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5.如图，楼梯的长为5 m、高为3 m。计划在楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少为
7
m。答案
5. 7
解析
【分析】
解题时可利用平移的思想简化计算：楼梯表面的地毯由水平部分和竖直部分组成，将所有水平台阶向下平移，其总长度等于楼梯所在直角三角形的水平直角边长；将所有竖直台阶向右平移，其总长度等于楼梯的高度（竖直直角边长）。因此只需先求出水平直角边的长度，再将两段长度相加即可得到地毯的最短长度。
【解析】
已知楼梯所在直角三角形的斜边长为5m，竖直直角边长为3m，根据勾股定理可得水平直角边长为：
$\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4(\mathrm{m})$
结合平移的性质，地毯的最短长度等于水平直角边长度与竖直直角边长度之和，即：
$4 + 3 = 7(\mathrm{m})$
【答案】
7
【知识点】
勾股定理；平移的性质
【点评】
本题结合生活实际考查平移性质的应用，通过平移将不规则的折线长度转化为两条直角边的长度和，大大降低了计算难度，解题的核心是准确理解平移后各段长度的对应关系。
【难度系数】
0.7
解题时可利用平移的思想简化计算：楼梯表面的地毯由水平部分和竖直部分组成，将所有水平台阶向下平移，其总长度等于楼梯所在直角三角形的水平直角边长；将所有竖直台阶向右平移，其总长度等于楼梯的高度（竖直直角边长）。因此只需先求出水平直角边的长度，再将两段长度相加即可得到地毯的最短长度。
【解析】
已知楼梯所在直角三角形的斜边长为5m，竖直直角边长为3m，根据勾股定理可得水平直角边长为：
$\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4(\mathrm{m})$
结合平移的性质，地毯的最短长度等于水平直角边长度与竖直直角边长度之和，即：
$4 + 3 = 7(\mathrm{m})$
【答案】
7
【知识点】
勾股定理；平移的性质
【点评】
本题结合生活实际考查平移性质的应用，通过平移将不规则的折线长度转化为两条直角边的长度和，大大降低了计算难度，解题的核心是准确理解平移后各段长度的对应关系。
【难度系数】
0.7
6.已知点A(m,4)向上平移2个单位长度后得到点B(3,n)，则$m-n=$
$-3$
。答案
6. $-3$
解析
【分析】
解题时首先回忆平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律：上下平移时，点的横坐标保持不变，纵坐标遵循“上加下减”（向上平移加平移单位，向下平移减平移单位）的规则。本题中已知点A平移后得到点B，我们可以先根据横坐标不变求出m的值，再根据纵坐标的平移规律求出n的值，最后代入计算m-n的结果即可。
【解析】
根据平面直角坐标系中点向上平移的坐标变化规律：点向上平移时，横坐标不变，纵坐标加平移的单位长度。
点A(m,4)向上平移2个单位长度后，得到的点的坐标为(m, 4+2)，即(m, 6)。
已知平移后得到点B(3,n)，因此对应坐标相等：
横坐标：$m=3$
纵坐标：$n=6$
所以$m-n=3-6=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 坐标与图形变化-平移
2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，主要考查点平移的坐标变化规律，牢记“左减右加（横坐标），上加下减（纵坐标）”的平移规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律：上下平移时，点的横坐标保持不变，纵坐标遵循“上加下减”（向上平移加平移单位，向下平移减平移单位）的规则。本题中已知点A平移后得到点B，我们可以先根据横坐标不变求出m的值，再根据纵坐标的平移规律求出n的值，最后代入计算m-n的结果即可。
【解析】
根据平面直角坐标系中点向上平移的坐标变化规律：点向上平移时，横坐标不变，纵坐标加平移的单位长度。
点A(m,4)向上平移2个单位长度后，得到的点的坐标为(m, 4+2)，即(m, 6)。
已知平移后得到点B(3,n)，因此对应坐标相等：
横坐标：$m=3$
纵坐标：$n=6$
所以$m-n=3-6=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 坐标与图形变化-平移
2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，主要考查点平移的坐标变化规律，牢记“左减右加（横坐标），上加下减（纵坐标）”的平移规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
7.如图，已知$A(-1,2),B(-4,5),C(-3,0)$三点，$△ A'B'C'$是由$△ ABC$平移后得到的，$△ ABC$中一点$P(x_0,y_0)$经平移后的对应点为$P'(x_0+5,y_0-2)$。
(1)请写出$A',B',C'$的坐标；
(2)试说明$△ A'B'C'$是如何由$△ ABC$平移得到的；
(3)求$△ A'B'C'$的面积。
(1)请写出$A',B',C'$的坐标；
(2)试说明$△ A'B'C'$是如何由$△ ABC$平移得到的；
(3)求$△ A'B'C'$的面积。
答案
7. 解:(1)$A',B',C'$的坐标分别为 $A'(4,0),B'(1,3),C'(2,-2)$。
(2)将$△ABC$ 先向右平移 5 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度,即得$△A'B'C'$。或先向下平移 2 个单位长度,再向右平移 5 个单位长度,即得$△A'B'C'$。
(3)设 $B'C'$交$x$ 轴于点 $D$,则点 $D$ 的坐标为$(\frac{8}{5},0)$,
$S_{△A'B'C'}=S_{△A'B'D}+S_{△A'C'D}$
$=\frac{1}{2}×(4-\frac{8}{5})×3+\frac{1}{2}×(4-\frac{8}{5})×2$
$=6$。
(2)将$△ABC$ 先向右平移 5 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度,即得$△A'B'C'$。或先向下平移 2 个单位长度,再向右平移 5 个单位长度,即得$△A'B'C'$。
(3)设 $B'C'$交$x$ 轴于点 $D$,则点 $D$ 的坐标为$(\frac{8}{5},0)$,
$S_{△A'B'C'}=S_{△A'B'D}+S_{△A'C'D}$
$=\frac{1}{2}×(4-\frac{8}{5})×3+\frac{1}{2}×(4-\frac{8}{5})×2$
$=6$。
解析
【分析】
本题分为三小问，解题思路如下：
(1) 题目直接给出了平移前后点的坐标变换规则：原坐标$(x_0,y_0)$平移后对应点为$(x_0+5,y_0-2)$，只需将A、B、C三点的坐标分别代入该规则，即可求出对应点$A',B',C'$的坐标。
(2) 平移方式可由坐标变化判断：横坐标加5对应沿x轴向右平移5个单位长度，纵坐标减2对应沿y轴向下平移2个单位长度，两个平移步骤的先后顺序不影响最终结果。
(3) 平移不改变图形的形状和大小，因此$△ A'B'C'$的面积与$△ ABC$的面积相等，我们既可以直接计算平移后三角形的面积，也可以计算原三角形面积简化运算，可采用割补法，或者分割为两个同底的小三角形计算面积和。
【解析】
(1) 根据平移规则：点平移后横坐标加5，纵坐标减2，代入各点坐标计算：
点A(-1,2)平移后：横坐标$-1+5=4$，纵坐标$2-2=0$，即$A'(4,0)$；
点B(-4,5)平移后：横坐标$-4+5=1$，纵坐标$5-2=3$，即$B'(1,3)$；
点C(-3,0)平移后：横坐标$-3+5=2$，纵坐标$0-2=-2$，即$C'(2,-2)$。
(2) 由坐标变化规律可知：横坐标增加5，说明图形向右平移5个单位长度；纵坐标减少2，说明图形向下平移2个单位长度。因此平移方式为：将$△ ABC$先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度得到$△ A'B'C'$（或先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度）。
(3) 求$△ A'B'C'$的面积：
首先求直线$B'C'$的解析式，设解析式为$y=kx+b$，代入$B'(1,3)$、$C'(2,-2)$得：
$\begin{cases}k+b=3\\2k+b=-2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-5\\b=8\end{cases}$，即$y=-5x+8$。
令$y=0$，解得$x=\frac{8}{5}$，即直线$B'C'$与x轴的交点$D(\frac{8}{5},0)$。
$△ A'B'C'$可分割为$△ A'B'D$和$△ A'C'D$，两个三角形的底均为$A'D=4-\frac{8}{5}=\frac{12}{5}$，高分别为$B'$到x轴的距离3、$C'$到x轴的距离2，因此：
$S_{△ A'B'C'}=S_{△ A'B'D}+S_{△ A'C'D}$
$=\frac{1}{2}×\frac{12}{5}×3+\frac{1}{2}×\frac{12}{5}×2$
$=\frac{1}{2}×\frac{12}{5}×(3+2)=6$。
【答案】
(1) $A'(4,0)$，$B'(1,3)$，$C'(2,-2)$；
(2) 将$△ ABC$先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度得到$△ A'B'C'$（或先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度）；
(3) $6$。
【知识点】
坐标与图形平移；平移的性质；坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是平移性质的基础应用题型，解题的核心是掌握平移前后点的坐标变化规律，同时灵活运用割补法计算坐标系内不规则图形的面积，利用平移前后面积相等的性质可进一步简化计算过程。
【难度系数】
0.7
本题分为三小问，解题思路如下：
(1) 题目直接给出了平移前后点的坐标变换规则：原坐标$(x_0,y_0)$平移后对应点为$(x_0+5,y_0-2)$，只需将A、B、C三点的坐标分别代入该规则，即可求出对应点$A',B',C'$的坐标。
(2) 平移方式可由坐标变化判断：横坐标加5对应沿x轴向右平移5个单位长度，纵坐标减2对应沿y轴向下平移2个单位长度，两个平移步骤的先后顺序不影响最终结果。
(3) 平移不改变图形的形状和大小，因此$△ A'B'C'$的面积与$△ ABC$的面积相等，我们既可以直接计算平移后三角形的面积，也可以计算原三角形面积简化运算，可采用割补法，或者分割为两个同底的小三角形计算面积和。
【解析】
(1) 根据平移规则：点平移后横坐标加5，纵坐标减2，代入各点坐标计算：
点A(-1,2)平移后：横坐标$-1+5=4$，纵坐标$2-2=0$，即$A'(4,0)$；
点B(-4,5)平移后：横坐标$-4+5=1$，纵坐标$5-2=3$，即$B'(1,3)$；
点C(-3,0)平移后：横坐标$-3+5=2$，纵坐标$0-2=-2$，即$C'(2,-2)$。
(2) 由坐标变化规律可知：横坐标增加5，说明图形向右平移5个单位长度；纵坐标减少2，说明图形向下平移2个单位长度。因此平移方式为：将$△ ABC$先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度得到$△ A'B'C'$（或先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度）。
(3) 求$△ A'B'C'$的面积：
首先求直线$B'C'$的解析式，设解析式为$y=kx+b$，代入$B'(1,3)$、$C'(2,-2)$得：
$\begin{cases}k+b=3\\2k+b=-2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-5\\b=8\end{cases}$，即$y=-5x+8$。
令$y=0$，解得$x=\frac{8}{5}$，即直线$B'C'$与x轴的交点$D(\frac{8}{5},0)$。
$△ A'B'C'$可分割为$△ A'B'D$和$△ A'C'D$，两个三角形的底均为$A'D=4-\frac{8}{5}=\frac{12}{5}$，高分别为$B'$到x轴的距离3、$C'$到x轴的距离2，因此：
$S_{△ A'B'C'}=S_{△ A'B'D}+S_{△ A'C'D}$
$=\frac{1}{2}×\frac{12}{5}×3+\frac{1}{2}×\frac{12}{5}×2$
$=\frac{1}{2}×\frac{12}{5}×(3+2)=6$。
【答案】
(1) $A'(4,0)$，$B'(1,3)$，$C'(2,-2)$；
(2) 将$△ ABC$先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度得到$△ A'B'C'$（或先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度）；
(3) $6$。
【知识点】
坐标与图形平移；平移的性质；坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是平移性质的基础应用题型，解题的核心是掌握平移前后点的坐标变化规律，同时灵活运用割补法计算坐标系内不规则图形的面积，利用平移前后面积相等的性质可进一步简化计算过程。
【难度系数】
0.7
8. 如图,正方形网格中,△ABC为格点三角形(三角形的顶点都在格点上)。
(1)将△ABC沿BC的方向平移,平移的距离是BC长的3倍,在网格中画出平移后得到的△A₁B₁C₁;
(2)如果网格中小正方形的边长为1,请直接写出△ABC在平移过程中扫过的面积。
(1)将△ABC沿BC的方向平移,平移的距离是BC长的3倍,在网格中画出平移后得到的△A₁B₁C₁;
(2)如果网格中小正方形的边长为1,请直接写出△ABC在平移过程中扫过的面积。
答案
8. (1) 如图所示。
(2) 10.5
解析
【分析】
(1) 平移作图需先确定平移的方向和距离：本题平移方向为BC所在的水平向右方向，BC长为1个单位，平移距离是BC长的3倍即3个单位长度。根据平移的性质，图形所有顶点都按相同方向、相同距离平移，因此只需将A、B、C三个顶点分别向右平移3个单位得到对应点，再顺次连接对应点即可得到平移后的三角形。
(2) 计算平移扫过的面积，首先明确扫过区域的组成：△ABC沿BC方向平移时，扫过的区域为BC平移形成的平行四边形加上原△ABC的面积，分别计算两部分面积相加即可得到结果。
【解析】
(1) 作图步骤：① 确定平移方向为水平向右，平移距离为3个小正方形边长；② 将点A向右平移3格得到A₁，点B向右平移3格得到B₁，点C向右平移3格得到C₁；③ 顺次连接A₁B₁、B₁C₁、A₁C₁，所得△A₁B₁C₁即为所求。
(2) 面积计算：
已知网格中小正方形边长为1，可得BC的长度为1，点A到BC所在直线的垂直距离为3。
首先计算△ABC的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×1×3=1.5$
BC平移形成的平行四边形$BCC_1B_1$的底$BB_1=3$，高为3，其面积为：
$S_{\mathrm{平行四边形}BCC_1B_1}=底×高=3×3=9$
因此平移过程中扫过的总面积为：
$S=9+1.5=10.5$
【答案】
(1)
(2) 10.5
【知识点】
平移作图，三角形面积计算，平移的性质
【点评】
本题是平移章节的基础典型题，作图时需注意平移方向、距离的准确性，计算扫过面积时要正确判断扫过区域的组成，能有效考查对平移性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 平移作图需先确定平移的方向和距离：本题平移方向为BC所在的水平向右方向，BC长为1个单位，平移距离是BC长的3倍即3个单位长度。根据平移的性质，图形所有顶点都按相同方向、相同距离平移，因此只需将A、B、C三个顶点分别向右平移3个单位得到对应点，再顺次连接对应点即可得到平移后的三角形。
(2) 计算平移扫过的面积，首先明确扫过区域的组成：△ABC沿BC方向平移时，扫过的区域为BC平移形成的平行四边形加上原△ABC的面积，分别计算两部分面积相加即可得到结果。
【解析】
(1) 作图步骤：① 确定平移方向为水平向右，平移距离为3个小正方形边长；② 将点A向右平移3格得到A₁，点B向右平移3格得到B₁，点C向右平移3格得到C₁；③ 顺次连接A₁B₁、B₁C₁、A₁C₁，所得△A₁B₁C₁即为所求。
(2) 面积计算：
已知网格中小正方形边长为1，可得BC的长度为1，点A到BC所在直线的垂直距离为3。
首先计算△ABC的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×1×3=1.5$
BC平移形成的平行四边形$BCC_1B_1$的底$BB_1=3$，高为3，其面积为：
$S_{\mathrm{平行四边形}BCC_1B_1}=底×高=3×3=9$
因此平移过程中扫过的总面积为：
$S=9+1.5=10.5$
【答案】
(1)
(2) 10.5
【知识点】
平移作图，三角形面积计算，平移的性质
【点评】
本题是平移章节的基础典型题，作图时需注意平移方向、距离的准确性，计算扫过面积时要正确判断扫过区域的组成，能有效考查对平移性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
