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3. 某次同学聚会上，每人都向其他人赠送一份礼品. 小丁同学因事未能到场，无法向同学赠送礼品，但所有同学都给小丁送了礼品. 所有同学共送出121份礼品，求到现场参加聚会的同学人数. 设到现场参加聚会的同学有$x$名，根据题意列出的方程是(
A.$x(x-1)+x=121$
B.$x(x-1)-x=121$
C.$\dfrac{x(x-1)}{2}+x=121$
D.$\dfrac{x(x-1)}{2}-x=121$
A
).A.$x(x-1)+x=121$
B.$x(x-1)-x=121$
C.$\dfrac{x(x-1)}{2}+x=121$
D.$\dfrac{x(x-1)}{2}-x=121$
答案
3. A
解析
【分析】
解题时可将送出的礼品分为两部分计算：第一部分是到现场的同学之间互赠的礼品，第二部分是到现场的同学给小丁赠送的礼品，两部分相加等于总礼品数121。首先明确互赠礼品属于双向计数，不需要除以2，再分别计算两部分礼品的数量，最后合并即可列出方程。
【解析】
设到现场参加聚会的同学有$x$名：
1. 计算现场同学互赠的礼品数：每名现场同学需要向除自己外的其他$(x-1)$名现场同学各送1份礼品，且赠礼是双向的，因此这部分礼品总数为$x(x-1)$份；
2. 计算送给小丁的礼品数：每名现场同学都给小丁送1份礼品，因此这部分礼品总数为$x$份；
3. 根据总礼品数为121份，可列方程：$x(x-1)+x=121$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用，互赠计数问题
【点评】
本题的易错点是容易将互送礼品问题和单向计数的握手问题混淆，误选带$\dfrac{1}{2}$的选项，解题时要注意区分两类计数问题的差异，分模块计算数量再合并即可。
【难度系数】
0.7
解题时可将送出的礼品分为两部分计算：第一部分是到现场的同学之间互赠的礼品，第二部分是到现场的同学给小丁赠送的礼品，两部分相加等于总礼品数121。首先明确互赠礼品属于双向计数，不需要除以2，再分别计算两部分礼品的数量，最后合并即可列出方程。
【解析】
设到现场参加聚会的同学有$x$名：
1. 计算现场同学互赠的礼品数：每名现场同学需要向除自己外的其他$(x-1)$名现场同学各送1份礼品，且赠礼是双向的，因此这部分礼品总数为$x(x-1)$份；
2. 计算送给小丁的礼品数：每名现场同学都给小丁送1份礼品，因此这部分礼品总数为$x$份；
3. 根据总礼品数为121份，可列方程：$x(x-1)+x=121$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用，互赠计数问题
【点评】
本题的易错点是容易将互送礼品问题和单向计数的握手问题混淆，误选带$\dfrac{1}{2}$的选项，解题时要注意区分两类计数问题的差异，分模块计算数量再合并即可。
【难度系数】
0.7
4. 为庆祝中国工农红军长征胜利90周年，某文旅公司推出多款长征主题的文创产品. 已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量y(单位：件)与每件售价x(单位：元)的函数关系如图所示.
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)该文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元.
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)该文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元.
答案
4. (1)设 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y=kx+b$，将点$(30，40)$和点$(40，30)$代入得$\begin{cases}30k+b=40,\\40k+b=30,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-1,\\b=70,\end{cases}$ $\therefore y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y=-x+70$.
(2)根据题意得$(x-20)(-x+70)=525$，整理得 $x^2-90x+1925=0$，解得 $x_1=35$，$x_2=55$. $\because$要尽可能让利于顾客，$\therefore x=35$，即该款文创产品每件的售价为 35 元.
(2)根据题意得$(x-20)(-x+70)=525$，整理得 $x^2-90x+1925=0$，解得 $x_1=35$，$x_2=55$. $\because$要尽可能让利于顾客，$\therefore x=35$，即该款文创产品每件的售价为 35 元.
解析
【分析】
(1) 由图像可判断y是x的一次函数，采用待定系数法求解：先设一次函数的一般形式为$y=kx+b(k≠0)$，再将图像上的两个已知点$(30,40)$、$(40,30)$代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出参数值即可得到函数解析式。
(2) 根据销售利润的等量关系“总盈利=每件利润×日销售量”列方程：每件利润为售价减成本即$(x-20)$元，日销售量用(1)中所求的函数式代入，得到一元二次方程后求解，再结合“尽可能让利于顾客”的要求，选择数值更小的售价作为最终结果。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将点$(30,40)$和$(40,30)$代入解析式，得：
$\begin{cases}30k+b=40\\40k+b=30\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=70\end{cases}$
$\therefore y$关于$x$的函数解析式为$y=-x+70$。
(2) 根据题意，每件产品利润为$(x-20)$元，日销售量为$(-x+70)$件，总盈利为525元，列方程：
$(x-20)(-x+70)=525$
整理得$x^2-90x+1925=0$
解得$x_1=35$，$x_2=55$
$\because$要尽可能让利于顾客，即售价更低，$\therefore x=35$。
【答案】
(1) $y=-x+70$；(2) 35元
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，销售利润计算
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数与方程的应用，解题的核心是找准数量关系，正确列出函数式与方程，同时要注意结合题干的限制条件对方程的根进行合理取舍。
【难度系数】
0.7
(1) 由图像可判断y是x的一次函数，采用待定系数法求解：先设一次函数的一般形式为$y=kx+b(k≠0)$，再将图像上的两个已知点$(30,40)$、$(40,30)$代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出参数值即可得到函数解析式。
(2) 根据销售利润的等量关系“总盈利=每件利润×日销售量”列方程：每件利润为售价减成本即$(x-20)$元，日销售量用(1)中所求的函数式代入，得到一元二次方程后求解，再结合“尽可能让利于顾客”的要求，选择数值更小的售价作为最终结果。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将点$(30,40)$和$(40,30)$代入解析式，得：
$\begin{cases}30k+b=40\\40k+b=30\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=70\end{cases}$
$\therefore y$关于$x$的函数解析式为$y=-x+70$。
(2) 根据题意，每件产品利润为$(x-20)$元，日销售量为$(-x+70)$件，总盈利为525元，列方程：
$(x-20)(-x+70)=525$
整理得$x^2-90x+1925=0$
解得$x_1=35$，$x_2=55$
$\because$要尽可能让利于顾客，即售价更低，$\therefore x=35$。
【答案】
(1) $y=-x+70$；(2) 35元
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，销售利润计算
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数与方程的应用，解题的核心是找准数量关系，正确列出函数式与方程，同时要注意结合题干的限制条件对方程的根进行合理取舍。
【难度系数】
0.7
5. 一次围棋比赛采用单循环赛制(即每个选手都与其他选手各比赛一局)，参赛者少于10人. 关于比赛的总局数有以下两种不同的说法：一种是比了28局；另一种是比了24局. 如果比赛中没有人中途退出，你认为哪一种说法正确？如果比赛中有一人中途退出呢？请说明理由.
答案
5. 设有 $x$ 名选手参加了比赛. 若比赛中没有人中途退出，则比赛总局数为 $\dfrac{x(x-1)}{2}$. 令 $\dfrac{x(x-1)}{2}=28$，解得 $x_1=-7$(不符合题意，舍去)，$x_2=8$. $\because$参赛者人数少于 10 人，$\therefore x=8$符合题意，故局数为 28 符合题意；若比赛中有人中途退出，则比赛总局数显然少于 28，故局数为 24 符合题意.
解析
【分析】
要判断两种总局数的说法是否正确，首先要明确单循环赛的局数计算规则：若有$x$名参赛选手，每人需与其余$x-1$名选手各赛1局，每局比赛会被2名选手各统计1次，因此无中途退赛时总比赛局数为$\dfrac{x(x-1)}{2}$，且$x$为正整数，同时满足$x＜10$。解题时先讨论无退赛的情况：将两种总局数分别代入公式求解$x$，若解得的$x$是符合条件的正整数，则对应说法正确；再讨论有1人中途退赛的情况：此时实际比赛局数会少于无退赛时的总应赛局数，据此判断24局是否合理即可。
【解析】
设共有$x$名选手参加比赛。
1. 若比赛中没有人中途退出：
总比赛局数满足公式$\dfrac{x(x-1)}{2}$。
若总局数为28局，列方程得：
$\dfrac{x(x-1)}{2}=28$
整理得$x^2 - x - 56 = 0$，
解得$x_1=-7$（不符合参赛人数为正的实际意义，舍去），$x_2=8$。
已知参赛者少于10人，$x=8$符合条件。
若总局数为24局，列方程得：
$\dfrac{x(x-1)}{2}=24$
整理得$x^2 - x - 48 = 0$，该方程无正整数解，不符合实际。
因此无人中途退出时，28局的说法正确。
2. 若比赛中有1人中途退出：
此时退赛选手有部分对局未进行，实际比赛总局数必然少于无人退出时的总应赛局数28局，24＜28，符合退赛场景下的局数范围，因此此时24局的说法正确。
【答案】
无人中途退出时，比了28局的说法正确；有一人中途退出时，比了24局的说法正确。
【知识点】
单循环赛计数、一元二次方程的实际应用
【点评】
本题结合生活中的比赛场景出题，解题核心是掌握单循环赛的局数计算方法，同时要注意实际问题中未知数的取值必须符合现实意义（如人数为正整数），退赛场景下需要结合局数的变化范围判断合理性，能够锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
要判断两种总局数的说法是否正确，首先要明确单循环赛的局数计算规则：若有$x$名参赛选手，每人需与其余$x-1$名选手各赛1局，每局比赛会被2名选手各统计1次，因此无中途退赛时总比赛局数为$\dfrac{x(x-1)}{2}$，且$x$为正整数，同时满足$x＜10$。解题时先讨论无退赛的情况：将两种总局数分别代入公式求解$x$，若解得的$x$是符合条件的正整数，则对应说法正确；再讨论有1人中途退赛的情况：此时实际比赛局数会少于无退赛时的总应赛局数，据此判断24局是否合理即可。
【解析】
设共有$x$名选手参加比赛。
1. 若比赛中没有人中途退出：
总比赛局数满足公式$\dfrac{x(x-1)}{2}$。
若总局数为28局，列方程得：
$\dfrac{x(x-1)}{2}=28$
整理得$x^2 - x - 56 = 0$，
解得$x_1=-7$（不符合参赛人数为正的实际意义，舍去），$x_2=8$。
已知参赛者少于10人，$x=8$符合条件。
若总局数为24局，列方程得：
$\dfrac{x(x-1)}{2}=24$
整理得$x^2 - x - 48 = 0$，该方程无正整数解，不符合实际。
因此无人中途退出时，28局的说法正确。
2. 若比赛中有1人中途退出：
此时退赛选手有部分对局未进行，实际比赛总局数必然少于无人退出时的总应赛局数28局，24＜28，符合退赛场景下的局数范围，因此此时24局的说法正确。
【答案】
无人中途退出时，比了28局的说法正确；有一人中途退出时，比了24局的说法正确。
【知识点】
单循环赛计数、一元二次方程的实际应用
【点评】
本题结合生活中的比赛场景出题，解题核心是掌握单循环赛的局数计算方法，同时要注意实际问题中未知数的取值必须符合现实意义（如人数为正整数），退赛场景下需要结合局数的变化范围判断合理性，能够锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
