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8.如图,已知四边形ABCD是边长为10的正方形,四边形ECGF是边长为a的正方形,点G在线段CD上,连接AE,EG。
(1)用含a的代数式表示△ABE的面积;
(2)用含a的代数式表示阴影部分的面积S,并求当a=8时,阴影部分的面积S。
(1)用含a的代数式表示△ABE的面积;
(2)用含a的代数式表示阴影部分的面积S,并求当a=8时,阴影部分的面积S。
答案
8. 解:(1)$S_{△ABE}=\frac{1}{2}×AB×BE=\frac{1}{2}×10×(10+a)$
$=(5a+50) cm²$。
(2)$S=10×10+\frac{1}{2}a²-(5a+50)$
$=(\frac{1}{2}a²-5a+50) cm²$。
当a=8时,$S=\frac{1}{2}a²-5a+50=\frac{1}{2}×8²-5×8+50=42 (cm²)$。
$=(5a+50) cm²$。
(2)$S=10×10+\frac{1}{2}a²-(5a+50)$
$=(\frac{1}{2}a²-5a+50) cm²$。
当a=8时,$S=\frac{1}{2}a²-5a+50=\frac{1}{2}×8²-5×8+50=42 (cm²)$。
解析
【分析】
(1) 求解△ABE的面积时，首先判断△ABE是直角三角形，直角在点B处，它的底BE是两个正方形的边长之和为10+a，高AB为大正方形的边长10，直接代入三角形面积公式即可算出结果。
(2) 阴影部分是不规则图形，采用割补法求解：先计算两个正方形的总面积，再减去两个空白三角形（△ABE和小正方形内的直角三角形）的面积，就能得到阴影部分的面积表达式；最后将a=8代入表达式计算，即可得到对应阴影面积。
【解析】
(1) 由题意可知，AB=10，BE=BC+CE=10+a，∠B=90°，根据三角形面积公式：
$S_{△ABE}=\frac{1}{2}×AB×BE=\frac{1}{2}×10×(10+a)=(5a+50)\ \mathrm{cm}^2$。
(2) 两个正方形的总面积为$10×10+a^2=100+a^2$，小正方形内空白直角三角形的面积为$\frac{1}{2}a^2$，因此阴影部分面积：
$S=100+a^2-(5a+50)-\frac{1}{2}a^2=(\frac{1}{2}a^2-5a+50)\ \mathrm{cm}^2$。
当a=8时，代入表达式得：
$S=\frac{1}{2}×8^2-5×8+50=\frac{1}{2}×64-40+50=42\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $S_{△ABE}=(5a+50)\ \mathrm{cm}^2$；
(2) $S=(\frac{1}{2}a^2-5a+50)\ \mathrm{cm}^2$，当a=8时，$S=42\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
三角形面积计算，列代数式，代数式求值
【点评】
本题重点考查不规则图形面积的求解方法，核心思路是用割补法将不规则图形转化为规则图形面积的和差计算，解题时要准确识别各规则图形的边长，代入计算时注意运算顺序，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
(1) 求解△ABE的面积时，首先判断△ABE是直角三角形，直角在点B处，它的底BE是两个正方形的边长之和为10+a，高AB为大正方形的边长10，直接代入三角形面积公式即可算出结果。
(2) 阴影部分是不规则图形，采用割补法求解：先计算两个正方形的总面积，再减去两个空白三角形（△ABE和小正方形内的直角三角形）的面积，就能得到阴影部分的面积表达式；最后将a=8代入表达式计算，即可得到对应阴影面积。
【解析】
(1) 由题意可知，AB=10，BE=BC+CE=10+a，∠B=90°，根据三角形面积公式：
$S_{△ABE}=\frac{1}{2}×AB×BE=\frac{1}{2}×10×(10+a)=(5a+50)\ \mathrm{cm}^2$。
(2) 两个正方形的总面积为$10×10+a^2=100+a^2$，小正方形内空白直角三角形的面积为$\frac{1}{2}a^2$，因此阴影部分面积：
$S=100+a^2-(5a+50)-\frac{1}{2}a^2=(\frac{1}{2}a^2-5a+50)\ \mathrm{cm}^2$。
当a=8时，代入表达式得：
$S=\frac{1}{2}×8^2-5×8+50=\frac{1}{2}×64-40+50=42\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $S_{△ABE}=(5a+50)\ \mathrm{cm}^2$；
(2) $S=(\frac{1}{2}a^2-5a+50)\ \mathrm{cm}^2$，当a=8时，$S=42\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
三角形面积计算，列代数式，代数式求值
【点评】
本题重点考查不规则图形面积的求解方法，核心思路是用割补法将不规则图形转化为规则图形面积的和差计算，解题时要准确识别各规则图形的边长，代入计算时注意运算顺序，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
9. 如图,在△ABC中,AE,CD是△ABC的两条高,AB=6,CD=3。
(1)请画出AE,CD；
(2)求△ABC的面积；
(3)若AE=4,求BC的长。
(1)请画出AE,CD；
(2)求△ABC的面积；
(3)若AE=4,求BC的长。
答案
9. 解:(1)如图所示,AE,CD即为所求。
(2)因为CD是△ABC的高,AB=6,CD=3,
所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}×6×3=9$。
(3)因为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}BC· AE=9$,
所以$\frac{1}{2}BC×4=9$,
所以BC=4.5。
解析
【分析】
(1) 画三角形的高时，要从顶点向对边所在直线作垂线段，本题△ABC是钝角三角形，AB、BC边上的高都在三角形外部：过点C向AB的延长线作垂线段CD，过点A向CB的延长线作垂线段AE即可；
(2) 求三角形面积直接用公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，选AB为底，对应高是CD，代入已知数值就能算出面积；
(3) 同一个三角形的面积固定，换BC为底时对应高是AE，利用面积相等建立等式，代入已知的面积和AE长度，就能求出BC的长。
【解析】
(1) 根据三角形高的定义，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥BC，交CB的延长线于点E，AE、CD即为所求的两条高；
(2) 已知CD是AB边上的高，AB=6，CD=3，代入三角形面积公式：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·AB·CD=\frac{1}{2}×6×3=9$；
(3) AE是BC边上的高，因此△ABC的面积也可表示为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·BC·AE$，将$S_{△ABC}=9$、AE=4代入得：
$\frac{1}{2}×BC×4=9$
计算得$2BC=9$，解得$BC=4.5$。
【答案】
(1) 如图所示，AE，CD即为所求。
(2) △ABC的面积为9；
(3) BC的长为4.5。
【知识点】
三角形的高；三角形面积公式；等面积法
【点评】
本题属于基础题型，重点考查钝角三角形高的画法和三角形面积公式的灵活应用，等面积法是求解三角形相关线段长度的常用方法，熟练掌握可有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8
(1) 画三角形的高时，要从顶点向对边所在直线作垂线段，本题△ABC是钝角三角形，AB、BC边上的高都在三角形外部：过点C向AB的延长线作垂线段CD，过点A向CB的延长线作垂线段AE即可；
(2) 求三角形面积直接用公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，选AB为底，对应高是CD，代入已知数值就能算出面积；
(3) 同一个三角形的面积固定，换BC为底时对应高是AE，利用面积相等建立等式，代入已知的面积和AE长度，就能求出BC的长。
【解析】
(1) 根据三角形高的定义，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥BC，交CB的延长线于点E，AE、CD即为所求的两条高；
(2) 已知CD是AB边上的高，AB=6，CD=3，代入三角形面积公式：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·AB·CD=\frac{1}{2}×6×3=9$；
(3) AE是BC边上的高，因此△ABC的面积也可表示为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·BC·AE$，将$S_{△ABC}=9$、AE=4代入得：
$\frac{1}{2}×BC×4=9$
计算得$2BC=9$，解得$BC=4.5$。
【答案】
(1) 如图所示，AE，CD即为所求。
(2) △ABC的面积为9；
(3) BC的长为4.5。
【知识点】
三角形的高；三角形面积公式；等面积法
【点评】
本题属于基础题型，重点考查钝角三角形高的画法和三角形面积公式的灵活应用，等面积法是求解三角形相关线段长度的常用方法，熟练掌握可有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8
10.如图，在$Rt△ ABC$中，已知$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，垂足为点$D$。
(1)$∠ A=∠ BCD$相等吗？请说明理由；
(2)若$AC=3$，$BC=4$，$AB=5$，求$CD$的长。
(1)$∠ A=∠ BCD$相等吗？请说明理由；
(2)若$AC=3$，$BC=4$，$AB=5$，求$CD$的长。
答案
10. 解:(1)$∠A=∠BCD$。
因为$∠ACB=90°$,
所以$∠ACD+∠BCD=90°$。
因为CD⊥AB,
所以$∠ADC=90°$,所以$∠A+∠ACD=90°$,
所以$∠A=∠BCD$。
(2)因为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}BC· AC$,
所以$CD=\frac{BC· AC}{AB}=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}$。
因为$∠ACB=90°$,
所以$∠ACD+∠BCD=90°$。
因为CD⊥AB,
所以$∠ADC=90°$,所以$∠A+∠ACD=90°$,
所以$∠A=∠BCD$。
(2)因为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}BC· AC$,
所以$CD=\frac{BC· AC}{AB}=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}$。
解析
【分析】
(1)要判断∠A和∠BCD是否相等，可利用直角三角形两锐角互余的性质：在Rt△ACB中，∠ACD与∠BCD的和为90°；在Rt△ACD中，∠A与∠ACD的和为90°，根据同角的余角相等即可得出两角相等的结论。
(2)求CD的长时，CD是斜边AB上的高，△ABC的面积可以分别以两条直角边为底和高计算，也可以以斜边AB和斜边上的高CD为底和高计算，利用两种方式计算的面积相等（等面积法），代入已知边长即可求出CD的长度。
【解析】
(1)$∠A=∠BCD$，理由如下：
因为$∠ACB=90°$，所以$∠ACD+∠BCD=90°$。
因为$CD⊥AB$，所以$∠ADC=90°$，所以$∠A+∠ACD=90°$，
所以$∠A=∠BCD$。
(2)因为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}BC· AC$，
两边同时消去$\frac{1}{2}$可得$AB·CD=BC·AC$，
代入数值计算得$CD=\frac{BC· AC}{AB}=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}$。
【答案】
(1)$∠A=∠BCD$，理由见解析；
(2)$CD=\frac{12}{5}$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；余角的性质；等面积法求线段长
【点评】
本题是直角三角形的基础应用题，第一问的核心是利用同角的余角相等证明角相等，第二问需掌握等面积法在求直角三角形斜边上的高时的应用，解题思路清晰，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
(1)要判断∠A和∠BCD是否相等，可利用直角三角形两锐角互余的性质：在Rt△ACB中，∠ACD与∠BCD的和为90°；在Rt△ACD中，∠A与∠ACD的和为90°，根据同角的余角相等即可得出两角相等的结论。
(2)求CD的长时，CD是斜边AB上的高，△ABC的面积可以分别以两条直角边为底和高计算，也可以以斜边AB和斜边上的高CD为底和高计算，利用两种方式计算的面积相等（等面积法），代入已知边长即可求出CD的长度。
【解析】
(1)$∠A=∠BCD$，理由如下：
因为$∠ACB=90°$，所以$∠ACD+∠BCD=90°$。
因为$CD⊥AB$，所以$∠ADC=90°$，所以$∠A+∠ACD=90°$，
所以$∠A=∠BCD$。
(2)因为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}BC· AC$，
两边同时消去$\frac{1}{2}$可得$AB·CD=BC·AC$，
代入数值计算得$CD=\frac{BC· AC}{AB}=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}$。
【答案】
(1)$∠A=∠BCD$，理由见解析；
(2)$CD=\frac{12}{5}$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；余角的性质；等面积法求线段长
【点评】
本题是直角三角形的基础应用题，第一问的核心是利用同角的余角相等证明角相等，第二问需掌握等面积法在求直角三角形斜边上的高时的应用，解题思路清晰，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
