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1.下列说法中正确的是(
A.三角形的高、中线是线段，角平分线是射线
B.三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部
C.钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部
D.在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线
B
)A.三角形的高、中线是线段，角平分线是射线
B.三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部
C.钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部
D.在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线
答案
1.B
解析
【分析】
这是一道三角形基本概念辨析题，解题思路如下：首先回忆三角形的高、中线、角平分线的定义，明确三类线的属性是线段还是射线/直线；再结合锐角、直角、钝角三类三角形中这三类线段的位置特点，逐一判断每个选项的正误，最终选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：三角形的高、中线、角平分线都是线段，并非角平分线是射线，因此A错误。
B选项：锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形有1条高（斜边上的高）在内部，钝角三角形也有1条高（最长边上的高）在内部，因此任意三角形的三条高中至少有一条在内部，B正确。
C选项：所有三角形的三条角平分线都在三角形的内部，钝角三角形也不例外，因此C错误。
D选项：三角形的中线是连接一个顶点和它对边中点的线段，不是直线，因此D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高；三角形的中线；三角形的角平分线
【点评】
本题侧重考查三角形三类重要线段的基础概念，易错点在于混淆线段与射线、直线的区别，以及不同三角形中高的位置特点，牢记基础定义即可快速解答。
【难度系数】
0.8
这是一道三角形基本概念辨析题，解题思路如下：首先回忆三角形的高、中线、角平分线的定义，明确三类线的属性是线段还是射线/直线；再结合锐角、直角、钝角三类三角形中这三类线段的位置特点，逐一判断每个选项的正误，最终选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：三角形的高、中线、角平分线都是线段，并非角平分线是射线，因此A错误。
B选项：锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形有1条高（斜边上的高）在内部，钝角三角形也有1条高（最长边上的高）在内部，因此任意三角形的三条高中至少有一条在内部，B正确。
C选项：所有三角形的三条角平分线都在三角形的内部，钝角三角形也不例外，因此C错误。
D选项：三角形的中线是连接一个顶点和它对边中点的线段，不是直线，因此D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高；三角形的中线；三角形的角平分线
【点评】
本题侧重考查三角形三类重要线段的基础概念，易错点在于混淆线段与射线、直线的区别，以及不同三角形中高的位置特点，牢记基础定义即可快速解答。
【难度系数】
0.8
2.下列各图中,能正确画出AB边上的高的是(
D
)答案
2.D
解析
【分析】
要判断哪条是AB边上的高，首先要明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段就是这条边上的高。因此AB边上的高需要满足两个条件：1. 起点是AB的对顶点C；2. 线段与AB所在的直线垂直，垂足在AB或AB的延长线上。接下来按照这两个标准逐一排查选项即可。
【解析】
根据三角形高的定义，AB边上的高需过点C，且垂直于AB所在直线：
选项A：线段过点B，垂直于AC，是AC边上的高，不符合要求，错误；
选项B：所作线段与BC垂直，不与AB所在直线垂直，错误；
选项C：线段过点B，垂直于AC，是AC边上的高，不符合要求，错误；
选项D：线段过点C，垂直于AB的延长线，符合AB边上高的定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题重点考查对三角形高的概念的掌握，注意钝角三角形中，夹钝角的两条边上的高会落在三角形外部，垂足在对应边的延长线上，不要错误认为高的垂足一定在三角形的边上。
【难度系数】
0.7
要判断哪条是AB边上的高，首先要明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段就是这条边上的高。因此AB边上的高需要满足两个条件：1. 起点是AB的对顶点C；2. 线段与AB所在的直线垂直，垂足在AB或AB的延长线上。接下来按照这两个标准逐一排查选项即可。
【解析】
根据三角形高的定义，AB边上的高需过点C，且垂直于AB所在直线：
选项A：线段过点B，垂直于AC，是AC边上的高，不符合要求，错误；
选项B：所作线段与BC垂直，不与AB所在直线垂直，错误；
选项C：线段过点B，垂直于AC，是AC边上的高，不符合要求，错误；
选项D：线段过点C，垂直于AB的延长线，符合AB边上高的定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题重点考查对三角形高的概念的掌握，注意钝角三角形中，夹钝角的两条边上的高会落在三角形外部，垂足在对应边的延长线上，不要错误认为高的垂足一定在三角形的边上。
【难度系数】
0.7
3.如图，CD,CE,CF分别是$△ ABC$的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（
A.$AB=2BF$
B.$AE=BE$
C.$∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB$
D.$CD\bot AB$
B
）A.$AB=2BF$
B.$AE=BE$
C.$∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB$
D.$CD\bot AB$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先要明确三角形的高、角平分线、中线的定义，再对应每个选项逐一判断正误：①三角形的高是从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段，因此高与对应边垂直；②三角形的角平分线是平分一个内角的线段，会将对应内角分成两个相等的小角；③三角形的中线是连接顶点和对边中点的线段，会将对应对边分成相等的两段。结合三个定义逐一验证选项即可找到错误项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：CF是△ABC的中线，根据中线定义可知F是AB的中点，因此$AB=2BF=2AF$，该式正确，不符合题意。
选项B：CE是△ABC的角平分线，仅能说明CE平分∠ACB，无法推出E是AB的中点，因此$AE=BE$不一定成立，该式错误，符合题意。
选项C：CE是△ABC的角平分线，根据角平分线定义可知$∠ACE=∠BCE=\frac{1}{2}∠ACB$，该式正确，不符合题意。
选项D：CD是△ABC的高，根据高的定义可知$CD\bot AB$，该式正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高；三角形的角平分线；三角形的中线
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查三角形三条特殊线段的性质，只要准确区分三种线段的定义和对应的性质，就能快速判断得出答案。
【难度系数】
0.85
解题时首先要明确三角形的高、角平分线、中线的定义，再对应每个选项逐一判断正误：①三角形的高是从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段，因此高与对应边垂直；②三角形的角平分线是平分一个内角的线段，会将对应内角分成两个相等的小角；③三角形的中线是连接顶点和对边中点的线段，会将对应对边分成相等的两段。结合三个定义逐一验证选项即可找到错误项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：CF是△ABC的中线，根据中线定义可知F是AB的中点，因此$AB=2BF=2AF$，该式正确，不符合题意。
选项B：CE是△ABC的角平分线，仅能说明CE平分∠ACB，无法推出E是AB的中点，因此$AE=BE$不一定成立，该式错误，符合题意。
选项C：CE是△ABC的角平分线，根据角平分线定义可知$∠ACE=∠BCE=\frac{1}{2}∠ACB$，该式正确，不符合题意。
选项D：CD是△ABC的高，根据高的定义可知$CD\bot AB$，该式正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高；三角形的角平分线；三角形的中线
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查三角形三条特殊线段的性质，只要准确区分三种线段的定义和对应的性质，就能快速判断得出答案。
【难度系数】
0.85
4.如图,已知AD,BE分别是△ABC中BC,AC边上的高,BC=5,AC=4,AD=3,则BE的长是
$\frac{15}{4}$
。答案
4.$\frac{15}{4}$
解析
【分析】
要求BE的长度，观察可知BE是△ABC中AC边上的高，已知BC边上的高AD、BC、AC的长度，我们可以利用等面积法求解：同一个三角形的面积固定，用不同的底和对应高计算得到的面积相等，据此列等式即可求出BE的长。
【解析】
∵AD、BE分别是△ABC中BC、AC边上的高，
∴△ABC的面积可表示为两种形式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BE$
因此可得等式：$\frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × AC × BE$
将BC=5，AC=4，AD=3代入上式：
$\frac{1}{2} × 5 × 3 = \frac{1}{2} × 4 × BE$
两边同时乘2消去分母得：$15=4BE$
解得：$BE=\frac{15}{4}$
【答案】
$\frac{15}{4}$
【知识点】
1.三角形面积公式 2.等面积法求线段长
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查等面积法的应用，解题关键是找到同一个三角形两组对应的底和高，利用面积相等建立等式，该方法是求解三角形高线长度的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要求BE的长度，观察可知BE是△ABC中AC边上的高，已知BC边上的高AD、BC、AC的长度，我们可以利用等面积法求解：同一个三角形的面积固定，用不同的底和对应高计算得到的面积相等，据此列等式即可求出BE的长。
【解析】
∵AD、BE分别是△ABC中BC、AC边上的高，
∴△ABC的面积可表示为两种形式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BE$
因此可得等式：$\frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × AC × BE$
将BC=5，AC=4，AD=3代入上式：
$\frac{1}{2} × 5 × 3 = \frac{1}{2} × 4 × BE$
两边同时乘2消去分母得：$15=4BE$
解得：$BE=\frac{15}{4}$
【答案】
$\frac{15}{4}$
【知识点】
1.三角形面积公式 2.等面积法求线段长
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查等面积法的应用，解题关键是找到同一个三角形两组对应的底和高，利用面积相等建立等式，该方法是求解三角形高线长度的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
5.在$△ ABC$中,已知$AB＞AC$,点$D,E$是$BC$边上的两个点,且$BD＜BE$。有下列四个推断:
①若$AD$是$△ ABC$的高,则$AE$可能是$△ ABC$的中线;
②若$AD$是$△ ABC$的中线,则$AE$可能是$△ ABC$的高;
③若$AD$是$△ ABC$的高,则$AE$不可能是$△ ABC$的角平分线。
上述推断中正确结论的序号是________。
①若$AD$是$△ ABC$的高,则$AE$可能是$△ ABC$的中线;
②若$AD$是$△ ABC$的中线,则$AE$可能是$△ ABC$的高;
③若$AD$是$△ ABC$的高,则$AE$不可能是$△ ABC$的角平分线。
上述推断中正确结论的序号是________。
答案
5.②③
解析
【分析】
解题时首先明确三角形高、中线、角平分线的定义，结合题目给出的AB＞AC的条件，我们可以通过举具体三角形实例的方法，确定BC边上这三类特殊线段的端点的位置顺序，再根据BD＜BE可知点E在点D的右侧，逐一判断三个推断是否成立即可。
【解析】
我们取满足AB＞AC的△ABC实例：设AB=5，AC=4，BC=6，分别计算BC边上三类特殊线段端点到B点的距离：
1. 求高的垂足位置：设BC边上的高的垂足为D₁，BD₁=x，则CD₁=6-x，由勾股定理得：$AB^2 - BD_1^2 = AC^2 - CD_1^2$，代入数值得：$5^2 - x^2 = 4^2 - (6-x)^2$，解得$x=3.75$，即高的垂足距B点3.75；
2. 求中线端点位置：BC中点M（中线端点）满足$BM=\frac{1}{2}BC=3$，即距B点3；
3. 求角平分线端点位置：经计算可得角平分线与BC的交点P距B点约3.33。
因此BC边上从B到C的点的顺序为：B→中线端点M→角平分线端点P→高的垂足D₁→C。
已知BD＜BE，说明点E在点D的右侧：
①若AD是高，则D就是D₁（位置3.75），E在3.75右侧，而中线端点在3（D左侧），故E不可能是中线端点，AE不可能是中线，①错误；
②若AD是中线，则D就是M（位置3），E在3右侧，高的垂足在3.75（D右侧），故E可以与高的垂足重合，即AE可能是高，②正确；
③若AD是高，则D在3.75处，E在3.75右侧，而角平分线端点在≈3.33（D左侧），故E不可能是角平分线端点，AE不可能是角平分线，③正确。
【答案】
②③
【知识点】
三角形的高、中线与角平分线；勾股定理
【点评】
本题考查三角形三类特殊线段的性质与位置关系，解题的关键是结合已知条件明确三条特殊线段在BC边上的先后顺序，结合点D、E的位置关系即可判断，需熟练掌握各类特殊线段的定义和相关性质。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确三角形高、中线、角平分线的定义，结合题目给出的AB＞AC的条件，我们可以通过举具体三角形实例的方法，确定BC边上这三类特殊线段的端点的位置顺序，再根据BD＜BE可知点E在点D的右侧，逐一判断三个推断是否成立即可。
【解析】
我们取满足AB＞AC的△ABC实例：设AB=5，AC=4，BC=6，分别计算BC边上三类特殊线段端点到B点的距离：
1. 求高的垂足位置：设BC边上的高的垂足为D₁，BD₁=x，则CD₁=6-x，由勾股定理得：$AB^2 - BD_1^2 = AC^2 - CD_1^2$，代入数值得：$5^2 - x^2 = 4^2 - (6-x)^2$，解得$x=3.75$，即高的垂足距B点3.75；
2. 求中线端点位置：BC中点M（中线端点）满足$BM=\frac{1}{2}BC=3$，即距B点3；
3. 求角平分线端点位置：经计算可得角平分线与BC的交点P距B点约3.33。
因此BC边上从B到C的点的顺序为：B→中线端点M→角平分线端点P→高的垂足D₁→C。
已知BD＜BE，说明点E在点D的右侧：
①若AD是高，则D就是D₁（位置3.75），E在3.75右侧，而中线端点在3（D左侧），故E不可能是中线端点，AE不可能是中线，①错误；
②若AD是中线，则D就是M（位置3），E在3右侧，高的垂足在3.75（D右侧），故E可以与高的垂足重合，即AE可能是高，②正确；
③若AD是高，则D在3.75处，E在3.75右侧，而角平分线端点在≈3.33（D左侧），故E不可能是角平分线端点，AE不可能是角平分线，③正确。
【答案】
②③
【知识点】
三角形的高、中线与角平分线；勾股定理
【点评】
本题考查三角形三类特殊线段的性质与位置关系，解题的关键是结合已知条件明确三条特殊线段在BC边上的先后顺序，结合点D、E的位置关系即可判断，需熟练掌握各类特殊线段的定义和相关性质。
【难度系数】
0.6
6.如图，已知AD是$△ ABC$的中线，$S_{△ ABC}=2$，则$S_{△ ACD}=$
1
。答案
6.1
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中线的定义：三角形的中线是连接一个顶点和它对边中点的线段，因此AD是△ABC的中线时，D是BC的中点，可得CD=BD。接下来观察△ACD和△ABC的关系：两个三角形以CD、BC为底时，高都是点A到BC的垂线段，高相等。根据三角形面积公式，高相等时，面积比等于底的比，因此△ACD的面积是△ABC面积的一半，代入已知面积计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴D是BC的中点，即$CD=\frac{1}{2}BC$。
△ACD和△ABC以CD、BC为底时，高均为点A到BC的垂线段长度，二者高相等。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，高相等时，面积与底成正比，
因此$S_{△ACD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$。
已知$S_{△ABC}=2$，代入得$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×2=1$。
【答案】
1
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是掌握三角形中线等分三角形面积的性质，解题时抓住两个三角形同高、底为1:2的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形中线的定义：三角形的中线是连接一个顶点和它对边中点的线段，因此AD是△ABC的中线时，D是BC的中点，可得CD=BD。接下来观察△ACD和△ABC的关系：两个三角形以CD、BC为底时，高都是点A到BC的垂线段，高相等。根据三角形面积公式，高相等时，面积比等于底的比，因此△ACD的面积是△ABC面积的一半，代入已知面积计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴D是BC的中点，即$CD=\frac{1}{2}BC$。
△ACD和△ABC以CD、BC为底时，高均为点A到BC的垂线段长度，二者高相等。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，高相等时，面积与底成正比，
因此$S_{△ACD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$。
已知$S_{△ABC}=2$，代入得$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×2=1$。
【答案】
1
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是掌握三角形中线等分三角形面积的性质，解题时抓住两个三角形同高、底为1:2的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
7.如图，在$△ ABC$中，$AD$，$AE$分别是$BC$边上的中线和高，$AE=2\ \mathrm{cm}$，$S_{△ ABD}=8\ \mathrm{cm}^2$，求$BC$的长。
答案
7. 解:因为AE是△ABC的高，
所以AE⊥BC，
所以$S_{△ABD}=\frac{1}{2}BD· AE$。
因为AE=2 cm,$S_{△ABD}=8 cm²$,
所以BD=8 cm。
因为AD是△ABC的中线，
所以BC=2BD=16 cm。
所以AE⊥BC，
所以$S_{△ABD}=\frac{1}{2}BD· AE$。
因为AE=2 cm,$S_{△ABD}=8 cm²$,
所以BD=8 cm。
因为AD是△ABC的中线，
所以BC=2BD=16 cm。
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先已知AE是△ABC的高，同时给出了△ABD的面积和AE的长度，可先利用三角形面积公式求出△ABD的底BD的长度；再根据AD是BC边上的中线的性质，可知中线将BC分为长度相等的两段，即BC=2BD，代入BD的长度即可求出BC的长。
【解析】
解：因为AE是△ABC的高，
所以AE⊥BC，
根据三角形面积公式可得$S_{△ABD}=\frac{1}{2}BD· AE$。
已知AE=2 cm，$S_{△ABD}=8\ \mathrm{cm}^2$，代入公式得：
$8=\frac{1}{2}×BD×2$，解得BD=8 cm。
又因为AD是△ABC的中线，即D为BC的中点，
所以BC=2BD=2×8=16 cm。
【答案】
$\boldsymbol{BC=16\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
三角形的高；三角形的中线；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，结合三角形的高、中线的性质与面积公式进行考查，熟练掌握相关基础概念和公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手，首先已知AE是△ABC的高，同时给出了△ABD的面积和AE的长度，可先利用三角形面积公式求出△ABD的底BD的长度；再根据AD是BC边上的中线的性质，可知中线将BC分为长度相等的两段，即BC=2BD，代入BD的长度即可求出BC的长。
【解析】
解：因为AE是△ABC的高，
所以AE⊥BC，
根据三角形面积公式可得$S_{△ABD}=\frac{1}{2}BD· AE$。
已知AE=2 cm，$S_{△ABD}=8\ \mathrm{cm}^2$，代入公式得：
$8=\frac{1}{2}×BD×2$，解得BD=8 cm。
又因为AD是△ABC的中线，即D为BC的中点，
所以BC=2BD=2×8=16 cm。
【答案】
$\boldsymbol{BC=16\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
三角形的高；三角形的中线；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，结合三角形的高、中线的性质与面积公式进行考查，熟练掌握相关基础概念和公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
