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6. “一纸侨批，半生守望”. 作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣. 截至8月初，《给阿嬷的情书》票房已超20亿元.
(1)已知5月12日至5月14日三天，每天的票房增长率相同，第一天票房为2 100万，第三天票房为3 024万，那么这三天的票房平均增长率是多少？
(2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客在此可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动. 据统计，当扛标旗单价定为8元时，每天有300名游客参与，扛标旗单价每上涨1元，参与的游客数量减少20人，经涨价后发现每天营收增加了200元，则扛标旗单价上涨了多少元？
(1)已知5月12日至5月14日三天，每天的票房增长率相同，第一天票房为2 100万，第三天票房为3 024万，那么这三天的票房平均增长率是多少？
(2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客在此可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动. 据统计，当扛标旗单价定为8元时，每天有300名游客参与，扛标旗单价每上涨1元，参与的游客数量减少20人，经涨价后发现每天营收增加了200元，则扛标旗单价上涨了多少元？
答案
6. (1)设这三天每天票房的平均增长率为 $x$，依题意，$2100(1+x)^2=3024$，解得 $x_1=0.2$，$x_2=-2.2$(不符合题意，舍去). 所以这三天票房的平均增长率为 20%.
(2)设单价上涨了 $a$ 元，依题意，$(8+a)(300-20a)=8×300+200$，解得 $a_1=2$，$a_2=5$. 答：扛标旗单价上涨了 2 元或 5 元.
(2)设单价上涨了 $a$ 元，依题意，$(8+a)(300-20a)=8×300+200$，解得 $a_1=2$，$a_2=5$. 答：扛标旗单价上涨了 2 元或 5 元.
解析
【分析】
(1) 本题是平均增长率类问题，解题思路为：首先回忆增长率问题的通用等量关系：初始量×(1+平均增长率)ⁿ=增长n次后的量。本题初始量为第一天票房2100万，增长2次后得到第三天票房3024万，设平均增长率为x，代入等量关系列一元二次方程，求解后根据增长率为正的实际要求舍去不符合题意的根即可。
(2) 本题是营销类营收计算问题，核心等量关系为：单价×参与人数=总营收。首先设单价上涨a元，可表示出涨价后单价为(8+a)元，对应参与游客数为(300-20a)人；再根据“涨价后营收增加200元”，即涨价后营收=原营收+200，代入列方程求解，验证解符合实际（参与人数不为负）即可。
【解析】
(1) 设这三天每天票房的平均增长率为$x$，依题意列方程：
$2100(1+x)^2=3024$
方程两边同除以2100得：$(1+x)^2=1.44$
开平方得：$1+x=\pm1.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$
因为增长率不能为负数，故$x_2=-2.2$不符合题意，舍去。
(2) 设扛标旗单价上涨了$a$元，依题意列方程：
$(8+a)(300-20a)=8×300+200$
整理得：$a^2-7a+10=0$
因式分解得：$(a-2)(a-5)=0$
解得：$a_1=2$，$a_2=5$
验证：当$a=2$时，参与人数为$300-20×2=260＞0$；当$a=5$时，参与人数为$300-20×5=200＞0$，两个解均符合实际意义。
【答案】
(1) 这三天票房的平均增长率为20%；
(2) 扛标旗单价上涨了2元或5元。
【知识点】
一元二次方程应用，平均增长率问题，销售营收计算
【点评】
本题以热点电影相关的真实场景为命题背景，贴近生活，主要考查学生利用一元二次方程解决实际问题的能力，解题关键是准确提取等量关系列方程，同时要注意结合实际意义检验方程的根是否有效。
【难度系数】
0.8
(1) 本题是平均增长率类问题，解题思路为：首先回忆增长率问题的通用等量关系：初始量×(1+平均增长率)ⁿ=增长n次后的量。本题初始量为第一天票房2100万，增长2次后得到第三天票房3024万，设平均增长率为x，代入等量关系列一元二次方程，求解后根据增长率为正的实际要求舍去不符合题意的根即可。
(2) 本题是营销类营收计算问题，核心等量关系为：单价×参与人数=总营收。首先设单价上涨a元，可表示出涨价后单价为(8+a)元，对应参与游客数为(300-20a)人；再根据“涨价后营收增加200元”，即涨价后营收=原营收+200，代入列方程求解，验证解符合实际（参与人数不为负）即可。
【解析】
(1) 设这三天每天票房的平均增长率为$x$，依题意列方程：
$2100(1+x)^2=3024$
方程两边同除以2100得：$(1+x)^2=1.44$
开平方得：$1+x=\pm1.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$
因为增长率不能为负数，故$x_2=-2.2$不符合题意，舍去。
(2) 设扛标旗单价上涨了$a$元，依题意列方程：
$(8+a)(300-20a)=8×300+200$
整理得：$a^2-7a+10=0$
因式分解得：$(a-2)(a-5)=0$
解得：$a_1=2$，$a_2=5$
验证：当$a=2$时，参与人数为$300-20×2=260＞0$；当$a=5$时，参与人数为$300-20×5=200＞0$，两个解均符合实际意义。
【答案】
(1) 这三天票房的平均增长率为20%；
(2) 扛标旗单价上涨了2元或5元。
【知识点】
一元二次方程应用，平均增长率问题，销售营收计算
【点评】
本题以热点电影相关的真实场景为命题背景，贴近生活，主要考查学生利用一元二次方程解决实际问题的能力，解题关键是准确提取等量关系列方程，同时要注意结合实际意义检验方程的根是否有效。
【难度系数】
0.8
1. 在一次象棋比赛中，实行单循环赛制，每局赢者记2分，输者记0分，如果平局，两个选手各记1分. 今有4名同学统计了比赛中全部选手的得分总和，结果分别为2005分、2004分、2070分、2008分. 经核实确定，只有一名同学统计正确. 试计算这次比赛中共有多少名选手参赛.
答案
1. 设共有 $x$ 名选手参赛，则共有 $\dfrac{x(x-1)}{2}$ 局比赛. 根据计分规则，不管每局结果是胜负还是平局，两名选手共记 2 分，故总得分为 $2×\dfrac{x(x-1)}{2}=x(x-1)$. $\because$相邻两个整数的积的个位数字只能是 0，2，6，$\therefore$总得分只能是 2 070 分，故 $x(x-1)=2070$，解得 $x_1=46$，$x_2=-45$(不符合题意，舍去). 所以这次比赛中共有 46 名选手参赛.
解析
【分析】
解题时首先要明确单循环赛制的总场数计算方法：若有$x$名选手参赛，每两名选手仅赛1场，总场数为$\dfrac{x(x-1)}{2}$。再分析计分规则：无论每局是胜负还是平局，该局两名选手总得分恒为2分（赢局总得分$2+0=2$，平局总得分$1+1=2$），因此总得分可表示为$x(x-1)$。由于$x$和$x-1$是相邻正整数，乘积的个位只能是0、2、6，据此先排除错误得分，再对符合条件的得分列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际的负根即可。
【解析】
解：设这次比赛中共有$x$名选手参赛。
单循环赛制下总比赛局数为$\dfrac{x(x-1)}{2}$，每局比赛两名选手总得分均为2分，因此全部选手得分总和为：
$2×\dfrac{x(x-1)}{2}=x(x-1)$
$x$和$x-1$是相邻正整数，相邻整数乘积的个位数字只能是0、2、6，因此四个得分中仅2070符合要求，列方程得：
$x(x-1)=2070$
整理为$x^2-x-2070=0$，解得：
$x_1=46$，$x_2=-45$
参赛选手人数为正整数，因此$x=-45$不符合题意，舍去。
【答案】
这次比赛中共有46名选手参赛。
【知识点】
一元二次方程的应用，单循环赛场次计算，整数乘法性质
【点评】
本题是结合实际场景的方程应用题，核心是通过计分规则推导总得分的表达式，利用整数性质快速筛选正确总得分后解方程，解题时需注意实际问题中未知数的取值要符合现实意义，不要遗漏舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确单循环赛制的总场数计算方法：若有$x$名选手参赛，每两名选手仅赛1场，总场数为$\dfrac{x(x-1)}{2}$。再分析计分规则：无论每局是胜负还是平局，该局两名选手总得分恒为2分（赢局总得分$2+0=2$，平局总得分$1+1=2$），因此总得分可表示为$x(x-1)$。由于$x$和$x-1$是相邻正整数，乘积的个位只能是0、2、6，据此先排除错误得分，再对符合条件的得分列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际的负根即可。
【解析】
解：设这次比赛中共有$x$名选手参赛。
单循环赛制下总比赛局数为$\dfrac{x(x-1)}{2}$，每局比赛两名选手总得分均为2分，因此全部选手得分总和为：
$2×\dfrac{x(x-1)}{2}=x(x-1)$
$x$和$x-1$是相邻正整数，相邻整数乘积的个位数字只能是0、2、6，因此四个得分中仅2070符合要求，列方程得：
$x(x-1)=2070$
整理为$x^2-x-2070=0$，解得：
$x_1=46$，$x_2=-45$
参赛选手人数为正整数，因此$x=-45$不符合题意，舍去。
【答案】
这次比赛中共有46名选手参赛。
【知识点】
一元二次方程的应用，单循环赛场次计算，整数乘法性质
【点评】
本题是结合实际场景的方程应用题，核心是通过计分规则推导总得分的表达式，利用整数性质快速筛选正确总得分后解方程，解题时需注意实际问题中未知数的取值要符合现实意义，不要遗漏舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.6
