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10. (★)用反证法说明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应先假设 【 】
A.有一个内角小于 $90°$
B.每一个内角都小于 $90°$
C.有一个内角大于等于 $90°$
D.每一个内角都大于等于 $90°$
A.有一个内角小于 $90°$
B.每一个内角都小于 $90°$
C.有一个内角大于等于 $90°$
D.每一个内角都大于等于 $90°$
答案
B
解析
【分析】
解这道题首先要明确反证法的第一步要求：假设原命题的结论不成立，也就是假设结论的反面成立。首先拆解原命题的结论：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”等价于“四边形中至少有一个内角的度数≥90°”。接下来找结论的反面：“至少有一个满足”的反面是“全部都不满足”，也就是所有内角的度数都＜90°，对应到选项就能选出正确答案。
【解析】
根据反证法的步骤，首先需假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立：
1. 原命题结论为：四边形中至少有一个角是钝角或直角，也就是“四边形中至少有一个内角≥90°”；
2. “至少有一个”的否定是“一个都没有”，即所有内角都不满足≥90°，也就是每一个内角都小于90°；
因此应先假设每一个内角都小于90°，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
这道题是反证法的基础考查题，解题的关键是掌握常见命题结论的否定形式，比如“至少有一个”的否定为“全部都不”，熟悉这类表述的否定形式就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要明确反证法的第一步要求：假设原命题的结论不成立，也就是假设结论的反面成立。首先拆解原命题的结论：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”等价于“四边形中至少有一个内角的度数≥90°”。接下来找结论的反面：“至少有一个满足”的反面是“全部都不满足”，也就是所有内角的度数都＜90°，对应到选项就能选出正确答案。
【解析】
根据反证法的步骤，首先需假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立：
1. 原命题结论为：四边形中至少有一个角是钝角或直角，也就是“四边形中至少有一个内角≥90°”；
2. “至少有一个”的否定是“一个都没有”，即所有内角都不满足≥90°，也就是每一个内角都小于90°；
因此应先假设每一个内角都小于90°，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
这道题是反证法的基础考查题，解题的关键是掌握常见命题结论的否定形式，比如“至少有一个”的否定为“全部都不”，熟悉这类表述的否定形式就能快速解题。
【难度系数】
0.8
11.(★)用反证法说明“已知△ABC的三边长为a,b,c(a≤b＜c)，若$a^2 + b^2 ≠ c^2$，则△ABC不是直角三角形”时，应先假设
。
。
答案
解：△ABC是直角三角形，且$a^2 + b^2 = c^2$
解析
【分析】
本题考查反证法的第一步反设，解题思路如下：首先明确反证法的核心步骤第一步是反设，即假设原命题的结论不成立，也就是结论的反面成立；其次定位原命题的结论是“△ABC不是直角三角形”，其反面为“△ABC是直角三角形”；最后结合题中给出的边长关系a≤b＜c，可知c是最长边，若△ABC为直角三角形，斜边必然是最长边c，根据勾股定理此时满足a²+b²=c²，因此完整的假设需要包含这两部分内容。
【解析】
反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立。
1. 首先提取原命题的结论：“△ABC不是直角三角形”，对结论进行否定，得到“△ABC是直角三角形”；
2. 结合已知条件a≤b＜c，可得c是三角形的最长边，若△ABC是直角三角形，则斜边为最长边c，根据勾股定理，此时必有a²+b²=c²。
因此最终的假设内容为两者的结合。
【答案】
△ABC是直角三角形，且$a^2 + b^2 = c^2$
【知识点】
反证法；勾股定理；命题与证明
【点评】
本题是反证法的基础应用题型，解题关键在于准确否定原命题的结论，同时要结合题目给出的边长大小限制条件完善假设，避免因忽略边的关系导致假设不完整。
【难度系数】
0.8
本题考查反证法的第一步反设，解题思路如下：首先明确反证法的核心步骤第一步是反设，即假设原命题的结论不成立，也就是结论的反面成立；其次定位原命题的结论是“△ABC不是直角三角形”，其反面为“△ABC是直角三角形”；最后结合题中给出的边长关系a≤b＜c，可知c是最长边，若△ABC为直角三角形，斜边必然是最长边c，根据勾股定理此时满足a²+b²=c²，因此完整的假设需要包含这两部分内容。
【解析】
反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立。
1. 首先提取原命题的结论：“△ABC不是直角三角形”，对结论进行否定，得到“△ABC是直角三角形”；
2. 结合已知条件a≤b＜c，可得c是三角形的最长边，若△ABC是直角三角形，则斜边为最长边c，根据勾股定理，此时必有a²+b²=c²。
因此最终的假设内容为两者的结合。
【答案】
△ABC是直角三角形，且$a^2 + b^2 = c^2$
【知识点】
反证法；勾股定理；命题与证明
【点评】
本题是反证法的基础应用题型，解题关键在于准确否定原命题的结论，同时要结合题目给出的边长大小限制条件完善假设，避免因忽略边的关系导致假设不完整。
【难度系数】
0.8
12. (★★)用反证法说明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤:①$∠ A+∠ B+∠ C=90°+90°+∠ C＞180°$,这与三角形内角和为$180°$矛盾,所以$∠ A=∠ B=90°$不成立;②所以一个三角形中不能有两个直角;③假设三角形的三个内角$∠ A$,$∠ B$,$∠ C$中有两个直角,不妨设$∠ A=∠ B=90°$.其正确的顺序应为(填序号).
答案
解：反证法的步骤为：首先假设原命题的结论不成立，对应步骤③；接着从假设出发进行推理，得出与三角形内角和定理矛盾的结果，对应步骤①；最后由矛盾判定假设不成立，肯定原命题正确，对应步骤②。
所以正确的顺序应为③①②。
所以正确的顺序应为③①②。
解析
【分析】
解决这道题首先要明确反证法的核心逻辑和标准步骤：反证法分为三步，第一步是反设，即假设原命题的结论不成立；第二步是归谬，从假设出发进行合理推导，得出和已知定理、公理或者题设矛盾的结果；第三步是存真，由推导得出的矛盾判定假设错误，从而肯定原命题的结论正确。接下来把题目给出的三个步骤对应到反证法的三个环节，就能排出正确顺序。
【解析】
首先对应反设环节：先假设原命题“一个三角形中不能有两个直角”不成立，也就是假设三角形的三个内角中有两个直角，不妨设∠A=∠B=90°，对应步骤③；
接下来对应归谬环节：从“∠A=∠B=90°”的假设出发计算内角和，可得∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°的定理矛盾，说明∠A=∠B=90°的假设不成立，对应步骤①；
最后对应存真环节：由矛盾判定假设错误，从而肯定原命题的结论正确，即一个三角形中不能有两个直角，对应步骤②。
因此正确的顺序为③①②。
【答案】
③①②
【知识点】
反证法的步骤；三角形内角和定理
【点评】
本题是对反证法基础应用的考查，只要熟练掌握反证法的三步逻辑流程就能快速解题，也能帮助大家进一步理解反证法的论证逻辑。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确反证法的核心逻辑和标准步骤：反证法分为三步，第一步是反设，即假设原命题的结论不成立；第二步是归谬，从假设出发进行合理推导，得出和已知定理、公理或者题设矛盾的结果；第三步是存真，由推导得出的矛盾判定假设错误，从而肯定原命题的结论正确。接下来把题目给出的三个步骤对应到反证法的三个环节，就能排出正确顺序。
【解析】
首先对应反设环节：先假设原命题“一个三角形中不能有两个直角”不成立，也就是假设三角形的三个内角中有两个直角，不妨设∠A=∠B=90°，对应步骤③；
接下来对应归谬环节：从“∠A=∠B=90°”的假设出发计算内角和，可得∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°的定理矛盾，说明∠A=∠B=90°的假设不成立，对应步骤①；
最后对应存真环节：由矛盾判定假设错误，从而肯定原命题的结论正确，即一个三角形中不能有两个直角，对应步骤②。
因此正确的顺序为③①②。
【答案】
③①②
【知识点】
反证法的步骤；三角形内角和定理
【点评】
本题是对反证法基础应用的考查，只要熟练掌握反证法的三步逻辑流程就能快速解题，也能帮助大家进一步理解反证法的论证逻辑。
【难度系数】
0.8
13. (★★)如图,在△ABC中,点D,E分别在AC,AB上,BD和CE相交于点O.用反证法说明:BD和CE不可能互相平分.
答案
证明：
假设BD和CE互相平分。
∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴四边形EBCD是平行四边形，
∴BE//CD。
但点E在AB上，点D在AC上，AB与AC相交于点A，即BE、CD所在直线相交，这与BE//CD矛盾。
∴假设不成立，即BD和CE不可能互相平分。
假设BD和CE互相平分。
∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴四边形EBCD是平行四边形，
∴BE//CD。
但点E在AB上，点D在AC上，AB与AC相交于点A，即BE、CD所在直线相交，这与BE//CD矛盾。
∴假设不成立，即BD和CE不可能互相平分。
解析
【分析】
本题使用反证法证明，解题思路遵循反证法的三步逻辑：第一步先反设，假设原结论“BD和CE不可能互相平分”不成立，即假设BD和CE互相平分；第二步推导矛盾，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理，可推出四边形EBCD是平行四边形，再由平行四边形对边平行的性质得到BE//CD，结合已知条件BE、CD分别在相交于A的AB、AC边上，可知BE和CD不可能平行，出现矛盾；第三步肯定原结论，矛盾说明假设不成立，原结论正确。
【解析】
证明：假设BD和CE互相平分。
∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴四边形EBCD是平行四边形，
∴$BE// CD$。
但点E在AB上，点D在AC上，AB与AC相交于点A，即BE、CD所在直线相交，这与$BE// CD$矛盾。
∴假设不成立，即BD和CE不可能互相平分。
【答案】
BD和CE不可能互相平分，证明过程如上。
【知识点】
反证法；平行四边形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题是反证法的基础应用题型，解题核心是掌握反证法的基本步骤，结合平行四边形的相关性质推导矛盾，熟练掌握基础定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
本题使用反证法证明，解题思路遵循反证法的三步逻辑：第一步先反设，假设原结论“BD和CE不可能互相平分”不成立，即假设BD和CE互相平分；第二步推导矛盾，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理，可推出四边形EBCD是平行四边形，再由平行四边形对边平行的性质得到BE//CD，结合已知条件BE、CD分别在相交于A的AB、AC边上，可知BE和CD不可能平行，出现矛盾；第三步肯定原结论，矛盾说明假设不成立，原结论正确。
【解析】
证明：假设BD和CE互相平分。
∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴四边形EBCD是平行四边形，
∴$BE// CD$。
但点E在AB上，点D在AC上，AB与AC相交于点A，即BE、CD所在直线相交，这与$BE// CD$矛盾。
∴假设不成立，即BD和CE不可能互相平分。
【答案】
BD和CE不可能互相平分，证明过程如上。
【知识点】
反证法；平行四边形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题是反证法的基础应用题型，解题核心是掌握反证法的基本步骤，结合平行四边形的相关性质推导矛盾，熟练掌握基础定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
14. (★★★)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点D,E,F分别在AB,BC,AC上,且$BE=CF$,$AD+EC=AB$.
(1)求证:$△ DEF$是等腰三角形;
(2)用反证法说明:$△ DEF$不可能是直角三角形.
(1)求证:$△ DEF$是等腰三角形;
(2)用反证法说明:$△ DEF$不可能是直角三角形.
答案
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B=∠ C$。
∵ $AD+EC=AB$，且 $AB=AD+BD$，
∴ $EC=BD$。
在$△ BDE$和$△ CEF$中：
$\begin{cases}BD=CE \\∠ B=∠ C \\BE=CF\end{cases}$
∴ $△ BDE ≌ △ CEF$（SAS），
∴ $DE=EF$，
∴ $△ DEF$是等腰三角形。
---
(2) 证明：
假设$△ DEF$是直角三角形。
由(1)知$DE=EF$，因此$∠ EDF=∠ EFD$，直角只能是$∠ DEF$，即$∠ DEF=90°$。
∵ $△ BDE ≌ △ CEF$，
∴ $∠ BDE=∠ CEF$。
在$△ BDE$中，$∠ BDE + ∠ BED = 180° - ∠ B$，
代入$∠ BDE=∠ CEF$得：$∠ CEF + ∠ BED = 180° - ∠ B$。
又∵ $∠ DEF = 180° - (∠ BED + ∠ CEF)$，
∴ $∠ DEF = 180° - (180° - ∠ B) = ∠ B$。
若$∠ DEF=90°$，则$∠ B=90°$，
又∵ $AB=AC$，∴ $∠ B=∠ C=90°$，此时$∠ B+∠ C=180°$，与三角形内角和为$180°$矛盾。
因此假设不成立，$△ DEF$不可能是直角三角形。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B=∠ C$。
∵ $AD+EC=AB$，且 $AB=AD+BD$，
∴ $EC=BD$。
在$△ BDE$和$△ CEF$中：
$\begin{cases}BD=CE \\∠ B=∠ C \\BE=CF\end{cases}$
∴ $△ BDE ≌ △ CEF$（SAS），
∴ $DE=EF$，
∴ $△ DEF$是等腰三角形。
---
(2) 证明：
假设$△ DEF$是直角三角形。
由(1)知$DE=EF$，因此$∠ EDF=∠ EFD$，直角只能是$∠ DEF$，即$∠ DEF=90°$。
∵ $△ BDE ≌ △ CEF$，
∴ $∠ BDE=∠ CEF$。
在$△ BDE$中，$∠ BDE + ∠ BED = 180° - ∠ B$，
代入$∠ BDE=∠ CEF$得：$∠ CEF + ∠ BED = 180° - ∠ B$。
又∵ $∠ DEF = 180° - (∠ BED + ∠ CEF)$，
∴ $∠ DEF = 180° - (180° - ∠ B) = ∠ B$。
若$∠ DEF=90°$，则$∠ B=90°$，
又∵ $AB=AC$，∴ $∠ B=∠ C=90°$，此时$∠ B+∠ C=180°$，与三角形内角和为$180°$矛盾。
因此假设不成立，$△ DEF$不可能是直角三角形。
解析
【分析】
(1) 要证明△DEF是等腰三角形，核心是证明它有两条边相等，观察图形可尝试证DE=EF，因此需要证明△BDE≌△CEF。首先由AB=AC可得等腰△ABC底角相等，即∠B=∠C；再结合条件AD+EC=AB，且AB=AD+BD，可等量代换推出BD=EC，再结合已知BE=CF，即可用SAS判定两三角形全等，得到DE=EF。
(2) 反证法首先要假设结论不成立，即假设△DEF是直角三角形。由(1)知△DEF是等腰三角形，因此直角只能是顶角∠DEF，再利用全等三角形对应角相等的性质，推导∠DEF与∠B的等量关系，进而推出与三角形内角和定理矛盾的结论，即可证明假设不成立。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B=∠ C$。
∵ $AD+EC=AB$，且 $AB=AD+BD$，
∴ $EC=BD$。
在$△ BDE$和$△ CEF$中：
$\begin{cases}BD=CE \\∠ B=∠ C \\BE=CF\end{cases}$
∴ $△ BDE ≌ △ CEF$（SAS），
∴ $DE=EF$，
∴ $△ DEF$是等腰三角形。
(2) 证明：
假设$△ DEF$是直角三角形。
由(1)知$DE=EF$，因此$∠ EDF=∠ EFD$，直角只能是$∠ DEF$，即$∠ DEF=90°$。
∵ $△ BDE ≌ △ CEF$，
∴ $∠ BDE=∠ CEF$。
在$△ BDE$中，$∠ BDE + ∠ BED = 180° - ∠ B$，
代入$∠ BDE=∠ CEF$得：$∠ CEF + ∠ BED = 180° - ∠ B$。
又
∵ $∠ DEF = 180° - (∠ BED + ∠ CEF)$，
∴ $∠ DEF = 180° - (180° - ∠ B) = ∠ B$。
若$∠ DEF=90°$，则$∠ B=90°$，
又
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B=∠ C=90°$，此时$∠ B+∠ C=180°$，与三角形内角和为$180°$矛盾。
因此假设不成立，$△ DEF$不可能是直角三角形。
【答案】
(1) △DEF是等腰三角形；
(2) △DEF不可能是直角三角形。
【知识点】
等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，反证法
【点评】
本题综合考查三角形相关性质及反证法的应用，第一问的解题突破口是通过线段等量代换得到全等判定的边相等条件，第二问需熟练掌握反证法的步骤，通过合理推导得出矛盾，对逻辑推理能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明△DEF是等腰三角形，核心是证明它有两条边相等，观察图形可尝试证DE=EF，因此需要证明△BDE≌△CEF。首先由AB=AC可得等腰△ABC底角相等，即∠B=∠C；再结合条件AD+EC=AB，且AB=AD+BD，可等量代换推出BD=EC，再结合已知BE=CF，即可用SAS判定两三角形全等，得到DE=EF。
(2) 反证法首先要假设结论不成立，即假设△DEF是直角三角形。由(1)知△DEF是等腰三角形，因此直角只能是顶角∠DEF，再利用全等三角形对应角相等的性质，推导∠DEF与∠B的等量关系，进而推出与三角形内角和定理矛盾的结论，即可证明假设不成立。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B=∠ C$。
∵ $AD+EC=AB$，且 $AB=AD+BD$，
∴ $EC=BD$。
在$△ BDE$和$△ CEF$中：
$\begin{cases}BD=CE \\∠ B=∠ C \\BE=CF\end{cases}$
∴ $△ BDE ≌ △ CEF$（SAS），
∴ $DE=EF$，
∴ $△ DEF$是等腰三角形。
(2) 证明：
假设$△ DEF$是直角三角形。
由(1)知$DE=EF$，因此$∠ EDF=∠ EFD$，直角只能是$∠ DEF$，即$∠ DEF=90°$。
∵ $△ BDE ≌ △ CEF$，
∴ $∠ BDE=∠ CEF$。
在$△ BDE$中，$∠ BDE + ∠ BED = 180° - ∠ B$，
代入$∠ BDE=∠ CEF$得：$∠ CEF + ∠ BED = 180° - ∠ B$。
又
∵ $∠ DEF = 180° - (∠ BED + ∠ CEF)$，
∴ $∠ DEF = 180° - (180° - ∠ B) = ∠ B$。
若$∠ DEF=90°$，则$∠ B=90°$，
又
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B=∠ C=90°$，此时$∠ B+∠ C=180°$，与三角形内角和为$180°$矛盾。
因此假设不成立，$△ DEF$不可能是直角三角形。
【答案】
(1) △DEF是等腰三角形；
(2) △DEF不可能是直角三角形。
【知识点】
等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，反证法
【点评】
本题综合考查三角形相关性质及反证法的应用，第一问的解题突破口是通过线段等量代换得到全等判定的边相等条件，第二问需熟练掌握反证法的步骤，通过合理推导得出矛盾，对逻辑推理能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.6
