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2. 某火车站去年开始了扩建工程. 其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间(单位：月)的乘积恰好等于两队单独完成所需时间(单位：月)之和的6倍.
(1)甲、乙两队单独完成这项工程各需要几个月？
(2)若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元. 在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程，在完成这项工程中，甲队的施工时间是乙队施工时间的2倍. 那么，甲队最多施工几个月才能使全部工程款不超过1500万元？(甲、乙两队的施工时间按月取整数)
(1)甲、乙两队单独完成这项工程各需要几个月？
(2)若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元. 在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程，在完成这项工程中，甲队的施工时间是乙队施工时间的2倍. 那么，甲队最多施工几个月才能使全部工程款不超过1500万元？(甲、乙两队的施工时间按月取整数)
答案
2. (1)设甲、乙两队单独完成这项工程各需要 $x$ 个月、$(x-5)$个月. 依题意，$x(x-5)=6(x+x-5)$，解得 $x_1=15$，$x_2=2$(不符合题意，舍去)，故 $x-5=10$. 所以甲、乙两队单独完成这项工程各需要 15 个月、10 个月.
(2)设完成这项工程甲队施工 $a$ 个月，则乙队施工 $\dfrac{a}{2}$个月. 依题意，$100a+150×\dfrac{a}{2}≤1500$，解得 $a≤8\dfrac{4}{7}$. $\because a$ 为整数，$\therefore a_{\mathrm{最大}}=8$. 所以甲队最多施工 8 个月才能使工程款不超过 1 500 万元.
(2)设完成这项工程甲队施工 $a$ 个月，则乙队施工 $\dfrac{a}{2}$个月. 依题意，$100a+150×\dfrac{a}{2}≤1500$，解得 $a≤8\dfrac{4}{7}$. $\because a$ 为整数，$\therefore a_{\mathrm{最大}}=8$. 所以甲队最多施工 8 个月才能使工程款不超过 1 500 万元.
解析
【分析】
(1) 本问属于一元二次方程的实际应用，解题时先抓住两个核心等量关系：①甲队单独完成工程的时间比乙队多5个月；②两队单独完成时间的乘积恰好等于两队单独完成时间之和的6倍。我们可设甲队单独完成需x个月，则乙队需(x-5)个月，根据第二个等量关系列方程求解，最后结合实际意义验根，舍去不符合要求的解即可。
(2) 本问属于一元一次不等式的实际应用，首先明确费用计算规则：乙队每月施工费比甲队多50万元，即每月150万元；再结合甲队施工时间是乙队的2倍的条件，设甲队施工a个月，则乙队施工$\frac{a}{2}$个月，根据总工程款不超过1500万元的限制列不等式求解，最后结合施工时间为整数的要求，取符合条件的最大整数即可。
【解析】
(1) 设甲队单独完成这项工程需要$x$个月，则乙队单独完成需要$(x-5)$个月。
依题意列方程：
$x(x-5)=6(x+x-5)$
整理得：$x^2-17x+30=0$
因式分解得：$(x-15)(x-2)=0$
解得：$x_1=15$，$x_2=2$
当$x=2$时，乙队单独完成时间为$2-5=-3$，不符合实际意义，舍去。
$\therefore x=15$，$x-5=10$。
(2) 设完成这项工程甲队施工$a$个月，则乙队施工$\frac{a}{2}$个月。
乙队每月施工费为$100+50=150$（万元）。
依题意列不等式：
$100a+150×\frac{a}{2}≤1500$
化简得：$175a≤1500$
解得：$a≤8\frac{4}{7}$
$\because a$为正整数，
$\therefore a$的最大值为8。
【答案】
(1) 甲队单独完成这项工程需要15个月，乙队单独完成需要10个月；
(2) 甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元。
【知识点】
一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合工程施工的实际场景，考查了方程与不等式的综合应用能力，解题的核心是准确梳理题干中的等量、不等关系，同时要注意求解结果需要符合实际意义，养成检验的好习惯。
【难度系数】
0.7
(1) 本问属于一元二次方程的实际应用，解题时先抓住两个核心等量关系：①甲队单独完成工程的时间比乙队多5个月；②两队单独完成时间的乘积恰好等于两队单独完成时间之和的6倍。我们可设甲队单独完成需x个月，则乙队需(x-5)个月，根据第二个等量关系列方程求解，最后结合实际意义验根，舍去不符合要求的解即可。
(2) 本问属于一元一次不等式的实际应用，首先明确费用计算规则：乙队每月施工费比甲队多50万元，即每月150万元；再结合甲队施工时间是乙队的2倍的条件，设甲队施工a个月，则乙队施工$\frac{a}{2}$个月，根据总工程款不超过1500万元的限制列不等式求解，最后结合施工时间为整数的要求，取符合条件的最大整数即可。
【解析】
(1) 设甲队单独完成这项工程需要$x$个月，则乙队单独完成需要$(x-5)$个月。
依题意列方程：
$x(x-5)=6(x+x-5)$
整理得：$x^2-17x+30=0$
因式分解得：$(x-15)(x-2)=0$
解得：$x_1=15$，$x_2=2$
当$x=2$时，乙队单独完成时间为$2-5=-3$，不符合实际意义，舍去。
$\therefore x=15$，$x-5=10$。
(2) 设完成这项工程甲队施工$a$个月，则乙队施工$\frac{a}{2}$个月。
乙队每月施工费为$100+50=150$（万元）。
依题意列不等式：
$100a+150×\frac{a}{2}≤1500$
化简得：$175a≤1500$
解得：$a≤8\frac{4}{7}$
$\because a$为正整数，
$\therefore a$的最大值为8。
【答案】
(1) 甲队单独完成这项工程需要15个月，乙队单独完成需要10个月；
(2) 甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元。
【知识点】
一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合工程施工的实际场景，考查了方程与不等式的综合应用能力，解题的核心是准确梳理题干中的等量、不等关系，同时要注意求解结果需要符合实际意义，养成检验的好习惯。
【难度系数】
0.7
3. 项目式学习.
背景
为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，坚持培育和践行社会主义核心价值观，把劳动教育纳入人才培养全过程，贯通家庭、学校和社会各方面，与德育、智育、体育、美育相融合，紧密结合社会发展变化和学生生活实际，各学校应积极探索具有特色的劳动教育模式，创新体制机制，注重教育实效，实现知行合一.
素材
为了促进劳动课程的开展，广州市某学校准备利用一处墙角和一段篱笆围建一个矩形生态园. 如图，墙AF=8 m，AE=4 m，篱笆长为28 m. 设CD的长为x m，生态园的一边由墙AF和一节篱笆BF构成，另一边由墙AE和一节篱笆CE构成，其他边由篱笆CD和BD围成.
任务
(1)BD=
(2)若生态园的面积为75 m²，求x的值.
(3)为了方便进出生态园，现决定在CD边上留出2 m宽的门，此时生态园的面积能否达到110 m²？如果能，求出生态园的长CD；如果不能，请说明理由.
背景
为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，坚持培育和践行社会主义核心价值观，把劳动教育纳入人才培养全过程，贯通家庭、学校和社会各方面，与德育、智育、体育、美育相融合，紧密结合社会发展变化和学生生活实际，各学校应积极探索具有特色的劳动教育模式，创新体制机制，注重教育实效，实现知行合一.
素材
为了促进劳动课程的开展，广州市某学校准备利用一处墙角和一段篱笆围建一个矩形生态园. 如图，墙AF=8 m，AE=4 m，篱笆长为28 m. 设CD的长为x m，生态园的一边由墙AF和一节篱笆BF构成，另一边由墙AE和一节篱笆CE构成，其他边由篱笆CD和BD围成.
任务
(1)BD=
20-x
m(用含x的代数式表示).(2)若生态园的面积为75 m²，求x的值.
(3)为了方便进出生态园，现决定在CD边上留出2 m宽的门，此时生态园的面积能否达到110 m²？如果能，求出生态园的长CD；如果不能，请说明理由.
答案
3. (1)20-x
(2)依题意，$x(20-x)=75$，解得 $x_1=15$，$x_2=5$. $\because CD＞AF=8$，$\therefore x=15$.
(3)依题意，$BF=x-8$，$EC=AC-4=BD-4$，$\therefore x-8+x-2+BD+BD-4=28$，故 $BD=21-x$，$\therefore x(21-x)=110$，解得 $x_1=10$，$x_2=11$. 故 $CD=10\ \mathrm{m}$ 或 $11\ \mathrm{m}$ 时，生态园的面积能达到 $110\ \mathrm{m}^2$.
(2)依题意，$x(20-x)=75$，解得 $x_1=15$，$x_2=5$. $\because CD＞AF=8$，$\therefore x=15$.
(3)依题意，$BF=x-8$，$EC=AC-4=BD-4$，$\therefore x-8+x-2+BD+BD-4=28$，故 $BD=21-x$，$\therefore x(21-x)=110$，解得 $x_1=10$，$x_2=11$. 故 $CD=10\ \mathrm{m}$ 或 $11\ \mathrm{m}$ 时，生态园的面积能达到 $110\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
第(1)问：先明确篱笆由BF、CE、CD、BD四段组成，根据矩形对边相等可知AB=CD=x、AC=BD，结合墙的长度可得BF=x-8、CE=BD-4，代入篱笆总长为28m的条件化简，即可得到BD的代数式。
第(2)问：利用矩形面积=长×宽的公式，代入CD和BD的表达式列一元二次方程，求解后结合“CD长度大于墙AF的8m”的实际限制舍去不符合题意的根即可。
第(3)问：CD留2m门后，CD段篱笆长度变为x-2，重新根据篱笆总长推导BD的新表达式，再结合面积为110m²列方程求解，验证根是否符合实际条件即可判断能否达到目标面积。
【解析】
(1) 由矩形性质得$AB=CD=x$，$AC=BD$。
篱笆总长为$BF+CE+CD+BD=28$，其中$BF=AB-AF=x-8$，$CE=AC-AE=BD-4$，代入得：
$\quad(x-8)+(BD-4)+x+BD=28$
整理得$2x+2BD=40$，解得$BD=20-x$。
(2) 矩形生态园面积为$CD· BD$，依题意列方程：
$\quad x(20-x)=75$
整理为标准形式：$x^2-20x+75=0$
因式分解得$(x-5)(x-15)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=15$
$\because CD=x＞AF=8\ \mathrm{m}$，$\therefore x=5$不符合题意舍去，故$x=15$。
(3) 能达到，理由如下：
CD边留2m宽的门，则CD段篱笆长为$(x-2)\ \mathrm{m}$，根据篱笆总长列等式：
$\quad(x-8)+(BD-4)+BD+(x-2)=28$
整理得$2x+2BD=42$，解得$BD=21-x$
若面积为$110\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$\quad x(21-x)=110$
整理为标准形式：$x^2-21x+110=0$
因式分解得$(x-10)(x-11)=0$，解得$x_1=10$，$x_2=11$
验证得两个根均满足$x＞8$，对应BD长度均大于4，符合实际条件。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20-x}$
(2) $\boldsymbol{x=15}$
(3) 能，生态园的长CD为$\boldsymbol{10\ \mathrm{m}}$或$\boldsymbol{11\ \mathrm{m}}$
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；矩形面积计算
【点评】
本题结合劳动实践的真实场景，考查学生将实际问题转化为数学模型的能力，解题时需要注意结合实际场景的限制条件对方程的根进行验证取舍，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.7
第(1)问：先明确篱笆由BF、CE、CD、BD四段组成，根据矩形对边相等可知AB=CD=x、AC=BD，结合墙的长度可得BF=x-8、CE=BD-4，代入篱笆总长为28m的条件化简，即可得到BD的代数式。
第(2)问：利用矩形面积=长×宽的公式，代入CD和BD的表达式列一元二次方程，求解后结合“CD长度大于墙AF的8m”的实际限制舍去不符合题意的根即可。
第(3)问：CD留2m门后，CD段篱笆长度变为x-2，重新根据篱笆总长推导BD的新表达式，再结合面积为110m²列方程求解，验证根是否符合实际条件即可判断能否达到目标面积。
【解析】
(1) 由矩形性质得$AB=CD=x$，$AC=BD$。
篱笆总长为$BF+CE+CD+BD=28$，其中$BF=AB-AF=x-8$，$CE=AC-AE=BD-4$，代入得：
$\quad(x-8)+(BD-4)+x+BD=28$
整理得$2x+2BD=40$，解得$BD=20-x$。
(2) 矩形生态园面积为$CD· BD$，依题意列方程：
$\quad x(20-x)=75$
整理为标准形式：$x^2-20x+75=0$
因式分解得$(x-5)(x-15)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=15$
$\because CD=x＞AF=8\ \mathrm{m}$，$\therefore x=5$不符合题意舍去，故$x=15$。
(3) 能达到，理由如下：
CD边留2m宽的门，则CD段篱笆长为$(x-2)\ \mathrm{m}$，根据篱笆总长列等式：
$\quad(x-8)+(BD-4)+BD+(x-2)=28$
整理得$2x+2BD=42$，解得$BD=21-x$
若面积为$110\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$\quad x(21-x)=110$
整理为标准形式：$x^2-21x+110=0$
因式分解得$(x-10)(x-11)=0$，解得$x_1=10$，$x_2=11$
验证得两个根均满足$x＞8$，对应BD长度均大于4，符合实际条件。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20-x}$
(2) $\boldsymbol{x=15}$
(3) 能，生态园的长CD为$\boldsymbol{10\ \mathrm{m}}$或$\boldsymbol{11\ \mathrm{m}}$
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；矩形面积计算
【点评】
本题结合劳动实践的真实场景，考查学生将实际问题转化为数学模型的能力，解题时需要注意结合实际场景的限制条件对方程的根进行验证取舍，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.7
