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6. (★)如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是$\overset{\frown}{AC}$的中点，OE交弦AC于点D。若AC=8，DE=2，则OD的长为
【 】
A.6
B.5
C.4
D.3
【 】
A.6
B.5
C.4
D.3
答案
D
解析
【分析】
首先，根据E是弧AC的中点，结合垂径定理的推论可知OE垂直平分AC，由此可求出AD的长度；其次，设OD的长为x，利用圆的半径相等，可得OA=OE=OD+DE，用含x的式子表示出半径OA的长度；最后，在Rt△OAD中利用勾股定理列方程，求解即可得到OD的长。
【解析】
∵E是$\overset{\frown}{AC}$的中点，O为圆心，
∴根据垂径定理的推论可得：$OE⊥ AC$，$AD=\frac{1}{2}AC$。
已知$AC=8$，
∴$AD=\frac{1}{2}×8=4$。
设$OD=x$，
∵$DE=2$，
∴圆的半径$OE=OD+DE=x+2$，则$OA=OE=x+2$。
在$Rt△ OAD$中，由勾股定理得：$OA^2=OD^2+AD^2$，
代入得：$(x+2)^2=x^2+4^2$，
展开整理：$x^2+4x+4=x^2+16$，
化简得：$4x=12$，解得$x=3$，即$OD=3$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题的关键是熟练掌握垂径定理的推论，构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解，这类题型是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
首先，根据E是弧AC的中点，结合垂径定理的推论可知OE垂直平分AC，由此可求出AD的长度；其次，设OD的长为x，利用圆的半径相等，可得OA=OE=OD+DE，用含x的式子表示出半径OA的长度；最后，在Rt△OAD中利用勾股定理列方程，求解即可得到OD的长。
【解析】
∵E是$\overset{\frown}{AC}$的中点，O为圆心，
∴根据垂径定理的推论可得：$OE⊥ AC$，$AD=\frac{1}{2}AC$。
已知$AC=8$，
∴$AD=\frac{1}{2}×8=4$。
设$OD=x$，
∵$DE=2$，
∴圆的半径$OE=OD+DE=x+2$，则$OA=OE=x+2$。
在$Rt△ OAD$中，由勾股定理得：$OA^2=OD^2+AD^2$，
代入得：$(x+2)^2=x^2+4^2$，
展开整理：$x^2+4x+4=x^2+16$，
化简得：$4x=12$，解得$x=3$，即$OD=3$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题的关键是熟练掌握垂径定理的推论，构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解，这类题型是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
7. (★★)图②是从正面看到的一个瓷碗(图①)的形状示意图.$\overset{\frown}{AB}$是$\odot O$的一部分，D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB.已知AB=24 cm，碗深CD=8 cm，则$\odot O$的半径OA长为【 】
A.13 cm
B.16 cm
C.17 cm
D.26 cm
A.13 cm
B.16 cm
C.17 cm
D.26 cm
答案
A
解析
【分析】
本题可通过垂径定理结合勾股定理求解。首先根据弧中点和过圆心线段的性质，利用垂径定理得到直角三角形，再设出圆的半径，用半径表示直角三角形的各边长，最后根据勾股定理列方程计算半径长度即可。
【解析】
∵D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，OD为$\odot O$的半径，
∴根据垂径定理可得：$OD⊥ AB$，$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{cm}$。
设$\odot O$的半径OA长为$r\ \mathrm{cm}$，则$OD=OA=r\ \mathrm{cm}$，
∵碗深$CD=8\ \mathrm{cm}$，
∴$OC=OD-CD=(r-8)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：$OA^2=AC^2+OC^2$，
代入数值可得：$r^2=12^2+(r-8)^2$，
展开得：$r^2=144+r^2-16r+64$，
移项化简得：$16r=208$，
解得：$r=13$。
【答案】
A
【知识点】
1. 垂径定理
2. 勾股定理
【点评】
本题是圆中求半径的常见题型，解题的关键是利用垂径定理构造出直角三角形，再结合勾股定理列方程求解，掌握垂径定理的内容是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.7
本题可通过垂径定理结合勾股定理求解。首先根据弧中点和过圆心线段的性质，利用垂径定理得到直角三角形，再设出圆的半径，用半径表示直角三角形的各边长，最后根据勾股定理列方程计算半径长度即可。
【解析】
∵D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，OD为$\odot O$的半径，
∴根据垂径定理可得：$OD⊥ AB$，$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{cm}$。
设$\odot O$的半径OA长为$r\ \mathrm{cm}$，则$OD=OA=r\ \mathrm{cm}$，
∵碗深$CD=8\ \mathrm{cm}$，
∴$OC=OD-CD=(r-8)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：$OA^2=AC^2+OC^2$，
代入数值可得：$r^2=12^2+(r-8)^2$，
展开得：$r^2=144+r^2-16r+64$，
移项化简得：$16r=208$，
解得：$r=13$。
【答案】
A
【知识点】
1. 垂径定理
2. 勾股定理
【点评】
本题是圆中求半径的常见题型，解题的关键是利用垂径定理构造出直角三角形，再结合勾股定理列方程求解，掌握垂径定理的内容是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.7
8. (★★)如图,半径为5的⊙A与y轴交于点B(0,2),C(0,10),则点A的横坐标为【 】
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
A
解析
【分析】
要求圆心A的横坐标，可利用圆中弦的性质求解：首先过圆心A作y轴（弦BC所在直线）的垂线，根据垂径定理可得垂足是BC的中点，先求出BC的长度，得到半弦长，再结合圆的半径，在构造的直角三角形中用勾股定理算出圆心到y轴的水平距离，该距离就是点A的横坐标。
【解析】
过点A作AD⊥y轴于点D，连接AB。
由垂径定理可知：AD垂直平分弦BC，即D为BC中点。
已知B(0,2)，C(0,10)，则BC的长度为10-2=8，因此BD=½BC=4。
⊙A的半径AB=5，在Rt△ABD中，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$。
AD是点A到y轴的水平距离，且点A在y轴右侧，故点A的横坐标为3。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，坐标与图形性质
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的基础考题，核心考查垂径定理的应用，解题关键是通过作弦的垂线构造直角三角形，结合勾股定理计算线段长度，进而得到点的坐标，解题思路比较固定，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
要求圆心A的横坐标，可利用圆中弦的性质求解：首先过圆心A作y轴（弦BC所在直线）的垂线，根据垂径定理可得垂足是BC的中点，先求出BC的长度，得到半弦长，再结合圆的半径，在构造的直角三角形中用勾股定理算出圆心到y轴的水平距离，该距离就是点A的横坐标。
【解析】
过点A作AD⊥y轴于点D，连接AB。
由垂径定理可知：AD垂直平分弦BC，即D为BC中点。
已知B(0,2)，C(0,10)，则BC的长度为10-2=8，因此BD=½BC=4。
⊙A的半径AB=5，在Rt△ABD中，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$。
AD是点A到y轴的水平距离，且点A在y轴右侧，故点A的横坐标为3。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，坐标与图形性质
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的基础考题，核心考查垂径定理的应用，解题关键是通过作弦的垂线构造直角三角形，结合勾股定理计算线段长度，进而得到点的坐标，解题思路比较固定，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
9. (★★)如图，AB是$\odot O$的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，$∠ APC=30°$，则CD的长为
【 】
A.$\sqrt{15}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{15}$
D.8
【 】
A.$\sqrt{15}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{15}$
D.8
答案
C
解析
【分析】
要计算弦CD的长度，圆中求弦长优先使用垂径定理：过圆心作CD的垂线，可将CD平分为相等的两段，只需求出半段长度再乘2即可。首先根据已知的AP、BP长度算出圆的半径和线段OP的长度，再结合∠APC=30°的条件，利用含30°角直角三角形的性质求出圆心到CD的距离，最后用勾股定理算出半弦长，即可得到CD的总长度。
【解析】
解：过点O作OE⊥CD于点E，连接OC。
根据垂径定理可得：$CE=DE$，即$CD=2CE$。
∵$AP=2$，$BP=6$，
∴$AB=AP+BP=8$，
∴$\odot O$的半径$OC=OA=AB÷2=4$，
∴$OP=OA-AP=4-2=2$。
∵$∠ APC=30°$，
∴$∠ OPE=∠ APC=30°$，
在$Rt△ OPE$中，$∠ OEP=90°$，$∠ OPE=30°$，
∴$OE=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×2=1$。
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$，
∴$CD=2CE=2\sqrt{15}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，含30°角直角三角形的性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的常规题型，解题核心是掌握“过圆心作弦的垂线”这一常用辅助线作法，结合直角三角形的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.6
要计算弦CD的长度，圆中求弦长优先使用垂径定理：过圆心作CD的垂线，可将CD平分为相等的两段，只需求出半段长度再乘2即可。首先根据已知的AP、BP长度算出圆的半径和线段OP的长度，再结合∠APC=30°的条件，利用含30°角直角三角形的性质求出圆心到CD的距离，最后用勾股定理算出半弦长，即可得到CD的总长度。
【解析】
解：过点O作OE⊥CD于点E，连接OC。
根据垂径定理可得：$CE=DE$，即$CD=2CE$。
∵$AP=2$，$BP=6$，
∴$AB=AP+BP=8$，
∴$\odot O$的半径$OC=OA=AB÷2=4$，
∴$OP=OA-AP=4-2=2$。
∵$∠ APC=30°$，
∴$∠ OPE=∠ APC=30°$，
在$Rt△ OPE$中，$∠ OEP=90°$，$∠ OPE=30°$，
∴$OE=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×2=1$。
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$，
∴$CD=2CE=2\sqrt{15}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，含30°角直角三角形的性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的常规题型，解题核心是掌握“过圆心作弦的垂线”这一常用辅助线作法，结合直角三角形的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.6
10. (★★)如图，$\odot O$的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，$AE=2$，$CD=8$.
(1)求$\odot O$的半径长；
(2)连接BC，作$OF ⊥ BC$于点F，求OF的长.
(1)求$\odot O$的半径长；
(2)连接BC，作$OF ⊥ BC$于点F，求OF的长.
答案
解：(1) 连接OC，设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=OA=r$。
∵ 直径$AB ⊥$弦$CD$，$CD=8$，
∴ 由垂径定理得 $CE = \frac{1}{2}CD = 4$。
∵ $AE=2$，
∴ $OE = OA - AE = r - 2$。
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，由勾股定理得：
$OC^2 = OE^2 + CE^2$，
即 $r^2 = (r-2)^2 + 4^2$，
展开化简得 $4r=20$，
解得 $r=5$。
即$\odot O$的半径长为5。
(2) 由(1)得$\odot O$半径为5，
∴ $OE = 5 - 2 = 3$，$OB=5$，
∴ $BE = OE + OB = 3 + 5 = 8$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$∠ CEB=90°$，$CE=4$，$BE=8$，
∴ $BC = \sqrt{CE^2 + BE^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = 4\sqrt{5}$。
∵ $OF ⊥ BC$，$OF$过圆心$O$，
∴ 由垂径定理得 $BF = \frac{1}{2}BC = 2\sqrt{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ OBF$中，由勾股定理得：
$OF = \sqrt{OB^2 - BF^2} = \sqrt{5^2 - (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{5}$。
∴ $OF$的长为$\sqrt{5}$。
∵ 直径$AB ⊥$弦$CD$，$CD=8$，
∴ 由垂径定理得 $CE = \frac{1}{2}CD = 4$。
∵ $AE=2$，
∴ $OE = OA - AE = r - 2$。
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，由勾股定理得：
$OC^2 = OE^2 + CE^2$，
即 $r^2 = (r-2)^2 + 4^2$，
展开化简得 $4r=20$，
解得 $r=5$。
即$\odot O$的半径长为5。
(2) 由(1)得$\odot O$半径为5，
∴ $OE = 5 - 2 = 3$，$OB=5$，
∴ $BE = OE + OB = 3 + 5 = 8$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$∠ CEB=90°$，$CE=4$，$BE=8$，
∴ $BC = \sqrt{CE^2 + BE^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = 4\sqrt{5}$。
∵ $OF ⊥ BC$，$OF$过圆心$O$，
∴ 由垂径定理得 $BF = \frac{1}{2}BC = 2\sqrt{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ OBF$中，由勾股定理得：
$OF = \sqrt{OB^2 - BF^2} = \sqrt{5^2 - (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{5}$。
∴ $OF$的长为$\sqrt{5}$。
解析
【分析】
(1)求圆的半径时，首先由直径AB垂直弦CD，根据垂径定理可得到CE的长度；接着连接半径OC，设$\odot O$半径为$r$，将OC、OE用含$r$的式子表示，放在$\mathrm{Rt}△ OCE$中利用勾股定理列方程，即可求解半径。
(2)求OF的长度时，先根据第一问求出的半径算出BE的长度，在$\mathrm{Rt}△ BCE$中用勾股定理求出BC的长；再由$OF⊥ BC$结合垂径定理得到BF的长度，最后在$\mathrm{Rt}△ OBF$中用勾股定理即可求出OF的长。
【解析】
(1) 连接OC，设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=OA=r$。
∵ 直径$AB ⊥$弦$CD$，$CD=8$，
∴ 由垂径定理得 $CE = \frac{1}{2}CD = 4$。
∵ $AE=2$，
∴ $OE = OA - AE = r - 2$。
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，由勾股定理得：
$OC^2 = OE^2 + CE^2$，
即 $r^2 = (r-2)^2 + 4^2$，
展开化简得 $4r=20$，
解得 $r=5$。
即$\odot O$的半径长为5。
(2) 由(1)得$\odot O$半径为5，
∴ $OE = 5 - 2 = 3$，$OB=5$，
∴ $BE = OE + OB = 3 + 5 = 8$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$∠ CEB=90°$，$CE=4$，$BE=8$，
∴ $BC = \sqrt{CE^2 + BE^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = 4\sqrt{5}$。
∵ $OF ⊥ BC$，$OF$过圆心$O$，
∴ 由垂径定理得 $BF = \frac{1}{2}BC = 2\sqrt{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ OBF$中，由勾股定理得：
$OF = \sqrt{OB^2 - BF^2} = \sqrt{5^2 - (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{5}$。
∴ $OF$的长为$\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\odot O$的半径长为$\boxed{5}$；
(2) $OF$的长为$\boxed{\sqrt{5}}$。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的相关计算
【点评】
本题属于圆的基础综合题，重点考查垂径定理与勾股定理的结合运用，解题的关键是通过连接半径、利用垂径定理构造直角三角形，结合方程思想求解未知量，是圆章节的高频考点题型，需要熟练掌握相关定理的应用场景。
【难度系数】
0.7
(1)求圆的半径时，首先由直径AB垂直弦CD，根据垂径定理可得到CE的长度；接着连接半径OC，设$\odot O$半径为$r$，将OC、OE用含$r$的式子表示，放在$\mathrm{Rt}△ OCE$中利用勾股定理列方程，即可求解半径。
(2)求OF的长度时，先根据第一问求出的半径算出BE的长度，在$\mathrm{Rt}△ BCE$中用勾股定理求出BC的长；再由$OF⊥ BC$结合垂径定理得到BF的长度，最后在$\mathrm{Rt}△ OBF$中用勾股定理即可求出OF的长。
【解析】
(1) 连接OC，设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=OA=r$。
∵ 直径$AB ⊥$弦$CD$，$CD=8$，
∴ 由垂径定理得 $CE = \frac{1}{2}CD = 4$。
∵ $AE=2$，
∴ $OE = OA - AE = r - 2$。
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，由勾股定理得：
$OC^2 = OE^2 + CE^2$，
即 $r^2 = (r-2)^2 + 4^2$，
展开化简得 $4r=20$，
解得 $r=5$。
即$\odot O$的半径长为5。
(2) 由(1)得$\odot O$半径为5，
∴ $OE = 5 - 2 = 3$，$OB=5$，
∴ $BE = OE + OB = 3 + 5 = 8$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$∠ CEB=90°$，$CE=4$，$BE=8$，
∴ $BC = \sqrt{CE^2 + BE^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = 4\sqrt{5}$。
∵ $OF ⊥ BC$，$OF$过圆心$O$，
∴ 由垂径定理得 $BF = \frac{1}{2}BC = 2\sqrt{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ OBF$中，由勾股定理得：
$OF = \sqrt{OB^2 - BF^2} = \sqrt{5^2 - (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{5}$。
∴ $OF$的长为$\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\odot O$的半径长为$\boxed{5}$；
(2) $OF$的长为$\boxed{\sqrt{5}}$。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的相关计算
【点评】
本题属于圆的基础综合题，重点考查垂径定理与勾股定理的结合运用，解题的关键是通过连接半径、利用垂径定理构造直角三角形，结合方程思想求解未知量，是圆章节的高频考点题型，需要熟练掌握相关定理的应用场景。
【难度系数】
0.7
