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9.已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示。
(1)写出A,B,C三点的坐标；
(2)△ABC中任意一点$P(x_0,y_0)$经平移后的对应点为$P_1(x_0+4,y_0-3)$，将△ABC作同样的平移得到△$A_1B_1C_1$，写出点$B_1,C_1$的坐标；
(3)求△ABC的面积。
(1)写出A,B,C三点的坐标；
(2)△ABC中任意一点$P(x_0,y_0)$经平移后的对应点为$P_1(x_0+4,y_0-3)$，将△ABC作同样的平移得到△$A_1B_1C_1$，写出点$B_1,C_1$的坐标；
(3)求△ABC的面积。
答案
9. 解:(1)$A,B,C$ 三点的坐标分别为 $A(-2,4),B(-6,2),C(-9,7)$。
(2)$\because △ABC$ 中任意一点 $P(x_0,y_0)$经平移后的对应点为$P_1(x_0+4,y_0-3)$,
$\therefore P$ 点向右平移 4 个单位长度,又向下平移 3 个单位长度。
$\because$ 将$△ABC$ 作同样的平移得到$△A_1B_1C_1$,
$\therefore B_1,C_1$ 的坐标分别为 $B_1(-2,-1),C_1(-5,4)$。
(3) 如图,$△ABC$ 的面积 $=S_{梯形CDEA}-S_{△CDB}-S_{△ABE}=\frac{1}{2}×(5+2)×7-\frac{1}{2}×5×3-\frac{1}{2}×2×4=13$。
解析
【分析】
(1) 求点的坐标时，依据平面直角坐标系的坐标定义，横坐标对应点在x轴的投影值（左负右正），纵坐标对应点在y轴的投影值（下负上正），数网格对应刻度即可得到三点坐标。
(2) 先根据点P平移前后的坐标变化，确定整体平移规则：横坐标加4即向右平移4个单位，纵坐标减3即向下平移3个单位，再将B、C两点坐标按该规则计算，即可得到平移后对应点的坐标。
(3) 网格中不规则三角形的面积常用割补法求解，本题将△ABC放在梯形CDEA中，用梯形面积减去周围两个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积，所用的梯形、三角形面积公式均为已学内容，计算简便。
【解析】
(1) 观察网格数对应刻度：
点A横坐标为-2，纵坐标为4，得$A(-2,4)$；
点B横坐标为-6，纵坐标为2，得$B(-6,2)$；
点C横坐标为-9，纵坐标为7，得$C(-9,7)$。
(2) 由点$P(x_0,y_0)$平移后对应点为$P_1(x_0+4,y_0-3)$，可知平移规则为：所有点向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，即平移后点的横坐标加4，纵坐标减3。
计算B平移后坐标：横坐标$-6+4=-2$，纵坐标$2-3=-1$，即$B_1(-2,-1)$；
计算C平移后坐标：横坐标$-9+4=-5$，纵坐标$7-3=4$，即$C_1(-5,4)$。
(3) 采用割补法计算：
梯形$CDEA$的上底为2、下底为5、高为7，面积为$\frac{1}{2}×(5+2)×7=24.5$；
$△ CDB$的两条直角边为5和3，面积为$\frac{1}{2}×5×3=7.5$；
$△ ABE$的两条直角边为2和4，面积为$\frac{1}{2}×2×4=4$；
因此$△ ABC$的面积$=24.5-7.5-4=13$。
【答案】
(1)$A,B,C$ 三点的坐标分别为 $A(-2,4),B(-6,2),C(-9,7)$。
(2)$B_1,C_1$ 的坐标分别为 $B_1(-2,-1),C_1(-5,4)$。
(3) 如图,$△ABC$ 的面积 $=S_{梯形CDEA}-S_{△CDB}-S_{△ABE}=\frac{1}{2}×(5+2)×7-\frac{1}{2}×5×3-\frac{1}{2}×2×4=13$。
【知识点】
点的坐标识别；平移的坐标变化；割补法求面积
【点评】
本题综合考查坐标系与平移的基础知识点，侧重对基础方法的应用考查，其中平移坐标变化规律、割补法求解网格图形面积都是常考内容，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 求点的坐标时，依据平面直角坐标系的坐标定义，横坐标对应点在x轴的投影值（左负右正），纵坐标对应点在y轴的投影值（下负上正），数网格对应刻度即可得到三点坐标。
(2) 先根据点P平移前后的坐标变化，确定整体平移规则：横坐标加4即向右平移4个单位，纵坐标减3即向下平移3个单位，再将B、C两点坐标按该规则计算，即可得到平移后对应点的坐标。
(3) 网格中不规则三角形的面积常用割补法求解，本题将△ABC放在梯形CDEA中，用梯形面积减去周围两个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积，所用的梯形、三角形面积公式均为已学内容，计算简便。
【解析】
(1) 观察网格数对应刻度：
点A横坐标为-2，纵坐标为4，得$A(-2,4)$；
点B横坐标为-6，纵坐标为2，得$B(-6,2)$；
点C横坐标为-9，纵坐标为7，得$C(-9,7)$。
(2) 由点$P(x_0,y_0)$平移后对应点为$P_1(x_0+4,y_0-3)$，可知平移规则为：所有点向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，即平移后点的横坐标加4，纵坐标减3。
计算B平移后坐标：横坐标$-6+4=-2$，纵坐标$2-3=-1$，即$B_1(-2,-1)$；
计算C平移后坐标：横坐标$-9+4=-5$，纵坐标$7-3=4$，即$C_1(-5,4)$。
(3) 采用割补法计算：
梯形$CDEA$的上底为2、下底为5、高为7，面积为$\frac{1}{2}×(5+2)×7=24.5$；
$△ CDB$的两条直角边为5和3，面积为$\frac{1}{2}×5×3=7.5$；
$△ ABE$的两条直角边为2和4，面积为$\frac{1}{2}×2×4=4$；
因此$△ ABC$的面积$=24.5-7.5-4=13$。
【答案】
(1)$A,B,C$ 三点的坐标分别为 $A(-2,4),B(-6,2),C(-9,7)$。
(2)$B_1,C_1$ 的坐标分别为 $B_1(-2,-1),C_1(-5,4)$。
(3) 如图,$△ABC$ 的面积 $=S_{梯形CDEA}-S_{△CDB}-S_{△ABE}=\frac{1}{2}×(5+2)×7-\frac{1}{2}×5×3-\frac{1}{2}×2×4=13$。
【知识点】
点的坐标识别；平移的坐标变化；割补法求面积
【点评】
本题综合考查坐标系与平移的基础知识点，侧重对基础方法的应用考查，其中平移坐标变化规律、割补法求解网格图形面积都是常考内容，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
10.如图,已知$△ ABC$的三个顶点的坐标分别为$A(-2,3),B(-6,0),C(-1,0)$。
(1)将$△ ABC$向右平移6个单位长度,再向下平移3个单位长度得到$△ A_1B_1C_1$,在图中画出$△ A_1B_1C_1$,平移后点A的对应点$A_1$的坐标是
(2)将$△ ABC$沿$y$轴翻折得到$△ A_2B_2C_2$,在图中画出$△ A_2B_2C_2$,翻折后点A的对应点$A_2$的坐标是
(3)请直接写出线段AB在(1)中的平移过程中扫过的面积。
(1)将$△ ABC$向右平移6个单位长度,再向下平移3个单位长度得到$△ A_1B_1C_1$,在图中画出$△ A_1B_1C_1$,平移后点A的对应点$A_1$的坐标是
$(4,0)$
;(2)将$△ ABC$沿$y$轴翻折得到$△ A_2B_2C_2$,在图中画出$△ A_2B_2C_2$,翻折后点A的对应点$A_2$的坐标是
$(2,3)$
;(3)请直接写出线段AB在(1)中的平移过程中扫过的面积。
答案
10. 解:(1)$△A_1B_1C_1$ 如图所示。平移后点 $A$ 的对应点$A_1$的坐标是$(4,0)$。
(2)$△A_2B_2C_2$ 如图所示。翻折后点 $A$ 的对应点$A_2$的坐标是$(2,3)$。
(3) 30
解析
【分析】
1. 解决平移相关问题时，遵循平移的坐标变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减，先计算三个顶点平移后的坐标，再描点连线就能得到平移后的图形，直接读出对应点坐标即可；
2. 沿y轴翻折本质是图形关于y轴对称，关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标变为原数的相反数，按该规则计算顶点坐标后描点连线，就能得到翻折后的图形及对应点坐标；
3. 计算线段AB平移扫过的面积时，先明确扫过的图形是两个无重叠的平行四边形，分别计算两个平行四边形的面积再求和即可。
【解析】
(1) 平移的坐标变化规则：向右平移6个单位，横坐标加6；向下平移3个单位，纵坐标减3。
点A的坐标为$(-2,3)$，平移后横坐标为$-2+6=4$，纵坐标为$3-3=0$，即$A_1$的坐标为$(4,0)$。
同理可得平移后$B_1(0,-3)$、$C_1(5,-3)$，描点并顺次连接三点得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 沿y轴翻折的坐标变化规则：纵坐标保持不变，横坐标取原数的相反数。
点A的坐标为$(-2,3)$，翻折后横坐标为$-(-2)=2$，纵坐标不变仍为3，即$A_2$的坐标为$(2,3)$。
同理可得翻折后$B_2(6,0)$、$C_2(1,0)$，描点并顺次连接三点得到$△ A_2B_2C_2$。
(3) 线段AB向右平移6个单位时，扫过的平行四边形底为6，高为点A的纵坐标3，面积为$6×3=18$；再向下平移3个单位时，扫过的平行四边形底为AB的水平长度$|-2-(-6)|=4$，高为3，面积为$4×3=12$。因此线段AB平移过程中扫过的总面积为$18+12=30$。
【答案】
(1)，$(4,0)$
(2)，$(2,3)$
(3) $30$
【知识点】
图形的平移，图形的轴对称，坐标与图形变换
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形变换的基础题，前两问考查坐标变换的基本规则，难度较低；第三问需要明确平移扫过的图形形状，结合平行四边形面积公式计算即可，整体注重对基础概念和规则的考查。
【难度系数】
0.7
1. 解决平移相关问题时，遵循平移的坐标变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减，先计算三个顶点平移后的坐标，再描点连线就能得到平移后的图形，直接读出对应点坐标即可；
2. 沿y轴翻折本质是图形关于y轴对称，关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标变为原数的相反数，按该规则计算顶点坐标后描点连线，就能得到翻折后的图形及对应点坐标；
3. 计算线段AB平移扫过的面积时，先明确扫过的图形是两个无重叠的平行四边形，分别计算两个平行四边形的面积再求和即可。
【解析】
(1) 平移的坐标变化规则：向右平移6个单位，横坐标加6；向下平移3个单位，纵坐标减3。
点A的坐标为$(-2,3)$，平移后横坐标为$-2+6=4$，纵坐标为$3-3=0$，即$A_1$的坐标为$(4,0)$。
同理可得平移后$B_1(0,-3)$、$C_1(5,-3)$，描点并顺次连接三点得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 沿y轴翻折的坐标变化规则：纵坐标保持不变，横坐标取原数的相反数。
点A的坐标为$(-2,3)$，翻折后横坐标为$-(-2)=2$，纵坐标不变仍为3，即$A_2$的坐标为$(2,3)$。
同理可得翻折后$B_2(6,0)$、$C_2(1,0)$，描点并顺次连接三点得到$△ A_2B_2C_2$。
(3) 线段AB向右平移6个单位时，扫过的平行四边形底为6，高为点A的纵坐标3，面积为$6×3=18$；再向下平移3个单位时，扫过的平行四边形底为AB的水平长度$|-2-(-6)|=4$，高为3，面积为$4×3=12$。因此线段AB平移过程中扫过的总面积为$18+12=30$。
【答案】
(1)
，$(4,0)$(2)
，$(2,3)$(3) $30$
【知识点】
图形的平移，图形的轴对称，坐标与图形变换
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形变换的基础题，前两问考查坐标变换的基本规则，难度较低；第三问需要明确平移扫过的图形形状，结合平行四边形面积公式计算即可，整体注重对基础概念和规则的考查。
【难度系数】
0.7
11. 如图,已知射线$CB// OA$,$∠ C=∠ OAB=100°$,点$E,F$在$CB$上,且满足$∠ FOB=∠ AOB$,$OE$平分$∠ COF$。
(1)求$∠ EOB$的度数;
(2)若在$OC$右侧左右平行移动$AB$,那么$∠ OBC:∠ OFC$的值是否随之发生变化?若变化,请找出变化规律;若不变,请求出这个比值。
(3)在$OC$右侧左右平行移动$AB$的过程中,是否存在$∠ OEC=∠ OBA$的情况?若存在,请直接写出$∠ OEC$度数;若不存在,请说明理由。
(1)求$∠ EOB$的度数;
(2)若在$OC$右侧左右平行移动$AB$,那么$∠ OBC:∠ OFC$的值是否随之发生变化?若变化,请找出变化规律;若不变,请求出这个比值。
(3)在$OC$右侧左右平行移动$AB$的过程中,是否存在$∠ OEC=∠ OBA$的情况?若存在,请直接写出$∠ OEC$度数;若不存在,请说明理由。
答案
11. 解:(1)$\because CB// OA$,$∠ C=100°$,
$\therefore ∠ COA=180°-∠ C=80°$。
$\because ∠ FOB=∠ AOB$,
$\therefore OB$ 平分$∠ AOF$。
又$\because OE$ 平分$∠ COF$,
$\therefore ∠ EOB=∠ EOF+∠ FOB=\frac{1}{2}∠ COA$
$=\frac{1}{2}×80°=40°$。
(2) 不变。
$\because ∠ FOB=∠ AOB$,
$\therefore ∠ AOB=\frac{1}{2}∠ FOA$。
$\because CB// OA$,
$\therefore ∠ OBC=∠ AOB$,$∠ OFC=∠ FOA$,
$\therefore ∠ OBC=\frac{1}{2}∠ OFC$,
即$∠ OBC:∠ OFC=\frac{1}{2}$。
(3) 存在,$∠ OEC=60°$。
$\therefore ∠ COA=180°-∠ C=80°$。
$\because ∠ FOB=∠ AOB$,
$\therefore OB$ 平分$∠ AOF$。
又$\because OE$ 平分$∠ COF$,
$\therefore ∠ EOB=∠ EOF+∠ FOB=\frac{1}{2}∠ COA$
$=\frac{1}{2}×80°=40°$。
(2) 不变。
$\because ∠ FOB=∠ AOB$,
$\therefore ∠ AOB=\frac{1}{2}∠ FOA$。
$\because CB// OA$,
$\therefore ∠ OBC=∠ AOB$,$∠ OFC=∠ FOA$,
$\therefore ∠ OBC=\frac{1}{2}∠ OFC$,
即$∠ OBC:∠ OFC=\frac{1}{2}$。
(3) 存在,$∠ OEC=60°$。
解析
【分析】
(1) 先利用平行线同旁内角互补的性质求出∠COA的度数；再结合角平分线定义，可知∠EOF是∠COF的一半，∠FOB是∠AOF的一半，因此∠EOB刚好是∠COA的一半，代入数值即可计算出结果。
(2) 判断比值是否变化时，先根据平行线内错角相等的性质，得到∠OBC=∠AOB，∠OFC=∠FOA；再结合已知∠FOB=∠AOB，可得∠FOA=2∠AOB，进而推出∠OFC和∠OBC的倍数关系，即可得到固定比值。
(3) 假设存在∠OEC=∠OBA的情况，可设∠AOB为未知量，结合三角形内角和、平行线的等角关系，以及前两问得到的∠EOB=40°等结论建立等量关系，求解即可得到∠OEC的度数。
【解析】
(1) $\because CB// OA$，$∠ C=100°$，
$\therefore ∠ COA=180°-∠ C=180°-100°=80°$。
$\because ∠ FOB=∠ AOB$，
$\therefore OB$平分$∠ AOF$，即$∠ FOB=\frac{1}{2}∠ AOF$。
又$\because OE$平分$∠ COF$，
$\therefore ∠ EOF=\frac{1}{2}∠ COF$。
$\therefore ∠ EOB=∠ EOF+∠ FOB=\frac{1}{2}(∠ COF+∠ AOF)=\frac{1}{2}∠ COA=\frac{1}{2}×80°=40°$。
(2) $∠ OBC:∠ OFC$的值不变，理由如下：
$\because ∠ FOB=∠ AOB$，
$\therefore ∠ AOB=\frac{1}{2}∠ FOA$。
$\because CB// OA$，
$\therefore ∠ OBC=∠ AOB$（两直线平行，内错角相等），$∠ OFC=∠ FOA$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ OBC=\frac{1}{2}∠ OFC$，
即$∠ OBC:∠ OFC=\frac{1}{2}$。
(3) 存在$∠ OEC=∠ OBA$的情况，推导如下：
设$∠ AOB=x$，
$\because CB// OA$，$\therefore ∠ OBC=∠ AOB=x$，
在$△ AOB$中，$∠ OAB=100°$，
$\therefore ∠ OBA=180°-100°-x=80°-x$。
$\because ∠ EOB=40°$，$\therefore ∠ COE=40°-x$，
在$△ COE$中，$∠ C=100°$，
$\therefore ∠ OEC=180°-∠ C-∠ COE=180°-100°-(40°-x)=40°+x$。
令$∠ OEC=∠ OBA$，即$40°+x=80°-x$，
解得$x=20°$，
$\therefore ∠ OEC=40°+20°=60°$。
【答案】
(1) $∠ EOB=40°$；
(2) 不变，$∠ OBC:∠ OFC=\frac{1}{2}$（或$1:2$）；
(3) 存在，$∠ OEC=60°$。
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，平移的性质
【点评】
本题结合平移背景考查了平行线性质与角平分线的综合应用，解题时要抓住平移过程中平行线的等角关系作为突破口，前两问侧重角的和差推导，第三问需要通过设未知量建立等量关系求解，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 先利用平行线同旁内角互补的性质求出∠COA的度数；再结合角平分线定义，可知∠EOF是∠COF的一半，∠FOB是∠AOF的一半，因此∠EOB刚好是∠COA的一半，代入数值即可计算出结果。
(2) 判断比值是否变化时，先根据平行线内错角相等的性质，得到∠OBC=∠AOB，∠OFC=∠FOA；再结合已知∠FOB=∠AOB，可得∠FOA=2∠AOB，进而推出∠OFC和∠OBC的倍数关系，即可得到固定比值。
(3) 假设存在∠OEC=∠OBA的情况，可设∠AOB为未知量，结合三角形内角和、平行线的等角关系，以及前两问得到的∠EOB=40°等结论建立等量关系，求解即可得到∠OEC的度数。
【解析】
(1) $\because CB// OA$，$∠ C=100°$，
$\therefore ∠ COA=180°-∠ C=180°-100°=80°$。
$\because ∠ FOB=∠ AOB$，
$\therefore OB$平分$∠ AOF$，即$∠ FOB=\frac{1}{2}∠ AOF$。
又$\because OE$平分$∠ COF$，
$\therefore ∠ EOF=\frac{1}{2}∠ COF$。
$\therefore ∠ EOB=∠ EOF+∠ FOB=\frac{1}{2}(∠ COF+∠ AOF)=\frac{1}{2}∠ COA=\frac{1}{2}×80°=40°$。
(2) $∠ OBC:∠ OFC$的值不变，理由如下：
$\because ∠ FOB=∠ AOB$，
$\therefore ∠ AOB=\frac{1}{2}∠ FOA$。
$\because CB// OA$，
$\therefore ∠ OBC=∠ AOB$（两直线平行，内错角相等），$∠ OFC=∠ FOA$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ OBC=\frac{1}{2}∠ OFC$，
即$∠ OBC:∠ OFC=\frac{1}{2}$。
(3) 存在$∠ OEC=∠ OBA$的情况，推导如下：
设$∠ AOB=x$，
$\because CB// OA$，$\therefore ∠ OBC=∠ AOB=x$，
在$△ AOB$中，$∠ OAB=100°$，
$\therefore ∠ OBA=180°-100°-x=80°-x$。
$\because ∠ EOB=40°$，$\therefore ∠ COE=40°-x$，
在$△ COE$中，$∠ C=100°$，
$\therefore ∠ OEC=180°-∠ C-∠ COE=180°-100°-(40°-x)=40°+x$。
令$∠ OEC=∠ OBA$，即$40°+x=80°-x$，
解得$x=20°$，
$\therefore ∠ OEC=40°+20°=60°$。
【答案】
(1) $∠ EOB=40°$；
(2) 不变，$∠ OBC:∠ OFC=\frac{1}{2}$（或$1:2$）；
(3) 存在，$∠ OEC=60°$。
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，平移的性质
【点评】
本题结合平移背景考查了平行线性质与角平分线的综合应用，解题时要抓住平移过程中平行线的等角关系作为突破口，前两问侧重角的和差推导，第三问需要通过设未知量建立等量关系求解，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
