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7. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A = 36°$，将$△ ABC$绕着点B逆时针旋转得到$△ EBD$。若点C的对应点D恰好落在AC上，且$△ ABC ∽ △ BDC$，则$∠ EBD=$（）
A.$70°$
B.$72°$
C.$66°$
D.$75°$
A.$70°$
B.$72°$
C.$66°$
D.$75°$
答案
7. B
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先回忆旋转的性质，旋转前后的图形全等，对应角、对应边均相等，因此可得∠EBD=∠ABC、BC=BD，要求∠EBD只需先求出∠ABC的度数即可。再结合相似三角形的性质，相似三角形对应角相等，已知∠A=36°，可推出∠DBC=∠A=36°；由BC=BD可知△BCD是等腰三角形，可先计算出∠C的度数，最后利用三角形内角和定理求出∠ABC的度数，即可得到∠EBD的度数。
【解析】
解：
∵△ABC绕点B逆时针旋转得到△EBD，
∴△EBD≌△ABC，$BC=BD$，
∴$∠EBD=∠ABC$。
∵$BC=BD$，
∴$∠C=∠BDC$。
∵$△ABC ∽ △BDC$，
∴$∠DBC=∠A=36°$。
在△BDC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠C+∠BDC+∠DBC=180°$，
即$2∠C + 36° = 180°$，
解得$∠C=72°$。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠A+∠ABC+∠C=180°$，
即$36° + ∠ABC +72° =180°$，
解得$∠ABC=72°$，
∴$∠EBD=∠ABC=72°$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；相似三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题结合旋转和相似三角形的性质考查角度计算，解题的关键是抓住旋转前后对应边、对应角相等的特征，结合相似三角形对应角相等推导角的数量关系，再利用三角形内角和求解即可。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先回忆旋转的性质，旋转前后的图形全等，对应角、对应边均相等，因此可得∠EBD=∠ABC、BC=BD，要求∠EBD只需先求出∠ABC的度数即可。再结合相似三角形的性质，相似三角形对应角相等，已知∠A=36°，可推出∠DBC=∠A=36°；由BC=BD可知△BCD是等腰三角形，可先计算出∠C的度数，最后利用三角形内角和定理求出∠ABC的度数，即可得到∠EBD的度数。
【解析】
解：
∵△ABC绕点B逆时针旋转得到△EBD，
∴△EBD≌△ABC，$BC=BD$，
∴$∠EBD=∠ABC$。
∵$BC=BD$，
∴$∠C=∠BDC$。
∵$△ABC ∽ △BDC$，
∴$∠DBC=∠A=36°$。
在△BDC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠C+∠BDC+∠DBC=180°$，
即$2∠C + 36° = 180°$，
解得$∠C=72°$。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠A+∠ABC+∠C=180°$，
即$36° + ∠ABC +72° =180°$，
解得$∠ABC=72°$，
∴$∠EBD=∠ABC=72°$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；相似三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题结合旋转和相似三角形的性质考查角度计算，解题的关键是抓住旋转前后对应边、对应角相等的特征，结合相似三角形对应角相等推导角的数量关系，再利用三角形内角和求解即可。
【难度系数】
0.7
8.如图所示,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AD,DC上,△ABE∽△DEF,AB=6,AE=9,DE=2,则EF=。
答案
8. $\sqrt{13}$
解析
【分析】
解题可按两步走：第一步，利用矩形四个内角都是直角的性质，可知△ABE是直角三角形，结合已知的AB、AE长度，用勾股定理先求出BE的长度；第二步，根据相似三角形对应边成比例的性质，找到对应边的比例关系，代入已知线段长度即可求出EF的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得：
$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{6^2+9^2}=\sqrt{36+81}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}$，
∵$△ ABE ∽ △ DEF$，
∴相似三角形对应边成比例，即$\frac{AB}{DE}=\frac{BE}{EF}$，
将AB=6，DE=2，$BE=3\sqrt{13}$代入得：
$\frac{6}{2}=\frac{3\sqrt{13}}{EF}$，
解得$EF=\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心考查对相似三角形对应边关系的理解，解题时要注意先确定直角三角形求出关联边BE，再利用相似比求解即可。
【难度系数】
0.7
解题可按两步走：第一步，利用矩形四个内角都是直角的性质，可知△ABE是直角三角形，结合已知的AB、AE长度，用勾股定理先求出BE的长度；第二步，根据相似三角形对应边成比例的性质，找到对应边的比例关系，代入已知线段长度即可求出EF的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得：
$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{6^2+9^2}=\sqrt{36+81}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}$，
∵$△ ABE ∽ △ DEF$，
∴相似三角形对应边成比例，即$\frac{AB}{DE}=\frac{BE}{EF}$，
将AB=6，DE=2，$BE=3\sqrt{13}$代入得：
$\frac{6}{2}=\frac{3\sqrt{13}}{EF}$，
解得$EF=\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心考查对相似三角形对应边关系的理解，解题时要注意先确定直角三角形求出关联边BE，再利用相似比求解即可。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在正方形网格中,△ABC,△EDF的顶点都在正方形网格的格点上,△ABC∽△EDF,则∠ABC+∠ACB的度数为。
(第9题)
(第9题)答案
9. $45°$
解析
【分析】
解题时首先明确所求为△ABC两个内角的和，可利用三角形内角和定理将其转化为求180°与△ABC第三个内角∠BAC的差；再结合题目给出的△ABC∽△EDF的条件，利用相似三角形对应角相等，将求∠BAC的度数转化为求△EDF中对应角∠DEF的度数；最后通过网格的线的特征，直接判断出∠DEF的度数，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ △ABC∽△EDF，根据相似三角形对应角相等，可得∠BAC = ∠DEF。
观察网格特征：线段EF为竖直方向线段，线段ED为向右下方向的网格对角线，与水平方向夹角为45°，因此∠DEF = 90°+45°=135°，即∠BAC=135°。
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠BAC = 180° - 135° = 45°。
【答案】
$45°$
【知识点】
相似三角形的性质，三角形内角和定理，网格角度判断
【点评】
本题是网格背景下的相似三角形应用问题，解题核心是利用相似三角形的性质进行角度转化，结合网格特征快速得到特殊角的度数，避免了复杂的边长计算，注重对转化思想的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确所求为△ABC两个内角的和，可利用三角形内角和定理将其转化为求180°与△ABC第三个内角∠BAC的差；再结合题目给出的△ABC∽△EDF的条件，利用相似三角形对应角相等，将求∠BAC的度数转化为求△EDF中对应角∠DEF的度数；最后通过网格的线的特征，直接判断出∠DEF的度数，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ △ABC∽△EDF，根据相似三角形对应角相等，可得∠BAC = ∠DEF。
观察网格特征：线段EF为竖直方向线段，线段ED为向右下方向的网格对角线，与水平方向夹角为45°，因此∠DEF = 90°+45°=135°，即∠BAC=135°。
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠BAC = 180° - 135° = 45°。
【答案】
$45°$
【知识点】
相似三角形的性质，三角形内角和定理，网格角度判断
【点评】
本题是网格背景下的相似三角形应用问题，解题核心是利用相似三角形的性质进行角度转化，结合网格特征快速得到特殊角的度数，避免了复杂的边长计算，注重对转化思想的考查。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在矩形$ABCD$中,点$E$是$BC$边上任意一点,连结$AE$,$DE$,有$△ ABE ∽ △ ECD$,$AE=6$,$DE=8$,点$F$是$AD$的中点。求$EF$和$BE$的长。
答案
10. $\because △ ABE ∽ △ ECD,\therefore ∠ BAE=∠ CED$。$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,$\therefore ∠ B=90°,\therefore ∠ BAE+∠ AEB=90°,\therefore ∠ AEB+∠ CED=∠ AEB+∠ BAE=90°,\therefore ∠ AED=90°,AD=\sqrt{6^2+8^2}=10$。$\because$ 点 $F$ 是 $AD$ 的中点,$\therefore EF=\dfrac{1}{2}AD=5$。设 $BE=x$,则 $EC=BC-BE=5-x$,$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,$\therefore ∠ B=∠ C=90°,AB=CD=2$。$\because ∠ BAE=∠ CED,\therefore △ ABE ∽ △ ECD$,$\therefore \dfrac{AB}{EC}=\dfrac{BE}{CD}$,即 $BE· EC=AB· CD$,$\therefore x(5-x)=4$,解得 $x_1=1,x_2=4$,$\therefore BE=1$ 或 $4$
11. 在矩形$ABCD$中，$AB=6$，$BC=8$，点$P$在矩形$ABCD$的内部，点$E$在边$BC$上，满足$△ PBE ∽ △ DBC$。若$△ APD$是等腰三角形，则$PE$的长为。
答案
11. 3或$\dfrac{6}{5}$
解析
【分析】
首先根据矩形性质求出对角线BD的长度，再由△PBE∽△DBC可推出点P在对角线BD上，且PE与CD成比例关系。接下来分情况讨论△APD为等腰三角形的三类情况，排除不符合点P在矩形内部的情况，计算对应BP的长度后，利用相似比即可求出PE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=8，
∴CD=AB=6，AD=BC=8，∠BAD=∠C=90°，
∴对角线$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
∵△PBE∽△DBC，
∴∠PBE=∠DBC，∠PEB=∠C=90°，
∴点P在线段BD上，且PE//CD，
∴$\frac{PE}{CD}=\frac{BP}{BD}$，即$PE=\frac{CD· BP}{BD}=\frac{3BP}{5}$。
分情况讨论△APD为等腰三角形的情况：
1. 当$AP=DP$时，点P在AD的垂直平分线上，此时P为BD中点，
∴$BP=\frac{1}{2}BD=5$，代入得$PE=\frac{3}{5}×5=3$。
2. 当$AD=DP=8$时，$BP=BD-DP=10-8=2$，代入得$PE=\frac{3}{5}×2=\frac{6}{5}$。
3. 当$AD=AP=8$时，经计算点P与点D重合，不符合P在矩形内部的条件，舍去。
综上，PE的长为3或$\frac{6}{5}$。
【答案】
3或$\dfrac{6}{5}$
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的性质，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题综合考查了矩形、相似三角形、等腰三角形的相关知识，解题关键是先根据相似性质确定点P的位置，再对等腰三角形进行分类讨论，注意舍去不符合题意的情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
首先根据矩形性质求出对角线BD的长度，再由△PBE∽△DBC可推出点P在对角线BD上，且PE与CD成比例关系。接下来分情况讨论△APD为等腰三角形的三类情况，排除不符合点P在矩形内部的情况，计算对应BP的长度后，利用相似比即可求出PE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=8，
∴CD=AB=6，AD=BC=8，∠BAD=∠C=90°，
∴对角线$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
∵△PBE∽△DBC，
∴∠PBE=∠DBC，∠PEB=∠C=90°，
∴点P在线段BD上，且PE//CD，
∴$\frac{PE}{CD}=\frac{BP}{BD}$，即$PE=\frac{CD· BP}{BD}=\frac{3BP}{5}$。
分情况讨论△APD为等腰三角形的情况：
1. 当$AP=DP$时，点P在AD的垂直平分线上，此时P为BD中点，
∴$BP=\frac{1}{2}BD=5$，代入得$PE=\frac{3}{5}×5=3$。
2. 当$AD=DP=8$时，$BP=BD-DP=10-8=2$，代入得$PE=\frac{3}{5}×2=\frac{6}{5}$。
3. 当$AD=AP=8$时，经计算点P与点D重合，不符合P在矩形内部的条件，舍去。
综上，PE的长为3或$\frac{6}{5}$。
【答案】
3或$\dfrac{6}{5}$
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的性质，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题综合考查了矩形、相似三角形、等腰三角形的相关知识，解题关键是先根据相似性质确定点P的位置，再对等腰三角形进行分类讨论，注意舍去不符合题意的情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
