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例1 分解因式$a^2b - b^3$结果正确的是（）
A.$b(a^2 - b^2)$
B.$b(a - b)^2$
C.$(ab + b)(a - b)$
D.$b(a + b)(a - b)$
[点拨] 直接提取公因式$b$，进而利用平方差公式分解因式得出答案。
[解] $a^2b - b^3 = b(a^2 - b^2) = b(a + b)(a - b)$，故选D。
A.$b(a^2 - b^2)$
B.$b(a - b)^2$
C.$(ab + b)(a - b)$
D.$b(a + b)(a - b)$
[点拨] 直接提取公因式$b$，进而利用平方差公式分解因式得出答案。
[解] $a^2b - b^3 = b(a^2 - b^2) = b(a + b)(a - b)$，故选D。
答案
D
解析
【分析】
解决这类因式分解题，首先回忆因式分解的常规解题步骤：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题中两项$a^2b$和$-b^3$都含有公因式$b$，所以先提取公因式$b$，得到$b(a^2 - b^2)$；接下来观察括号内的式子$a^2 - b^2$，符合平方差公式的结构特征，因此可以用平方差公式继续分解；最后检查分解后的各个因式是否还能再分解，确认分解彻底后对应选项判断即可。
【解析】
对多项式$a^2b - b^3$因式分解步骤如下：
1. 提取公因式$b$：
$a^2b - b^3 = b(a^2 - b^2)$
2. 利用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$分解$a^2 - b^2$：
$b(a^2 - b^2)=b(a+b)(a-b)$
对比选项，D为正确结果。
【答案】
D
【知识点】
提取公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题遵循“一提、二套、三查”的原则即可，要注意因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止，避免出现只提取公因式就停止的错误。
【难度系数】
0.8
解决这类因式分解题，首先回忆因式分解的常规解题步骤：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题中两项$a^2b$和$-b^3$都含有公因式$b$，所以先提取公因式$b$，得到$b(a^2 - b^2)$；接下来观察括号内的式子$a^2 - b^2$，符合平方差公式的结构特征，因此可以用平方差公式继续分解；最后检查分解后的各个因式是否还能再分解，确认分解彻底后对应选项判断即可。
【解析】
对多项式$a^2b - b^3$因式分解步骤如下：
1. 提取公因式$b$：
$a^2b - b^3 = b(a^2 - b^2)$
2. 利用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$分解$a^2 - b^2$：
$b(a^2 - b^2)=b(a+b)(a-b)$
对比选项，D为正确结果。
【答案】
D
【知识点】
提取公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题遵循“一提、二套、三查”的原则即可，要注意因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止，避免出现只提取公因式就停止的错误。
【难度系数】
0.8
|变式训练1| 把代数式 $3x^3 - 6x^2y + 3xy^2$ 因式分解，结果正确的是 （
A.$x(3x + y)(x - 3y)$
B.$3x(x^2 - 2xy + y^2)$
C.$x(3x - y)$
D.$3x(x - y)^2$
D
）A.$x(3x + y)(x - 3y)$
B.$3x(x^2 - 2xy + y^2)$
C.$x(3x - y)$
D.$3x(x - y)^2$
答案
D
解析
【分析】
因式分解的常规解题步骤为“一提二套三查”：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；第二步提取公因式后观察剩余多项式的项数，若为三项优先考虑完全平方公式，若为两项优先考虑平方差公式；第三步检查是否分解彻底，直到每一个因式都不能再分解为止。本题先找公因式，再套用完全平方公式，最后验证分解是否彻底即可得到正确结果。
【解析】
对代数式$3x^3 - 6x^2y + 3xy^2$进行因式分解：
1. 提取公因式：观察多项式各项均含有公因式$3x$，提取后得：
$3x^3 - 6x^2y + 3xy^2 = 3x(x^2 - 2xy + y^2)$
2. 套用公式：观察括号内的三项式$x^2 - 2xy + y^2$，符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=y$，因此可进一步分解为：
$3x(x^2 - 2xy + y^2)=3x(x-y)^2$
3. 验证：此时两个因式$3x$和$(x-y)^2$均无法再分解，分解完成。
对比选项：A展开后与原式不符，B未分解彻底，C次数与原式不符，均错误；D与分解结果一致，正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要严格遵循“先提公因式、再套公式、最后检查是否分解彻底”的步骤，避免出现分解不彻底的常见错误，同时可通过整式乘法验证分解结果是否正确。
【难度系数】
0.75
因式分解的常规解题步骤为“一提二套三查”：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；第二步提取公因式后观察剩余多项式的项数，若为三项优先考虑完全平方公式，若为两项优先考虑平方差公式；第三步检查是否分解彻底，直到每一个因式都不能再分解为止。本题先找公因式，再套用完全平方公式，最后验证分解是否彻底即可得到正确结果。
【解析】
对代数式$3x^3 - 6x^2y + 3xy^2$进行因式分解：
1. 提取公因式：观察多项式各项均含有公因式$3x$，提取后得：
$3x^3 - 6x^2y + 3xy^2 = 3x(x^2 - 2xy + y^2)$
2. 套用公式：观察括号内的三项式$x^2 - 2xy + y^2$，符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=y$，因此可进一步分解为：
$3x(x^2 - 2xy + y^2)=3x(x-y)^2$
3. 验证：此时两个因式$3x$和$(x-y)^2$均无法再分解，分解完成。
对比选项：A展开后与原式不符，B未分解彻底，C次数与原式不符，均错误；D与分解结果一致，正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要严格遵循“先提公因式、再套公式、最后检查是否分解彻底”的步骤，避免出现分解不彻底的常见错误，同时可通过整式乘法验证分解结果是否正确。
【难度系数】
0.75
例2 下列因式分解不正确的是
（）
A.$-x^2 -2x -1 = -(x+1)^2$
B.$2x^2 -4xy -2y^2 = 2(x-y)^2$
C.$4x^2 -16y^2 =4(x+2y)(x-2y)$
D.$x^2 +4x =x(x+4)$
[点拨] 根据平方差公式、完全平方公式以及因式分解的计算即可求出正确答案。
（）
A.$-x^2 -2x -1 = -(x+1)^2$
B.$2x^2 -4xy -2y^2 = 2(x-y)^2$
C.$4x^2 -16y^2 =4(x+2y)(x-2y)$
D.$x^2 +4x =x(x+4)$
[点拨] 根据平方差公式、完全平方公式以及因式分解的计算即可求出正确答案。
答案
B
解析
【分析】
本题要求选出因式分解不正确的选项，解题思路为逐一验证每个选项的变形是否满足因式分解的要求：①最终结果为几个整式的乘积形式；②变形前后多项式恒等。验证时既可以对左侧多项式按“先提公因式，再套用公式”的步骤做因式分解，再和右侧结果对比；也可以将右侧的乘积展开，判断是否和左侧多项式相等。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 对左侧$-x^2-2x-1$因式分解：先提取公因式$-1$，得$-(x^2+2x+1)$，再套用完全平方公式，$x^2+2x+1=(x+1)^2$，即左侧$=-(x+1)^2$，和右侧相等，A选项因式分解正确。
B. 先将右侧$2(x-y)^2$展开：$2(x-y)^2=2(x^2-2xy+y^2)=2x^2-4xy+2y^2$，和左侧$2x^2-4xy-2y^2$的$y^2$项符号不同，左右不相等，B选项因式分解错误。
C. 对左侧$4x^2-16y^2$因式分解：先提取公因式4，得$4(x^2-4y^2)$，再套用平方差公式，$x^2-4y^2=(x+2y)(x-2y)$，即左侧$=4(x+2y)(x-2y)$，和右侧相等，C选项因式分解正确。
D. 对左侧$x^2+4x$因式分解：提取公因式$x$，得$x(x+4)$，和右侧相等，D选项因式分解正确。
综上，因式分解不正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法，公式法因式分解，因式分解的验证
【点评】
本题重点考查因式分解的基本方法，需要熟练掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征，因式分解后可通过展开结果的方式验证变形是否正确，避免符号混淆、公式套用错误等问题。
【难度系数】
0.8
本题要求选出因式分解不正确的选项，解题思路为逐一验证每个选项的变形是否满足因式分解的要求：①最终结果为几个整式的乘积形式；②变形前后多项式恒等。验证时既可以对左侧多项式按“先提公因式，再套用公式”的步骤做因式分解，再和右侧结果对比；也可以将右侧的乘积展开，判断是否和左侧多项式相等。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 对左侧$-x^2-2x-1$因式分解：先提取公因式$-1$，得$-(x^2+2x+1)$，再套用完全平方公式，$x^2+2x+1=(x+1)^2$，即左侧$=-(x+1)^2$，和右侧相等，A选项因式分解正确。
B. 先将右侧$2(x-y)^2$展开：$2(x-y)^2=2(x^2-2xy+y^2)=2x^2-4xy+2y^2$，和左侧$2x^2-4xy-2y^2$的$y^2$项符号不同，左右不相等，B选项因式分解错误。
C. 对左侧$4x^2-16y^2$因式分解：先提取公因式4，得$4(x^2-4y^2)$，再套用平方差公式，$x^2-4y^2=(x+2y)(x-2y)$，即左侧$=4(x+2y)(x-2y)$，和右侧相等，C选项因式分解正确。
D. 对左侧$x^2+4x$因式分解：提取公因式$x$，得$x(x+4)$，和右侧相等，D选项因式分解正确。
综上，因式分解不正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法，公式法因式分解，因式分解的验证
【点评】
本题重点考查因式分解的基本方法，需要熟练掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征，因式分解后可通过展开结果的方式验证变形是否正确，避免符号混淆、公式套用错误等问题。
【难度系数】
0.8
变式训练2 下列因式分解正确的是
（
A.$a^2b - ab^2 = a(a + b)(a - b)$
B.$a^2 - 2b^2 = (a + 2b)(a - 2b)$
C.$a^3 - 2ab + ab^2 = a(a - b)^2$
D.$a^2b^2 - 4a^2b + 4a^2 = a^2(b - 2)^2$
（
D
）A.$a^2b - ab^2 = a(a + b)(a - b)$
B.$a^2 - 2b^2 = (a + 2b)(a - 2b)$
C.$a^3 - 2ab + ab^2 = a(a - b)^2$
D.$a^2b^2 - 4a^2b + 4a^2 = a^2(b - 2)^2$
答案
D
解析
【分析】
要判断因式分解是否正确，可按照“先看是否提取公因式，再看公式套用是否正确，最后逆推展开验证是否等于原式”的思路，逐个分析选项即可。
【解析】
我们逐个验证选项：
选项A：对左边$a^2b - ab^2$提取公因式$ab$，得$ab(a - b)$，与选项给出的$a(a + b)(a - b)$不相等，故A错误。
选项B：将右边$(a + 2b)(a - 2b)$展开，得$a^2 - 4b^2$，与左边$a^2 - 2b^2$不相等，故B错误。
选项C：对左边$a^3 - 2ab + ab^2$提取公因式$a$，得$a(a^2 - 2b + b^2)$，括号内的式子不符合完全平方公式的结构，无法分解为$(a - b)^2$，故C错误。
选项D：对左边$a^2b^2 - 4a^2b + 4a^2$先提取公因式$a^2$，得$a^2(b^2 - 4b + 4)$，再对括号内用完全平方公式分解，得$a^2(b - 2)^2$，与选项结果一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解；公式法因式分解；因式分解的检验
【点评】
本题属于因式分解的常规基础题，解题时要遵循“先提公因式，再用公式”的顺序，牢记平方差公式、完全平方公式的结构特征，分解后可通过展开还原的方法验证结果是否正确，减少公式套用错误的情况。
【难度系数】
0.7
要判断因式分解是否正确，可按照“先看是否提取公因式，再看公式套用是否正确，最后逆推展开验证是否等于原式”的思路，逐个分析选项即可。
【解析】
我们逐个验证选项：
选项A：对左边$a^2b - ab^2$提取公因式$ab$，得$ab(a - b)$，与选项给出的$a(a + b)(a - b)$不相等，故A错误。
选项B：将右边$(a + 2b)(a - 2b)$展开，得$a^2 - 4b^2$，与左边$a^2 - 2b^2$不相等，故B错误。
选项C：对左边$a^3 - 2ab + ab^2$提取公因式$a$，得$a(a^2 - 2b + b^2)$，括号内的式子不符合完全平方公式的结构，无法分解为$(a - b)^2$，故C错误。
选项D：对左边$a^2b^2 - 4a^2b + 4a^2$先提取公因式$a^2$，得$a^2(b^2 - 4b + 4)$，再对括号内用完全平方公式分解，得$a^2(b - 2)^2$，与选项结果一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解；公式法因式分解；因式分解的检验
【点评】
本题属于因式分解的常规基础题，解题时要遵循“先提公因式，再用公式”的顺序，牢记平方差公式、完全平方公式的结构特征，分解后可通过展开还原的方法验证结果是否正确，减少公式套用错误的情况。
【难度系数】
0.7
1. 将$a^4 - 2a^2 + 1$分解因式，所得结果正确的是（
A.$a^2(a^2 - 2)+1$
B.$(a^2 - 2)(a^2 + 1)$
C.$(a^2 - 1)^2$
D.$(a - 1)^2(a + 1)^2$
D
）A.$a^2(a^2 - 2)+1$
B.$(a^2 - 2)(a^2 + 1)$
C.$(a^2 - 1)^2$
D.$(a - 1)^2(a + 1)^2$
答案
D
解析
【分析】
解决这道题首先要明确因式分解的要求：最终结果必须是几个整式乘积的形式，且每个因式都不能再分解。首先观察原式的结构，是三项式，首项$a^4$可看作$(a^2)^2$，末项1可看作$1^2$，中间项是$-2a^2$，刚好符合完全平方差公式的特征，先用完全平方公式初步分解，再检查得到的因式是否还能继续分解，结合平方差公式进一步分解，最后对应选项判断即可。
【解析】
对原式$a^4 - 2a^2 + 1$进行因式分解：
1. 利用完全平方差公式分解
将$a^4$看作$(a^2)^2$，$1$看作$1^2$，原式可变形为：
$(a^2)^2 - 2· a^2· 1 + 1^2$
根据完全平方差公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，代入$m=a^2$，$n=1$，可得：
原式$=(a^2 - 1)^2$
2. 利用平方差公式继续分解
$a^2 - 1$符合平方差公式$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$的特征，代入$m=a$，$n=1$，得$a^2 -1=(a-1)(a+1)$，代入上式：
原式$=[(a-1)(a+1)]^2=(a-1)^2(a+1)^2$
逐一判断选项：
A选项不是整式乘积的形式，不符合因式分解的定义，错误；
B选项展开后为$a^4 -a^2 -2$，和原式不相等，错误；
C选项$(a^2 -1)^2$中的因式$a^2-1$还可以继续分解，分解不彻底，错误；
D选项是分解彻底的正确结果，正确。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，因式分解的要求
【点评】
这道题的易错点是容易忽略因式分解要彻底的要求，仅分解到$(a^2-1)^2$就误选C，解题后要注意检查每个因式是否还能继续分解，确保分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.6
解决这道题首先要明确因式分解的要求：最终结果必须是几个整式乘积的形式，且每个因式都不能再分解。首先观察原式的结构，是三项式，首项$a^4$可看作$(a^2)^2$，末项1可看作$1^2$，中间项是$-2a^2$，刚好符合完全平方差公式的特征，先用完全平方公式初步分解，再检查得到的因式是否还能继续分解，结合平方差公式进一步分解，最后对应选项判断即可。
【解析】
对原式$a^4 - 2a^2 + 1$进行因式分解：
1. 利用完全平方差公式分解
将$a^4$看作$(a^2)^2$，$1$看作$1^2$，原式可变形为：
$(a^2)^2 - 2· a^2· 1 + 1^2$
根据完全平方差公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，代入$m=a^2$，$n=1$，可得：
原式$=(a^2 - 1)^2$
2. 利用平方差公式继续分解
$a^2 - 1$符合平方差公式$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$的特征，代入$m=a$，$n=1$，得$a^2 -1=(a-1)(a+1)$，代入上式：
原式$=[(a-1)(a+1)]^2=(a-1)^2(a+1)^2$
逐一判断选项：
A选项不是整式乘积的形式，不符合因式分解的定义，错误；
B选项展开后为$a^4 -a^2 -2$，和原式不相等，错误；
C选项$(a^2 -1)^2$中的因式$a^2-1$还可以继续分解，分解不彻底，错误；
D选项是分解彻底的正确结果，正确。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，因式分解的要求
【点评】
这道题的易错点是容易忽略因式分解要彻底的要求，仅分解到$(a^2-1)^2$就误选C，解题后要注意检查每个因式是否还能继续分解，确保分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.6
2.小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：$a - b, x - 1, 3, x^2 + 1, a, x + 1$分别对应下列六个字：你、爱、中、数、学、国。现将$3a(x^2 - 1) - 3b(x^2 - 1)$因式分解，结果呈现的密码信息可能是（
A.你爱数学
B.你爱学
C.爱中国
D.中国爱你
D
）A.你爱数学
B.你爱学
C.爱中国
D.中国爱你
答案
D
解析
【分析】
解题时首先需要对给出的多项式进行因式分解，第一步先提取公因式，第二步对剩余能用公式法分解的部分继续分解，分解完成后将每个因式和题目给出的对应汉字匹配，最后组合汉字即可得到对应的密码信息。
【解析】
先对多项式$3a(x^2 - 1) - 3b(x^2 - 1)$进行因式分解：
1. 提取公因式$3(x^2 - 1)$，可得：
$3a(x^2 - 1) - 3b(x^2 - 1)=3(x^2 - 1)(a - b)$
2. 利用平方差公式分解$x^2 - 1$：$x^2 - 1=(x + 1)(x - 1)$，因此最终分解结果为：
$3(x^2 - 1)(a - b)=3(a - b)(x + 1)(x - 1)$
根据题目给出的对应关系：$a-b$对应你，$x-1$对应爱，$3$对应中，$x+1$对应国。利用乘法交换律，因式可任意排列，组合后可得密码信息“中国爱你”。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式因式分解
【点评】
本题将因式分解和趣味密码结合，考查了因式分解的常规步骤，需要细心匹配每个因式对应的汉字，避免对应错误即可得分。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要对给出的多项式进行因式分解，第一步先提取公因式，第二步对剩余能用公式法分解的部分继续分解，分解完成后将每个因式和题目给出的对应汉字匹配，最后组合汉字即可得到对应的密码信息。
【解析】
先对多项式$3a(x^2 - 1) - 3b(x^2 - 1)$进行因式分解：
1. 提取公因式$3(x^2 - 1)$，可得：
$3a(x^2 - 1) - 3b(x^2 - 1)=3(x^2 - 1)(a - b)$
2. 利用平方差公式分解$x^2 - 1$：$x^2 - 1=(x + 1)(x - 1)$，因此最终分解结果为：
$3(x^2 - 1)(a - b)=3(a - b)(x + 1)(x - 1)$
根据题目给出的对应关系：$a-b$对应你，$x-1$对应爱，$3$对应中，$x+1$对应国。利用乘法交换律，因式可任意排列，组合后可得密码信息“中国爱你”。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式因式分解
【点评】
本题将因式分解和趣味密码结合，考查了因式分解的常规步骤，需要细心匹配每个因式对应的汉字，避免对应错误即可得分。
【难度系数】
0.7
