件：∠A=80°，AB=8，AC=6，公共角可直接利用。对每个选项先找公共角，再判断剩余角是否相等，或夹公共角的两边是否对应成比例，即可得出结论。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：阴影三角形与△ABC有公共角∠B，且阴影内的80°角等于原△的∠A=80°，根据“两角对应相等的两个三角形相似”，两三角形相似。
2. 选项B：阴影三角形与△ABC有公共角∠C，且阴影内的80°角等于原△的∠A=80°，根据“两角对应相等的两个三角形相似”，两三角形相似。
3. 选项C：阴影三角形与△ABC有公共角∠C，夹∠C的两边中，阴影的两边长为3（在AC边上）、4（在BC边上），原△夹∠C的两边长为AC=6、BC，$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，但$\frac{4}{BC}$不等于$\frac{1}{2}$，不满足“两边对应成比例且夹角相等”，故两三角形不相似。
4. 选项D：阴影三角形与△ABC有公共角∠A，夹∠A的两边中，阴影的两边长为$AB-5=8-5=3$、$AC-2=6-2=4$，原△夹∠A的两边长为AC=6、AB=8，$\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，两三角形相似。
综上，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角形相似的判定
【点评】
本题考查三角形相似判定定理的实际应用，解题时要注意公共角的利用，判断边成比例时需明确对应边关系，避免对应边混淆出错。
【难度系数】
0.7
3.如图,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,线段MN的两端分别在CB,CD上滑动,那么当$\frac{CM}{CN}=$
$\frac{1}{2}$
时,$△ ADE$与$△ MNC$相似。答案
$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
首先根据正方形的性质可得∠A=∠C=90°，AD=AB=2，再结合AE=EB求出AE的长度，得到Rt△ADE两条直角边的长度比；由于△MNC也是直角三角形，直角为∠C，要使两个直角三角形相似，需满足直角边对应成比例，结合相似三角形对应边成比例的性质推导即可求出CM与CN的比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，边长为2
∴AD=AB=2，∠A=∠C=90°
∵AE=EB
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=1
∵线段MN两端在CB、CD上滑动，
∴△MNC为直角三角形，∠C=90°
要使△ADE与△MNC相似，已知直角∠A对应直角∠C，
当AE对应CM、AD对应CN时，有$\frac{AE}{CM}=\frac{AD}{CN}$
交叉变形得：$\frac{CM}{CN}=\frac{AE}{AD}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题需要先利用正方形性质得到边和角的相关条件，再结合相似三角形的判定规律，明确直角三角形相似时直角为对应角，再根据对应边成比例求解即可，解题时要注意避免混淆对应边的比例关系。
【难度系数】
0.7
首先根据正方形的性质可得∠A=∠C=90°，AD=AB=2，再结合AE=EB求出AE的长度，得到Rt△ADE两条直角边的长度比；由于△MNC也是直角三角形，直角为∠C，要使两个直角三角形相似，需满足直角边对应成比例，结合相似三角形对应边成比例的性质推导即可求出CM与CN的比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，边长为2
∴AD=AB=2，∠A=∠C=90°
∵AE=EB
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=1
∵线段MN两端在CB、CD上滑动，
∴△MNC为直角三角形，∠C=90°
要使△ADE与△MNC相似，已知直角∠A对应直角∠C，
当AE对应CM、AD对应CN时，有$\frac{AE}{CM}=\frac{AD}{CN}$
交叉变形得：$\frac{CM}{CN}=\frac{AE}{AD}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题需要先利用正方形性质得到边和角的相关条件，再结合相似三角形的判定规律，明确直角三角形相似时直角为对应角，再根据对应边成比例求解即可，解题时要注意避免混淆对应边的比例关系。
【难度系数】
0.7
4. 如图所示,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,且$AC^2 = AB · AD$,∠ACD=45°,则∠B=
45
°。答案
45
解析
【分析】
首先从已知条件入手：1. AC平分∠BAD，可直接得到一组相等的角∠BAC=∠CAD；2. 给出的等积式$AC^2 = AB · AD$可以变形为比例式$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$。此时观察△ABC和△ACD，已经有一组等角，且夹这组等角的两组边对应成比例，符合相似三角形的判定定理，可证明两三角形相似，再利用相似三角形对应角相等的性质，结合已知∠ACD的度数即可求出∠B的度数。
【解析】
∵ AC平分∠BAD，
∴ $∠ BAC = ∠ CAD$，
又
∵ $AC^2 = AB · AD$，
∴ $\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC}$，
在$△ ABC$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ BAC = ∠ CAD \\\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC}\end{cases}$
∴ $△ ABC ∽ △ ACD$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $∠ B = ∠ ACD$，
∵ $∠ ACD = 45°$，
∴ $∠ B = 45°$。
【答案】
45
【知识点】
角平分线的定义；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形判定与性质的基础应用题，解题核心是将等积式转化为比例式，结合角平分线得到的等角证明三角形相似，是对相似基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.7
首先从已知条件入手：1. AC平分∠BAD，可直接得到一组相等的角∠BAC=∠CAD；2. 给出的等积式$AC^2 = AB · AD$可以变形为比例式$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$。此时观察△ABC和△ACD，已经有一组等角，且夹这组等角的两组边对应成比例，符合相似三角形的判定定理，可证明两三角形相似，再利用相似三角形对应角相等的性质，结合已知∠ACD的度数即可求出∠B的度数。
【解析】
∵ AC平分∠BAD，
∴ $∠ BAC = ∠ CAD$，
又
∵ $AC^2 = AB · AD$，
∴ $\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC}$，
在$△ ABC$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ BAC = ∠ CAD \\\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC}\end{cases}$
∴ $△ ABC ∽ △ ACD$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $∠ B = ∠ ACD$，
∵ $∠ ACD = 45°$，
∴ $∠ B = 45°$。
【答案】
45
【知识点】
角平分线的定义；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形判定与性质的基础应用题，解题核心是将等积式转化为比例式，结合角平分线得到的等角证明三角形相似，是对相似基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$E,F$分别是边$AB$,$BC$上的点,连结$CE$,$AF$,相交于点$D$,已知$BF=CF$,$∠ B+∠ EDF=180°$。
(1)求证:$△ ABF ∽ △ CBE$；
(2)若$BC=6$,$AF=6$,请求$△ BCE$的面积。
(1)求证:$△ ABF ∽ △ CBE$；
(2)若$BC=6$,$AF=6$,请求$△ BCE$的面积。
答案
(1)$\because AB=AC$ 且 $BF=CF,\therefore AF⊥ BC$。$\because ∠ B+∠ EDF=180°,\therefore ∠ BEC=90°=∠ AFB$。
$\because ∠ B=∠ B,\therefore △ CBE∽△ ABF$
(2)在$\mathrm{Rt}△ ABF$ 中,$AB=\sqrt{AF^2+BF^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$。$\because △ ABF∽△ CBE,\therefore \frac{BF}{BE}=\frac{AB}{BC}$,即$\frac{3}{BE}=\frac{3\sqrt{5}}{6},\therefore BE=\frac{6\sqrt{5}}{5},\therefore CE=\sqrt{6^2-(\frac{6\sqrt{5}}{5})^2}=\frac{12\sqrt{5}}{5},\therefore S_{△ BCE}=\frac{1}{2}· \frac{6\sqrt{5}}{5}· \frac{12\sqrt{5}}{5}=\frac{36}{5}$
$\because ∠ B=∠ B,\therefore △ CBE∽△ ABF$
(2)在$\mathrm{Rt}△ ABF$ 中,$AB=\sqrt{AF^2+BF^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$。$\because △ ABF∽△ CBE,\therefore \frac{BF}{BE}=\frac{AB}{BC}$,即$\frac{3}{BE}=\frac{3\sqrt{5}}{6},\therefore BE=\frac{6\sqrt{5}}{5},\therefore CE=\sqrt{6^2-(\frac{6\sqrt{5}}{5})^2}=\frac{12\sqrt{5}}{5},\therefore S_{△ BCE}=\frac{1}{2}· \frac{6\sqrt{5}}{5}· \frac{12\sqrt{5}}{5}=\frac{36}{5}$
解析
【分析】
(1) 要证明△ABF∽△CBE，已知两个三角形有公共角∠B，只需再证明一组对应角相等即可。首先根据AB=AC、BF=CF，由等腰三角形三线合一可得AF⊥BC，即∠AFB=90°；再结合∠B+∠EDF=180°，利用四边形内角和可推出∠BEC=90°，得到∠AFB=∠BEC，即可根据两角对应相等判定两三角形相似。
(2) 先根据已知条件求出Rt△ABF的各边长度，再利用(1)中相似三角形的对应边成比例，求出△BCE的两条直角边BE、CE的长度，最后代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，$BF=CF$，
∴ AF为等腰△ABC底边BC上的中线，由等腰三角形三线合一得$AF⊥BC$，即$∠AFB=90°$。
∵ 四边形BEDF内角和为$360°$，
∴ $∠B+∠BED+∠EDF+∠BFD=360°$，
又
∵ $∠B+∠EDF=180°$，$∠BFD=90°$，
∴ $∠BED=360°-180°-90°=90°$，即$∠BEC=∠AFB=90°$。
在△ABF和△CBE中：
$\begin{cases} ∠B=∠B \\ ∠AFB=∠CEB=90° \end{cases}$
∴ $△ABF∽△CBE$（两角对应相等，两三角形相似）。
(2) 解：
∵ $BC=6$，$BF=CF$，
∴ $BF=\frac{1}{2}BC=3$。
在$Rt△ABF$中，$AF=6$，$BF=3$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AF^2+BF^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$。
∵ $△ABF∽△CBE$，
∴ 对应边成比例：$\frac{BF}{BE}=\frac{AB}{BC}=\frac{AF}{CE}$。
代入$\frac{3}{BE}=\frac{3\sqrt{5}}{6}$，解得$BE=\frac{6\sqrt{5}}{5}$；
代入$\frac{6}{CE}=\frac{3\sqrt{5}}{6}$，解得$CE=\frac{12\sqrt{5}}{5}$。
∴ $S_{△BCE}=\frac{1}{2}·BE·CE=\frac{1}{2}×\frac{6\sqrt{5}}{5}×\frac{12\sqrt{5}}{5}=\frac{36}{5}$。
【答案】
(1) △ABF∽△CBE得证；
(2) $\frac{36}{5}$
【知识点】
等腰三角形性质，相似三角形判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题关键是先通过等腰三角形性质得到直角，再结合角度关系证明三角形相似，最后借助相似的性质计算边长求解面积，对相似三角形的基础应用考查比较典型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△ABF∽△CBE，已知两个三角形有公共角∠B，只需再证明一组对应角相等即可。首先根据AB=AC、BF=CF，由等腰三角形三线合一可得AF⊥BC，即∠AFB=90°；再结合∠B+∠EDF=180°，利用四边形内角和可推出∠BEC=90°，得到∠AFB=∠BEC，即可根据两角对应相等判定两三角形相似。
(2) 先根据已知条件求出Rt△ABF的各边长度，再利用(1)中相似三角形的对应边成比例，求出△BCE的两条直角边BE、CE的长度，最后代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，$BF=CF$，
∴ AF为等腰△ABC底边BC上的中线，由等腰三角形三线合一得$AF⊥BC$，即$∠AFB=90°$。
∵ 四边形BEDF内角和为$360°$，
∴ $∠B+∠BED+∠EDF+∠BFD=360°$，
又
∵ $∠B+∠EDF=180°$，$∠BFD=90°$，
∴ $∠BED=360°-180°-90°=90°$，即$∠BEC=∠AFB=90°$。
在△ABF和△CBE中：
$\begin{cases} ∠B=∠B \\ ∠AFB=∠CEB=90° \end{cases}$
∴ $△ABF∽△CBE$（两角对应相等，两三角形相似）。
(2) 解：
∵ $BC=6$，$BF=CF$，
∴ $BF=\frac{1}{2}BC=3$。
在$Rt△ABF$中，$AF=6$，$BF=3$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AF^2+BF^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$。
∵ $△ABF∽△CBE$，
∴ 对应边成比例：$\frac{BF}{BE}=\frac{AB}{BC}=\frac{AF}{CE}$。
代入$\frac{3}{BE}=\frac{3\sqrt{5}}{6}$，解得$BE=\frac{6\sqrt{5}}{5}$；
代入$\frac{6}{CE}=\frac{3\sqrt{5}}{6}$，解得$CE=\frac{12\sqrt{5}}{5}$。
∴ $S_{△BCE}=\frac{1}{2}·BE·CE=\frac{1}{2}×\frac{6\sqrt{5}}{5}×\frac{12\sqrt{5}}{5}=\frac{36}{5}$。
【答案】
(1) △ABF∽△CBE得证；
(2) $\frac{36}{5}$
【知识点】
等腰三角形性质，相似三角形判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题关键是先通过等腰三角形性质得到直角，再结合角度关系证明三角形相似，最后借助相似的性质计算边长求解面积，对相似三角形的基础应用考查比较典型。
【难度系数】
0.7
