1. (★)如图，AB是$\odot O$的直径，CD是弦，$CD ⊥ AB$，垂足为E，则下列结论不一定成立的是 【 】

A.$CE=DE$
B.$OE=BE$
C.$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$
D.$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$

B

【分析】
解题时首先观察题干条件：AB是$\odot O$的直径，且AB垂直于弦CD，此时应优先联想到垂径定理的内容。我们可以逐一验证四个选项：垂径定理明确给出垂直于弦的直径会平分弦，且平分弦所对的两条弧，据此可直接判断A、C、D三个选项的结论是否成立；对于B选项，题干没有给出E点是OB中点的相关条件，仅在特殊情况下OE才等于BE，一般情况不成立，由此即可确定答案。
【解析】
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
已知AB是$\odot O$的直径，$CD⊥ AB$，垂足为E：
1. 可得直径AB平分弦CD，即$CE=DE$，故A选项结论成立；
2. 直径AB平分弦CD所对的两条弧，即$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，故C、D选项结论均成立；
3. 题干未给出E为OB中点的相关条件，仅当CD到圆心O的距离等于半径的$\frac{1}{2}$时才有$OE=BE$，一般情况下该关系不成立，故B选项结论不一定成立。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；圆的基本性质
【点评】
本题是垂径定理的基础应用考题，难度较低，解题时需先明确垂径定理的核心内容，同时注意题干要求选择“不一定成立”的选项，避免因审题粗心错选成立的结论。
【难度系数】
0.85

2. (★)(1)圆是轴对称图形，

都是圆的对称轴。
(2)垂直于弦的直径弦，并且；
(3)平分弦(不是直径)的直径
弦，并且
。

解：
(1) 任何一条直径所在的直线
(2) 平分；平分弦所对的两条弧
(3) 垂直于；平分弦所对的两条弧

【分析】
本题考查圆的基本性质与垂径定理及其推论的基础识记，解题时可逐问对应回忆相关概念：
1. 回忆圆的轴对称性：对称轴为直线，因此需注意区分直径（线段）和直径所在的直线，即可填出第(1)空；
2. 回忆垂径定理的原文内容，可直接填出第(2)问的两个空；
3. 回忆垂径定理的推论内容，注意题干已给出“弦不是直径”的前提，对应写出结论即可填出第(3)问。
【解析】
(1) 圆的对称轴是直线，因此任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴；
(2) 根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；
(3) 根据垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
【答案】
(1) 任何一条直径所在的直线
(2) 平分；平分弦所对的两条弧
(3) 垂直于；平分弦所对的两条弧
【知识点】
圆的轴对称性、垂径定理、垂径定理的推论
【点评】
本题是基础概念考查题，难度较低，需注意的易错点有两处：一是圆的对称轴是直径所在的直线，不能直接表述为“直径”；二是垂径定理的推论中，被平分的弦不能是直径，否则结论不成立，学习时要准确记清定理的前提和内容。
【难度系数】
0.9

3. (★)(2025·内江)如图，AB是$\odot O$的弦，半径$OC ⊥ AB$于点$D$，且$AB=8$，$OC=5$，则$DC$的长是________。

$\boldsymbol{2}$

【分析】
解决本题的核心是结合垂径定理与勾股定理计算：首先观察图形，已知半径OC垂直于弦AB，根据垂径定理可得到AB的一半长度；再连接OA（OA是圆的半径，长度等于OC），可得到直角三角形OAD，利用勾股定理算出OD的长度，最后用OC的长度减去OD的长度就能得到DC的长。
【解析】
解：
∵ OC⊥AB，OC是$\odot O$的半径，$AB=8$
∴ 根据垂径定理，$AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×8 = 4$
∵ OA是$\odot O$的半径，$OC=5$
∴ $OA = OC = 5$
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：
$OD^2 + AD^2 = OA^2$
∴ $OD = \sqrt{OA^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$
∴ $DC = OC - OD = 5 - 3 = 2$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础计算题型，解题关键是利用垂径定理平分弦的性质得到直角三角形的边长，结合勾股定理求解即可，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8

4. (★)(1)如图①中两个同心圆，直线MN与大圆交于M，N两点，与小圆交于P，R两点，则下列说法不正确的是 【 】

A.$MP=RN$
B.$MR=PN$
C.$MP＜RN$
D.$MP+RN$不一定比$PR$小

C

【分析】
解决本题可利用垂径定理分析线段关系：遇到圆中弦的相关问题，通常过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到弦的平分点，再通过线段的和差推导各选项描述是否正确。
【解析】
过同心圆的圆心$O$作$OQ⊥ MN$于点$Q$。
根据垂径定理：
1. 大圆的弦$MN$被$OQ$平分，因此$MQ=NQ$；
2. 小圆的弦$PR$被$OQ$平分，因此$PQ=RQ$。
由此可得$MQ-PQ=NQ-RQ$，即$MP=RN$，故A选项描述正确，C选项描述错误。
又$MR=MP+PR$，$PN=RN+PR$，结合$MP=RN$，可推出$MR=PN$，故B选项描述正确。
对于D选项：$MP+RN=2MP$，当小圆半径较小时，弦$PR$的长度很小，此时$2MP＞PR$，因此$MP+RN$不一定比$PR$小，描述正确。
本题要求选择不正确的选项，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 垂径定理
2. 线段和差计算
【点评】
本题是垂径定理的基础应用题型，核心解题方法是过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到相等线段，再推导线段之间的数量关系即可。
【难度系数】
0.7

(2)如图②，$\odot O$的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若$∠ COD=120°$，$OE=3$ cm，则$CD=$ cm.

$\boldsymbol{6\sqrt{3}}$

【分析】
解题时首先观察题干条件：直径AB垂直弦CD，可优先联想到垂径定理，得到CE=DE，同时因为OC、OD都是圆的半径，△COD是等腰三角形，结合三线合一可知OE平分∠COD；接下来可求出∠COE的度数，在直角三角形OCE中利用特殊直角三角形的性质或勾股定理求出CE的长度，最后乘2即可得到CD的长。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD，
∴由垂径定理得：$CE=DE=\frac{1}{2}CD$，
∵OC=OD（均为⊙O的半径），
∴△COD是等腰三角形，OE平分∠COD（等腰三角形三线合一），
∴$∠ COE=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×120°=60°$，
在$Rt△ OCE$中，$∠ OEC=90°$，$∠ COE=60°$，
∴$∠ OCE=30°$，
∴斜边$OC=2OE=2×3=6\ \mathrm{cm}$（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半），
由勾股定理得：$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∴$CD=2CE=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{6\sqrt{3}}$
【知识点】
垂径定理；等腰三角形性质；勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的典型基础题，解题关键是通过垂径定理将圆的问题转化为直角三角形的计算问题，熟练掌握特殊角度直角三角形的性质可简化计算过程。
【难度系数】
0.7

5. (★)(2025·长沙)如图，AB为$\odot O$的弦，$OC ⊥ AB$于点C，连接OA，OB，若$AB=OA$，$AC=3$，则OA的长为。

$\boldsymbol{6}$

【分析】
本题可结合垂径定理和已知等量关系求解：首先看到OC垂直于弦AB且过圆心O，根据垂径定理可知OC平分弦AB，由此可先算出AB的长度；再根据题目给出的AB=OA的条件，即可直接求出OA的长度。
【解析】
∵ OC⊥AB，且OC过圆心O，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，
∴ AC=BC=3，
∴ AB=AC+BC=3+3=6，
又
∵ 题目已知AB=OA，
∴ OA=AB=6。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
垂径定理、等量代换
【点评】
本题属于圆的基础应用类题目，核心考查垂径定理的直接运用，只需要找准垂直于弦的过圆心的线段，结合已知条件就能快速求解，解题门槛较低。
【难度系数】
0.9