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3.规定新运算：$a \oplus b = 3a - 2b$，其中$a = x^2 + 2xy$，$b = 3xy + 6y^2$。则把$a \oplus b$因式分解的结果是（
A.$3(x + 2y)(x - 2y)$
B.$3(x - 2y)^2$
C.$3(x^2 - 4y^2)$
D.$3(x + 4y)(x - 4y)$
A
）A.$3(x + 2y)(x - 2y)$
B.$3(x - 2y)^2$
C.$3(x^2 - 4y^2)$
D.$3(x + 4y)(x - 4y)$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先要正确理解新运算“⊕”的规则，第一步先将a、b对应的代数式代入$a \oplus b = 3a - 2b$中；第二步按照整式加减的运算法则去括号、合并同类项，得到化简后的多项式；第三步对化简结果进行因式分解，先提取公因式，再判断是否能用乘法公式继续分解，直到不能分解为止，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
根据新运算规则可得：
$\begin{aligned}a\oplus b&=3a-2b\\&=3(x^2 + 2xy) - 2(3xy + 6y^2)\\&=3x^2 + 6xy - 6xy - 12y^2\\&=3x^2 - 12y^2\\&=3(x^2 - 4y^2)\\&=3(x + 2y)(x - 2y)\end{aligned}$
因此结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，整式化简，因式分解
【点评】
本题属于基础综合题，核心是准确理解新运算的规则，易错点是因式分解时未分解到最简形式，要注意因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式，且每个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要正确理解新运算“⊕”的规则，第一步先将a、b对应的代数式代入$a \oplus b = 3a - 2b$中；第二步按照整式加减的运算法则去括号、合并同类项，得到化简后的多项式；第三步对化简结果进行因式分解，先提取公因式，再判断是否能用乘法公式继续分解，直到不能分解为止，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
根据新运算规则可得：
$\begin{aligned}a\oplus b&=3a-2b\\&=3(x^2 + 2xy) - 2(3xy + 6y^2)\\&=3x^2 + 6xy - 6xy - 12y^2\\&=3x^2 - 12y^2\\&=3(x^2 - 4y^2)\\&=3(x + 2y)(x - 2y)\end{aligned}$
因此结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，整式化简，因式分解
【点评】
本题属于基础综合题，核心是准确理解新运算的规则，易错点是因式分解时未分解到最简形式，要注意因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式，且每个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.7
4.将下列多项式因式分解,结果中不含有因式$(m-2)$的是 (
A.$m^2 -4$
B.$(m+2)^2 -8(m+2)+16$
C.$m^3 -4m^2 +4m$
D.$m^2 +2m$
D
)A.$m^2 -4$
B.$(m+2)^2 -8(m+2)+16$
C.$m^3 -4m^2 +4m$
D.$m^2 +2m$
答案
D
解析
【分析】
要判断哪个选项的因式分解结果不含因式$(m-2)$，解题思路是依次对每个选项的多项式进行因式分解，再检查分解后的因式中是否包含$(m-2)$，即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$m^2 -4$符合平方差公式特征，套用公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，得：
$m^2 -4=(m-2)(m+2)$，含有因式$(m-2)$，不符合要求；
选项B：将$(m+2)$看作整体，原式符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的特征，其中$a=m+2$，$b=4$，得：
$(m+2)^2 -8(m+2)+16=(m+2-4)^2=(m-2)^2$，含有因式$(m-2)$，不符合要求；
选项C：先提取公因式$m$，再对剩余部分套用完全平方公式，得：
$m^3 -4m^2 +4m=m(m^2-4m+4)=m(m-2)^2$，含有因式$(m-2)$，不符合要求；
选项D：提取公因式$m$，得：
$m^2 +2m=m(m+2)$，因式为$m$和$(m+2)$，不含因式$(m-2)$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
因式分解；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时需先观察多项式的结构特征，优先提取公因式，再根据剩余式子的特征选择对应的公式进行分解，熟练掌握因式分解的常用方法是解题的核心。
【难度系数】
0.8
要判断哪个选项的因式分解结果不含因式$(m-2)$，解题思路是依次对每个选项的多项式进行因式分解，再检查分解后的因式中是否包含$(m-2)$，即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$m^2 -4$符合平方差公式特征，套用公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，得：
$m^2 -4=(m-2)(m+2)$，含有因式$(m-2)$，不符合要求；
选项B：将$(m+2)$看作整体，原式符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的特征，其中$a=m+2$，$b=4$，得：
$(m+2)^2 -8(m+2)+16=(m+2-4)^2=(m-2)^2$，含有因式$(m-2)$，不符合要求；
选项C：先提取公因式$m$，再对剩余部分套用完全平方公式，得：
$m^3 -4m^2 +4m=m(m^2-4m+4)=m(m-2)^2$，含有因式$(m-2)$，不符合要求；
选项D：提取公因式$m$，得：
$m^2 +2m=m(m+2)$，因式为$m$和$(m+2)$，不含因式$(m-2)$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
因式分解；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时需先观察多项式的结构特征，优先提取公因式，再根据剩余式子的特征选择对应的公式进行分解，熟练掌握因式分解的常用方法是解题的核心。
【难度系数】
0.8
5. 因式分解：$(x^2 + y^2)^2 - 4x^2y^2 = \_\_\_\_\_\_$。
答案
$(x+y)^2(x-y)^2$
解析
【分析】
首先观察待分解式子的结构，发现是两个平方项作差的形式，符合平方差公式的特征，因此第一步先利用平方差公式分解因式；分解后得到的两个多项式均为二次三项式，进一步观察可发现符合完全平方公式的特征，再用完全平方公式继续分解，直到所有因式都不能再分解为止。
【解析】
解：
第一步，将原式变形为平方差形式：
原式$=(x^2+y^2)^2 - (2xy)^2$
第二步，利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解，其中$a=x^2+y^2$，$b=2xy$：
$=(x^2+y^2 + 2xy)(x^2+y^2 - 2xy)$
第三步，分别对两个因式用完全平方公式分解：
$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$
因此原式$=(x+y)^2(x-y)^2$
【答案】
$(x+y)^2(x-y)^2$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、因式分解
【点评】
本题考查公式法因式分解的应用，解题关键是准确识别式子对应的公式特征，注意因式分解必须彻底，要分解到每个因式都无法再分解为止。
【难度系数】
0.8
首先观察待分解式子的结构，发现是两个平方项作差的形式，符合平方差公式的特征，因此第一步先利用平方差公式分解因式；分解后得到的两个多项式均为二次三项式，进一步观察可发现符合完全平方公式的特征，再用完全平方公式继续分解，直到所有因式都不能再分解为止。
【解析】
解：
第一步，将原式变形为平方差形式：
原式$=(x^2+y^2)^2 - (2xy)^2$
第二步，利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解，其中$a=x^2+y^2$，$b=2xy$：
$=(x^2+y^2 + 2xy)(x^2+y^2 - 2xy)$
第三步，分别对两个因式用完全平方公式分解：
$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$
因此原式$=(x+y)^2(x-y)^2$
【答案】
$(x+y)^2(x-y)^2$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、因式分解
【点评】
本题考查公式法因式分解的应用，解题关键是准确识别式子对应的公式特征，注意因式分解必须彻底，要分解到每个因式都无法再分解为止。
【难度系数】
0.8
6.已知$a+b=1$,则代数式$a^2 - b^2 + 2b +9$的值为
10
。答案
10
解析
【分析】
解题时先观察待求代数式的结构，发现其中含有$a^2 - b^2$，符合平方差公式的形式，因此首先考虑用平方差公式对其因式分解，再将已知条件$a+b=1$整体代入，之后通过合并同类项化简代数式，最后再次代入$a+b=1$即可求出结果，不需要单独求出$a$、$b$的具体数值，用整体代入思想更简便。
【解析】
解：首先利用平方差公式对代数式变形：
$a^2 - b^2 + 2b +9=(a+b)(a-b)+2b+9$
已知$a+b=1$，将其代入上式可得：
原式$=1×(a-b)+2b+9$
$=a - b + 2b +9$
合并同类项得：
原式$=a + b +9$
再次将$a+b=1$代入得：
原式$=1 + 9 = 10$
【答案】
10
【知识点】
平方差公式，代数式化简求值，整体代入思想
【点评】
本题是整式化简求值的基础题，核心是通过观察代数式结构合理选择因式分解的方法，结合整体代入的思想简化计算，避免了单独求解未知数的繁琐，掌握基本公式和整体代入思想是解这类题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先观察待求代数式的结构，发现其中含有$a^2 - b^2$，符合平方差公式的形式，因此首先考虑用平方差公式对其因式分解，再将已知条件$a+b=1$整体代入，之后通过合并同类项化简代数式，最后再次代入$a+b=1$即可求出结果，不需要单独求出$a$、$b$的具体数值，用整体代入思想更简便。
【解析】
解：首先利用平方差公式对代数式变形：
$a^2 - b^2 + 2b +9=(a+b)(a-b)+2b+9$
已知$a+b=1$，将其代入上式可得：
原式$=1×(a-b)+2b+9$
$=a - b + 2b +9$
合并同类项得：
原式$=a + b +9$
再次将$a+b=1$代入得：
原式$=1 + 9 = 10$
【答案】
10
【知识点】
平方差公式，代数式化简求值，整体代入思想
【点评】
本题是整式化简求值的基础题，核心是通过观察代数式结构合理选择因式分解的方法，结合整体代入的思想简化计算，避免了单独求解未知数的繁琐，掌握基本公式和整体代入思想是解这类题的关键。
【难度系数】
0.8
7.因式分解：
(1)$(a+b)-a^2(a+b)$；
(2)$x^4 - y^4$。
(1)$(a+b)-a^2(a+b)$；
(2)$x^4 - y^4$。
答案
(1)原式$=(a+b)(1-a^2)=(a+b)(1+a)(1-a)$。
(2)原式$=(x^2+y^2)(x^2-y^2)$
$=(x^2+y^2)(x+y)(x-y)$。
(2)原式$=(x^2+y^2)(x^2-y^2)$
$=(x^2+y^2)(x+y)(x-y)$。
解析
【分析】
(1) 观察多项式的两项都含有公因式$(a+b)$，第一步优先提取公因式，提取后得到的因式$1-a^2$符合平方差公式的结构特征，再利用平方差公式继续分解即可，需注意因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止。
(2) 多项式$x^4-y^4$可变形为$(x^2)^2-(y^2)^2$，符合平方差公式的形式，先利用平方差公式完成第一次分解，得到的因式中$x^2-y^2$仍然满足平方差公式的结构，继续分解即可，其中$x^2+y^2$在有理数范围内无法再分解，分解结束。
【解析】
(1) 先提取公因式$(a+b)$：
原式$=(a+b)(1-a^2)$
再对$1-a^2$运用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$（此处$m=1,n=a$）继续分解：
$=(a+b)(1+a)(1-a)$
(2) 先将原式改写为平方差的标准形式：
原式$=(x^2)^2-(y^2)^2$
运用平方差公式第一次分解：
$=(x^2+y^2)(x^2-y^2)$
再对$x^2-y^2$运用平方差公式继续分解：
$=(x^2+y^2)(x+y)(x-y)$
【答案】
(1)$(a+b)(1+a)(1-a)$；
(2)$(x^2+y^2)(x+y)(x-y)$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，解题遵循“一提二套三查”的通用步骤即可：先观察多项式是否有公因式可提取，再判断剩余因式能否套用公式分解，最后检查是否分解到每一个因式都不能再分解，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
(1) 观察多项式的两项都含有公因式$(a+b)$，第一步优先提取公因式，提取后得到的因式$1-a^2$符合平方差公式的结构特征，再利用平方差公式继续分解即可，需注意因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止。
(2) 多项式$x^4-y^4$可变形为$(x^2)^2-(y^2)^2$，符合平方差公式的形式，先利用平方差公式完成第一次分解，得到的因式中$x^2-y^2$仍然满足平方差公式的结构，继续分解即可，其中$x^2+y^2$在有理数范围内无法再分解，分解结束。
【解析】
(1) 先提取公因式$(a+b)$：
原式$=(a+b)(1-a^2)$
再对$1-a^2$运用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$（此处$m=1,n=a$）继续分解：
$=(a+b)(1+a)(1-a)$
(2) 先将原式改写为平方差的标准形式：
原式$=(x^2)^2-(y^2)^2$
运用平方差公式第一次分解：
$=(x^2+y^2)(x^2-y^2)$
再对$x^2-y^2$运用平方差公式继续分解：
$=(x^2+y^2)(x+y)(x-y)$
【答案】
(1)$(a+b)(1+a)(1-a)$；
(2)$(x^2+y^2)(x+y)(x-y)$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，解题遵循“一提二套三查”的通用步骤即可：先观察多项式是否有公因式可提取，再判断剩余因式能否套用公式分解，最后检查是否分解到每一个因式都不能再分解，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
8.用简便方法计算：
(1)$535^2 × 4 - 465^2 × 4$；
(2)$204^2 + 204 × 192 + 96^2$；
(3)$(1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×(1-\frac{1}{4^2})×···×(1-\frac{1}{2025^2})$。
(1)$535^2 × 4 - 465^2 × 4$；
(2)$204^2 + 204 × 192 + 96^2$；
(3)$(1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×(1-\frac{1}{4^2})×···×(1-\frac{1}{2025^2})$。
答案
(1)原式$=(535×2+465×2)(535×2-465×2)$
$=(1 070+930)(1 070-930)$
$=2 000×140=280 000$。
(2)原式$=(204+96)^2=300^2=90 000$。
(3)$(1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×(1-\frac{1}{4^2})×···×(1-\frac{1}{2025^2})$
$=(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{3})×$
$(1+\frac{1}{4})×(1-\frac{1}{4})×···×(1+\frac{1}{2025})×(1-\frac{1}{2025})$
$=\frac{3}{2}×\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×\frac{2}{3}×\frac{5}{4}×\frac{3}{4}×···×\frac{2026}{2025}×\frac{2024}{2025}$
$=\frac{1}{2}×\frac{2026}{2025}$
$=\frac{1 013}{2 025}$。
$=(1 070+930)(1 070-930)$
$=2 000×140=280 000$。
(2)原式$=(204+96)^2=300^2=90 000$。
(3)$(1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×(1-\frac{1}{4^2})×···×(1-\frac{1}{2025^2})$
$=(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{3})×$
$(1+\frac{1}{4})×(1-\frac{1}{4})×···×(1+\frac{1}{2025})×(1-\frac{1}{2025})$
$=\frac{3}{2}×\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×\frac{2}{3}×\frac{5}{4}×\frac{3}{4}×···×\frac{2026}{2025}×\frac{2024}{2025}$
$=\frac{1}{2}×\frac{2026}{2025}$
$=\frac{1 013}{2 025}$。
解析
【分析】
(1) 观察式子特征：两项都含因数4，可将4转化为2²，原式变形为$(535×2)^2 - (465×2)^2$，刚好符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，套用公式即可避免高次幂直接计算，简化运算。
(2) 观察式子结构：$204^2$是首项平方，$96^2$是末项平方，中间项$204×192=2×204×96$，恰好是2倍的首末项乘积，符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的特征，直接套用公式计算即可。
(3) 每个因式都是$1-\frac{1}{n^2}$的形式，符合平方差公式结构，先将每个因式拆分为$(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$（n从2到2025），拆分后相邻分数大部分可相互抵消，仅剩余首尾两项相乘，大幅降低计算量。
【解析】
(1)原式$=(535×2+465×2)(535×2-465×2)$
$=(1 070+930)(1 070-930)$
$=2 000×140=280 000$。
(2)原式$=(204+96)^2=300^2=90 000$。
(3)$(1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×(1-\frac{1}{4^2})×···×(1-\frac{1}{2025^2})$
$=(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{3})×$
$(1+\frac{1}{4})×(1-\frac{1}{4})×···×(1+\frac{1}{2025})×(1-\frac{1}{2025})$
$=\frac{3}{2}×\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×\frac{2}{3}×\frac{5}{4}×\frac{3}{4}×···×\frac{2026}{2025}×\frac{2024}{2025}$
$=\frac{1}{2}×\frac{2026}{2025}$
$=\frac{1 013}{2 025}$。
【答案】
(1)$280000$；(2)$90000$；(3)$\frac{1013}{2025}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，因式分解简便运算
【点评】
本题主要考查乘法公式在简便运算中的应用，解题核心是准确识别式子对应的公式结构，灵活变形简化计算，第三题需注意拆分后约分的规律，避免漏项或约分错误。
【难度系数】
0.7
(1) 观察式子特征：两项都含因数4，可将4转化为2²，原式变形为$(535×2)^2 - (465×2)^2$，刚好符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，套用公式即可避免高次幂直接计算，简化运算。
(2) 观察式子结构：$204^2$是首项平方，$96^2$是末项平方，中间项$204×192=2×204×96$，恰好是2倍的首末项乘积，符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的特征，直接套用公式计算即可。
(3) 每个因式都是$1-\frac{1}{n^2}$的形式，符合平方差公式结构，先将每个因式拆分为$(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$（n从2到2025），拆分后相邻分数大部分可相互抵消，仅剩余首尾两项相乘，大幅降低计算量。
【解析】
(1)原式$=(535×2+465×2)(535×2-465×2)$
$=(1 070+930)(1 070-930)$
$=2 000×140=280 000$。
(2)原式$=(204+96)^2=300^2=90 000$。
(3)$(1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×(1-\frac{1}{4^2})×···×(1-\frac{1}{2025^2})$
$=(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{3})×$
$(1+\frac{1}{4})×(1-\frac{1}{4})×···×(1+\frac{1}{2025})×(1-\frac{1}{2025})$
$=\frac{3}{2}×\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×\frac{2}{3}×\frac{5}{4}×\frac{3}{4}×···×\frac{2026}{2025}×\frac{2024}{2025}$
$=\frac{1}{2}×\frac{2026}{2025}$
$=\frac{1 013}{2 025}$。
【答案】
(1)$280000$；(2)$90000$；(3)$\frac{1013}{2025}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，因式分解简便运算
【点评】
本题主要考查乘法公式在简便运算中的应用，解题核心是准确识别式子对应的公式结构，灵活变形简化计算，第三题需注意拆分后约分的规律，避免漏项或约分错误。
【难度系数】
0.7
9.阅读并解答。
在分解因式$x^2 - 4x -5$时，李老师是这样做的：
$x^2 -4x -5 = x^2 -4x +4 -9$(第一步)
$=(x-2)^2 -9$(第二步)
$=(x-2+3)(x-2-3)$(第三步)
$=(x+1)(x-5)$。(第四步)
(1)从第一步到第二步运用了
(2)从第二步到第三步运用了
(3)仿照上面分解因式$x^2 +2x -3$。
在分解因式$x^2 - 4x -5$时，李老师是这样做的：
$x^2 -4x -5 = x^2 -4x +4 -9$(第一步)
$=(x-2)^2 -9$(第二步)
$=(x-2+3)(x-2-3)$(第三步)
$=(x+1)(x-5)$。(第四步)
(1)从第一步到第二步运用了
完全平方
公式；(2)从第二步到第三步运用了
平方差
公式；(3)仿照上面分解因式$x^2 +2x -3$。
答案
(1)完全平方
(2)平方差
(3)$x^2+2x-3$
$=x^2+2x+1-4$
$=(x+1)^2-4$
$=(x+1+2)(x+1-2)$
$=(x+3)(x-1)$。
(2)平方差
(3)$x^2+2x-3$
$=x^2+2x+1-4$
$=(x+1)^2-4$
$=(x+1+2)(x+1-2)$
$=(x+3)(x-1)$。
解析
【分析】
本题分为三个小问，解题思路如下：
(1) 观察第一步到第二步的变形：第一步中$x^2 -4x +4$符合完全平方公式的结构特征$a^2-2ab+b^2$，逆用公式即可得到$(a-b)^2$的形式，据此判断所用公式；
(2) 观察第二步到第三步的变形：第二步是两个数的平方作差的形式，符合平方差公式$a^2-b^2$的结构，逆用公式即可写成$(a+b)(a-b)$的形式，据此判断所用公式；
(3) 仿照例题的配方法因式分解步骤：先对二次项和一次项配方，加上一次项系数一半的平方凑出完全平方式，再将后续常数合并为某个数的平方，转化为平方差的形式，最后逆用平方差公式完成因式分解即可。
【解析】
(1) 第一步的$x^2-4x+4$逆用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得$(x-2)^2$，因此从第一步到第二步运用了完全平方公式；
(2) 第二步的$(x-2)^2 - 3^2$逆用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得$(x-2+3)(x-2-3)$，因此从第二步到第三步运用了平方差公式；
(3) 仿照例题分解$x^2 +2x -3$，步骤如下：
先对$x^2+2x$配方，加1凑完全平方，同时减1保证原式值不变：
$x^2+2x-3$
$=x^2+2x+1-4$
逆用完全平方公式得：
$=(x+1)^2 - 2^2$
逆用平方差公式分解得：
$=(x+1+2)(x+1-2)$
化简两个因式得：
$=(x+3)(x-1)$
【答案】
(1)完全平方
(2)平方差
(3)$x^2+2x-3$
$=x^2+2x+1-4$
$=(x+1)^2-4$
$=(x+1+2)(x+1-2)$
$=(x+3)(x-1)$
【知识点】
完全平方公式；平方差公式；配方法因式分解
【点评】
本题侧重考查对乘法公式的识别和配方法因式分解的应用，前两问要求掌握两类乘法公式的结构特征，第三问需要掌握“先凑完全平方，再用平方差分解”的配方法因式分解思路，是因式分解的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
本题分为三个小问，解题思路如下：
(1) 观察第一步到第二步的变形：第一步中$x^2 -4x +4$符合完全平方公式的结构特征$a^2-2ab+b^2$，逆用公式即可得到$(a-b)^2$的形式，据此判断所用公式；
(2) 观察第二步到第三步的变形：第二步是两个数的平方作差的形式，符合平方差公式$a^2-b^2$的结构，逆用公式即可写成$(a+b)(a-b)$的形式，据此判断所用公式；
(3) 仿照例题的配方法因式分解步骤：先对二次项和一次项配方，加上一次项系数一半的平方凑出完全平方式，再将后续常数合并为某个数的平方，转化为平方差的形式，最后逆用平方差公式完成因式分解即可。
【解析】
(1) 第一步的$x^2-4x+4$逆用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得$(x-2)^2$，因此从第一步到第二步运用了完全平方公式；
(2) 第二步的$(x-2)^2 - 3^2$逆用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得$(x-2+3)(x-2-3)$，因此从第二步到第三步运用了平方差公式；
(3) 仿照例题分解$x^2 +2x -3$，步骤如下：
先对$x^2+2x$配方，加1凑完全平方，同时减1保证原式值不变：
$x^2+2x-3$
$=x^2+2x+1-4$
逆用完全平方公式得：
$=(x+1)^2 - 2^2$
逆用平方差公式分解得：
$=(x+1+2)(x+1-2)$
化简两个因式得：
$=(x+3)(x-1)$
【答案】
(1)完全平方
(2)平方差
(3)$x^2+2x-3$
$=x^2+2x+1-4$
$=(x+1)^2-4$
$=(x+1+2)(x+1-2)$
$=(x+3)(x-1)$
【知识点】
完全平方公式；平方差公式；配方法因式分解
【点评】
本题侧重考查对乘法公式的识别和配方法因式分解的应用，前两问要求掌握两类乘法公式的结构特征，第三问需要掌握“先凑完全平方，再用平方差分解”的配方法因式分解思路，是因式分解的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
