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10.在数学课外探究小组活动中,有一道这样的题目:对多项式$(a^2 -4a +2)(a^2 -4a +6)+4$进行因式分解。老师的讲解过程如下。
解:令$a^2 -4a = t$,
则原式$=(t+2)(t+6)+4$
$=t^2 +8t +12+4$
$=t^2 +8t +16=(t+4)^2$。
$\because t=a^2 -4a$,
$\therefore$原式$=(a^2 -4a +4)^2$。
老师的讲解到此就停止了,并提出了以下两个问题:
(1)上述讲解的结果没有分解到最后,最后的结果应是
(2)请仿照以上方法对多项式$(b^2 -6b)(b^2 -6b +18)+81$进行因式分解。
解:令$a^2 -4a = t$,
则原式$=(t+2)(t+6)+4$
$=t^2 +8t +12+4$
$=t^2 +8t +16=(t+4)^2$。
$\because t=a^2 -4a$,
$\therefore$原式$=(a^2 -4a +4)^2$。
老师的讲解到此就停止了,并提出了以下两个问题:
(1)上述讲解的结果没有分解到最后,最后的结果应是
$(a-2)^4$
;(2)请仿照以上方法对多项式$(b^2 -6b)(b^2 -6b +18)+81$进行因式分解。
答案
(1)$(a-2)^4$
(2)令$b^2-6b=m$,
原式$=m^2+18m+81=(m+9)^2$,
$\because m=b^2-6b$,
$\therefore$原式$=(b^2-6b+9)^2=(b-3)^4$。
(2)令$b^2-6b=m$,
原式$=m^2+18m+81=(m+9)^2$,
$\because m=b^2-6b$,
$\therefore$原式$=(b^2-6b+9)^2=(b-3)^4$。
解析
【分析】
(1) 因式分解需要分解到每一个因式都不能再分解为止。已知讲解得到的中间结果是$(a^2-4a+4)^2$，其中$a^2-4a+4$符合完全平方公式的结构特征，可继续分解，代入化简即可得到最终结果。
(2) 观察待分解的多项式，发现$b^2-6b$重复出现，可仿照题中的换元法，把$b^2-6b$看作整体设为新的字母，将原多项式转化为更简单的多项式分解，分解后再把原整式代回，最后检查是否分解彻底，进一步化简即可。
【解析】
(1) 由题可得中间结果为$(a^2-4a+4)^2$，
根据完全平方公式，$a^2-4a+4=(a-2)^2$，
因此原式$=[(a-2)^2]^2=(a-2)^4$。
(2) 令$b^2-6b=m$，
则原式$=m(m+18)+81$
$=m^2+18m+81$
根据完全平方公式可得$m^2+18m+81=(m+9)^2$，
将$m=b^2-6b$代回，得原式$=(b^2-6b+9)^2$，
又因为$b^2-6b+9=(b-3)^2$，
因此原式$=[(b-3)^2]^2=(b-3)^4$。
【答案】
(1) $\boxed{(a-2)^4}$
(2) 分解过程如下：令$b^2-6b=m$，原式$=m(m+18)+81=m^2+18m+81=(m+9)^2$，代回$m=b^2-6b$得$(b^2-6b+9)^2=(b-3)^4$，最终结果为$\boxed{(b-3)^4}$
【知识点】
换元法因式分解、完全平方公式、因式分解的彻底性
【点评】
本题核心考查整体换元思想在因式分解中的应用，解题时要善于识别多项式中重复出现的整式部分，通过换元降低分解难度，同时要牢记因式分解的要求，必须分解到每个因式都无法再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7
(1) 因式分解需要分解到每一个因式都不能再分解为止。已知讲解得到的中间结果是$(a^2-4a+4)^2$，其中$a^2-4a+4$符合完全平方公式的结构特征，可继续分解，代入化简即可得到最终结果。
(2) 观察待分解的多项式，发现$b^2-6b$重复出现，可仿照题中的换元法，把$b^2-6b$看作整体设为新的字母，将原多项式转化为更简单的多项式分解，分解后再把原整式代回，最后检查是否分解彻底，进一步化简即可。
【解析】
(1) 由题可得中间结果为$(a^2-4a+4)^2$，
根据完全平方公式，$a^2-4a+4=(a-2)^2$，
因此原式$=[(a-2)^2]^2=(a-2)^4$。
(2) 令$b^2-6b=m$，
则原式$=m(m+18)+81$
$=m^2+18m+81$
根据完全平方公式可得$m^2+18m+81=(m+9)^2$，
将$m=b^2-6b$代回，得原式$=(b^2-6b+9)^2$，
又因为$b^2-6b+9=(b-3)^2$，
因此原式$=[(b-3)^2]^2=(b-3)^4$。
【答案】
(1) $\boxed{(a-2)^4}$
(2) 分解过程如下：令$b^2-6b=m$，原式$=m(m+18)+81=m^2+18m+81=(m+9)^2$，代回$m=b^2-6b$得$(b^2-6b+9)^2=(b-3)^4$，最终结果为$\boxed{(b-3)^4}$
【知识点】
换元法因式分解、完全平方公式、因式分解的彻底性
【点评】
本题核心考查整体换元思想在因式分解中的应用，解题时要善于识别多项式中重复出现的整式部分，通过换元降低分解难度，同时要牢记因式分解的要求，必须分解到每个因式都无法再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7
11.常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但还有其他多项式只用上述方法无法分解,如$x^2 - 4y^2 - 2x + 4y$,观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式
因式就可以完成整个式子的分解因式了。
过程为$x^2 - 4y^2 - 2x + 4y$
$=(x + 2y)(x - 2y) - 2(x - 2y)$
$=(x - 2y)(x + 2y - 2)$,
这种分解因式的方法叫分组分解法。利用这种方法解决下列问题。
(1)分解因式:$x^2 - 9y^2 - 2x + 6y$;
(2)已知$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$,且满足$a^2 - 2ab + b^2 + ac - bc = 0$,判断$△ ABC$的形状。
因式就可以完成整个式子的分解因式了。
过程为$x^2 - 4y^2 - 2x + 4y$
$=(x + 2y)(x - 2y) - 2(x - 2y)$
$=(x - 2y)(x + 2y - 2)$,
这种分解因式的方法叫分组分解法。利用这种方法解决下列问题。
(1)分解因式:$x^2 - 9y^2 - 2x + 6y$;
(2)已知$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$,且满足$a^2 - 2ab + b^2 + ac - bc = 0$,判断$△ ABC$的形状。
答案
(1)$x^2 - 9y^2 - 2x + 6y$
$=(x+3y)(x-3y)-2(x-3y)$
$=(x-3y)(x+3y-2)$；
(2)$a^2 - 2ab + b^2 + ac - bc$
$=(a-b)^2 + c(a-b)$
$=(a-b)(a-b+c)$,
即$(a-b)(a-b+c)=0$,
因为△ABC 的三边长分别为$a,b,c$,
所以$a+c-b＞0,a-b=0$,
即$a=b$,
所以△ABC 是等腰三角形。
$=(x+3y)(x-3y)-2(x-3y)$
$=(x-3y)(x+3y-2)$；
(2)$a^2 - 2ab + b^2 + ac - bc$
$=(a-b)^2 + c(a-b)$
$=(a-b)(a-b+c)$,
即$(a-b)(a-b+c)=0$,
因为△ABC 的三边长分别为$a,b,c$,
所以$a+c-b＞0,a-b=0$,
即$a=b$,
所以△ABC 是等腰三角形。
解析
【分析】
（1）对于四项式的因式分解，可采用分组分解法：观察式子$x^2 - 9y^2 - 2x + 6y$，前两项符合平方差公式结构，后两项可提取公因式，先分组分别分解，再提取两组的公因式即可完成整体分解。
（2）先对等式左边的多项式分组分解：前三项是完全平方公式的结构，后两项可提取公因式，分组分解后得到两个因式的乘积为0，再结合三角形三边关系“两边之和大于第三边”判断因式的正负，即可得到边的关系，进而判断三角形形状。
【解析】
(1) $x^2 - 9y^2 - 2x + 6y$
$=(x+3y)(x-3y)-2(x-3y)$
$=(x-3y)(x+3y-2)$
(2) 对$a^2 - 2ab + b^2 + ac - bc = 0$左边因式分解：
$a^2 - 2ab + b^2 + ac - bc$
$=(a-b)^2 + c(a-b)$
$=(a-b)(a-b+c)$
即$(a-b)(a-b+c)=0$
因为△ABC的三边长分别为$a,b,c$，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，所以$a + c - b ＞ 0$，因此只有$a - b = 0$，即$a = b$，所以△ABC是等腰三角形。
【答案】
(1) $(x-3y)(x+3y-2)$
(2) △ABC是等腰三角形
【知识点】
分组分解法因式分解，三角形三边关系，等腰三角形判定
【点评】
本题重点考查分组分解法的应用，需要学生观察多项式的结构特征合理分组，第二问结合三角形性质考查知识的综合运用能力，解题时要注意隐含条件三角形三边关系的应用。
【难度系数】
0.7
（1）对于四项式的因式分解，可采用分组分解法：观察式子$x^2 - 9y^2 - 2x + 6y$，前两项符合平方差公式结构，后两项可提取公因式，先分组分别分解，再提取两组的公因式即可完成整体分解。
（2）先对等式左边的多项式分组分解：前三项是完全平方公式的结构，后两项可提取公因式，分组分解后得到两个因式的乘积为0，再结合三角形三边关系“两边之和大于第三边”判断因式的正负，即可得到边的关系，进而判断三角形形状。
【解析】
(1) $x^2 - 9y^2 - 2x + 6y$
$=(x+3y)(x-3y)-2(x-3y)$
$=(x-3y)(x+3y-2)$
(2) 对$a^2 - 2ab + b^2 + ac - bc = 0$左边因式分解：
$a^2 - 2ab + b^2 + ac - bc$
$=(a-b)^2 + c(a-b)$
$=(a-b)(a-b+c)$
即$(a-b)(a-b+c)=0$
因为△ABC的三边长分别为$a,b,c$，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，所以$a + c - b ＞ 0$，因此只有$a - b = 0$，即$a = b$，所以△ABC是等腰三角形。
【答案】
(1) $(x-3y)(x+3y-2)$
(2) △ABC是等腰三角形
【知识点】
分组分解法因式分解，三角形三边关系，等腰三角形判定
【点评】
本题重点考查分组分解法的应用，需要学生观察多项式的结构特征合理分组，第二问结合三角形性质考查知识的综合运用能力，解题时要注意隐含条件三角形三边关系的应用。
【难度系数】
0.7
