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例2 如图,在网格上平移$△ ABC$,将$△ ABC$的顶点A平移到点D处。
(1)请作出平移后的图形$△ DEF$；
(2)请求出$△ DEF$的面积(每个网格是边长为1的正方形)。
[点拨] 本题考查利用平移变换作图、三角形的面积,熟练掌握网格结构、准确找出对应点的位置是解题的关键。
[解] (1)$△ DEF$如图所示。
(2)由图可知,
$S_{△ DEF}=3×4-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×2×1=12-4-3-1=4$。
(1)请作出平移后的图形$△ DEF$；
(2)请求出$△ DEF$的面积(每个网格是边长为1的正方形)。
[点拨] 本题考查利用平移变换作图、三角形的面积,熟练掌握网格结构、准确找出对应点的位置是解题的关键。
[解] (1)$△ DEF$如图所示。
(2)由图可知,
$S_{△ DEF}=3×4-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×2×1=12-4-3-1=4$。
答案
解：
(1) 连接AD，根据平移的性质，将点B沿AD方向平移与AD长度相等的距离得到对应点E，将点C沿AD方向平移与AD长度相等的距离得到对应点F，顺次连接D、E、F，得到的△DEF即为所求的平移后的图形。
(2) 采用割补法计算△DEF的面积：
$\begin{aligned}S_{△ DEF}&=3×4 - \frac{1}{2}×2×4 - \frac{1}{2}×2×3 - \frac{1}{2}×2×1\\&=12 - 4 - 3 - 1\\&=4\end{aligned}$
答：△DEF的面积为4。
(1) 连接AD，根据平移的性质，将点B沿AD方向平移与AD长度相等的距离得到对应点E，将点C沿AD方向平移与AD长度相等的距离得到对应点F，顺次连接D、E、F，得到的△DEF即为所求的平移后的图形。
(2) 采用割补法计算△DEF的面积：
$\begin{aligned}S_{△ DEF}&=3×4 - \frac{1}{2}×2×4 - \frac{1}{2}×2×3 - \frac{1}{2}×2×1\\&=12 - 4 - 3 - 1\\&=4\end{aligned}$
答：△DEF的面积为4。
解析
【分析】
(1) 对于平移作图问题，核心依据是平移的性质：平移前后对应点的连线平行（或共线）且相等，所有点的平移方向、平移距离都相同。解题时首先确定点A到点D的平移方向和距离，再将点B、C按照相同的方向和距离平移得到对应点E、F，最后顺次连接D、E、F即可得到平移后的图形。
(2) 计算网格中斜三角形的面积时，由于三角形的边不在网格线上，很难直接用“底×高÷2”计算，因此选择割补法：将三角形补成一个包含它的矩形，用矩形的面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到所求三角形的面积，这种方法能大幅降低计算难度。
【解析】
(1) 首先连接AD，根据平移的性质，将点B沿AD的方向平移长度等于AD的距离，得到对应点E；再将点C沿AD的方向平移长度等于AD的距离，得到对应点F；最后顺次连接D、E、F，得到的△DEF即为所求的平移后的图形。
(2) 采用割补法计算△DEF的面积：
先找到△DEF所在的长为4、宽为3的矩形，再用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积：
$\begin{aligned}S_{△ DEF}&=3×4 - \frac{1}{2}×2×4 - \frac{1}{2}×2×3 - \frac{1}{2}×2×1\\&=12 - 4 - 3 - 1\\&=4\end{aligned}$
【答案】
(1) 按上述步骤作出的△DEF即为所求；
(2) △DEF的面积为4。
【知识点】
平移的性质、平移作图、割补法求面积
【点评】
本题是平移章节的基础常考题，主要考查平移作图的方法和网格中不规则图形的面积计算技巧，解题的关键是熟练掌握平移的性质找准对应点，灵活运用割补法简化面积计算，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.8
(1) 对于平移作图问题，核心依据是平移的性质：平移前后对应点的连线平行（或共线）且相等，所有点的平移方向、平移距离都相同。解题时首先确定点A到点D的平移方向和距离，再将点B、C按照相同的方向和距离平移得到对应点E、F，最后顺次连接D、E、F即可得到平移后的图形。
(2) 计算网格中斜三角形的面积时，由于三角形的边不在网格线上，很难直接用“底×高÷2”计算，因此选择割补法：将三角形补成一个包含它的矩形，用矩形的面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到所求三角形的面积，这种方法能大幅降低计算难度。
【解析】
(1) 首先连接AD，根据平移的性质，将点B沿AD的方向平移长度等于AD的距离，得到对应点E；再将点C沿AD的方向平移长度等于AD的距离，得到对应点F；最后顺次连接D、E、F，得到的△DEF即为所求的平移后的图形。
(2) 采用割补法计算△DEF的面积：
先找到△DEF所在的长为4、宽为3的矩形，再用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积：
$\begin{aligned}S_{△ DEF}&=3×4 - \frac{1}{2}×2×4 - \frac{1}{2}×2×3 - \frac{1}{2}×2×1\\&=12 - 4 - 3 - 1\\&=4\end{aligned}$
【答案】
(1) 按上述步骤作出的△DEF即为所求；
(2) △DEF的面积为4。
【知识点】
平移的性质、平移作图、割补法求面积
【点评】
本题是平移章节的基础常考题，主要考查平移作图的方法和网格中不规则图形的面积计算技巧，解题的关键是熟练掌握平移的性质找准对应点，灵活运用割补法简化面积计算，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.8
| 变式训练2 | 如图，将△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度。
(1)作出平移后的△A'B'C'；
(2)求△A'B'C'的面积。
(1)作出平移后的△A'B'C'；
(2)求△A'B'C'的面积。
答案
(1) 如图所示。
(2)$△A'B'C'$的面积是 $7×8-\frac{1}{2}×3×7-\frac{1}{2}×5×2-\frac{1}{2}×8×5=20.5$。
解析
【分析】
(1) 要作出平移后的△A'B'C'，首先确定原△ABC三个顶点的坐标，再根据平移规则：向右平移4个单位即横坐标加4，向下平移5个单位即纵坐标减5，分别计算出A、B、C平移后对应点A'、B'、C'的坐标，最后在坐标系中描出三个对应点，顺次连接即可得到平移后的三角形。
(2) 根据平移的性质，平移前后图形的形状、大小完全相同，面积不变，因此求△A'B'C'的面积可以转化为求原△ABC的面积。网格中求三角形面积常用割补法：将三角形放在能完全覆盖它的最小矩形内，用矩形面积减去三角形周围三个直角三角形的面积，即可得到所求三角形的面积。
【解析】
(1) 首先确定原三角形三个顶点坐标：A(-2,5)，B(-5,-2)，C(3,3)。
根据平移规则计算对应点坐标：
A'的横坐标：$-2+4=2$，纵坐标：$5-5=0$，即$A'(2,0)$；
B'的横坐标：$-5+4=-1$，纵坐标：$-2-5=-7$，即$B'(-1,-7)$；
C'的横坐标：$3+4=7$，纵坐标：$3-5=-2$，即$C'(7,-2)$。
在坐标系中描出A'、B'、C'三点，顺次连接，得到△A'B'C'。
(2) 由平移的性质可知，$S_{△ A'B'C'}=S_{△ ABC}$。
用割补法计算面积：将△ABC放在长为8、宽为7的矩形中，矩形面积为$7×8=56$。
周围三个直角三角形的面积分别为：
$\frac{1}{2}×3×7=10.5$，$\frac{1}{2}×5×2=5$，$\frac{1}{2}×8×5=20$。
因此$S_{△ A'B'C'}=56-10.5-5-20=20.5$。
【答案】
(1) 如图所示。
(2) $△ A'B'C'$的面积是$\boxed{20.5}$。
【知识点】
平移作图，平移的性质，割补法求面积
【点评】
本题考查平移作图和网格中图形面积的计算，平移作图的核心是准确计算对应点的坐标，利用平移前后面积相等的性质可简化面积计算步骤，割补法是解决网格中不规则图形面积问题的常用方法，需熟练掌握其操作思路。
【难度系数】
0.7
(1) 要作出平移后的△A'B'C'，首先确定原△ABC三个顶点的坐标，再根据平移规则：向右平移4个单位即横坐标加4，向下平移5个单位即纵坐标减5，分别计算出A、B、C平移后对应点A'、B'、C'的坐标，最后在坐标系中描出三个对应点，顺次连接即可得到平移后的三角形。
(2) 根据平移的性质，平移前后图形的形状、大小完全相同，面积不变，因此求△A'B'C'的面积可以转化为求原△ABC的面积。网格中求三角形面积常用割补法：将三角形放在能完全覆盖它的最小矩形内，用矩形面积减去三角形周围三个直角三角形的面积，即可得到所求三角形的面积。
【解析】
(1) 首先确定原三角形三个顶点坐标：A(-2,5)，B(-5,-2)，C(3,3)。
根据平移规则计算对应点坐标：
A'的横坐标：$-2+4=2$，纵坐标：$5-5=0$，即$A'(2,0)$；
B'的横坐标：$-5+4=-1$，纵坐标：$-2-5=-7$，即$B'(-1,-7)$；
C'的横坐标：$3+4=7$，纵坐标：$3-5=-2$，即$C'(7,-2)$。
在坐标系中描出A'、B'、C'三点，顺次连接，得到△A'B'C'。
(2) 由平移的性质可知，$S_{△ A'B'C'}=S_{△ ABC}$。
用割补法计算面积：将△ABC放在长为8、宽为7的矩形中，矩形面积为$7×8=56$。
周围三个直角三角形的面积分别为：
$\frac{1}{2}×3×7=10.5$，$\frac{1}{2}×5×2=5$，$\frac{1}{2}×8×5=20$。
因此$S_{△ A'B'C'}=56-10.5-5-20=20.5$。
【答案】
(1) 如图所示。
(2) $△ A'B'C'$的面积是$\boxed{20.5}$。
【知识点】
平移作图，平移的性质，割补法求面积
【点评】
本题考查平移作图和网格中图形面积的计算，平移作图的核心是准确计算对应点的坐标，利用平移前后面积相等的性质可简化面积计算步骤，割补法是解决网格中不规则图形面积问题的常用方法，需熟练掌握其操作思路。
【难度系数】
0.7
1. 下列现象是平移的是 （
A.电梯从底楼升到顶楼
B.卫星绕地球运动
C.碟片在光驱中运行
D.树叶从树上落下
A
）A.电梯从底楼升到顶楼
B.卫星绕地球运动
C.碟片在光驱中运行
D.树叶从树上落下
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先要明确平移的核心特征：平移是图形沿某一固定直线方向移动一定距离的运动，运动过程中不改变图形的形状、大小和自身的朝向，不存在旋转动作。接下来只需将每个选项的现象和平移的特征逐一比对，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移，平移不改变图形的形状、大小和自身的方向。
对各选项逐一分析：
A. 电梯从底楼升到顶楼，整体沿竖直方向做直线运动，所有点的运动方向、移动距离均相同，自身朝向没有变化，符合平移的特征；
B. 卫星绕地球运动，运动轨迹为曲线，运动方向不断发生改变，不符合平移的特征；
C. 碟片在光驱中运行，是碟片绕中心轴做旋转运动，自身朝向不断变化，不符合平移的特征；
D. 树叶从树上落下，飘落过程中轨迹不规则，且树叶可能发生翻转，不符合平移的特征。
综上，只有A选项属于平移现象。
【答案】
A
【知识点】
1. 平移的定义
2. 平移的特征
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查对平移本质特征的掌握，解题的关键是区分平移和旋转、不规则运动的差异，结合生活常识就能快速判断。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确平移的核心特征：平移是图形沿某一固定直线方向移动一定距离的运动，运动过程中不改变图形的形状、大小和自身的朝向，不存在旋转动作。接下来只需将每个选项的现象和平移的特征逐一比对，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移，平移不改变图形的形状、大小和自身的方向。
对各选项逐一分析：
A. 电梯从底楼升到顶楼，整体沿竖直方向做直线运动，所有点的运动方向、移动距离均相同，自身朝向没有变化，符合平移的特征；
B. 卫星绕地球运动，运动轨迹为曲线，运动方向不断发生改变，不符合平移的特征；
C. 碟片在光驱中运行，是碟片绕中心轴做旋转运动，自身朝向不断变化，不符合平移的特征；
D. 树叶从树上落下，飘落过程中轨迹不规则，且树叶可能发生翻转，不符合平移的特征。
综上，只有A选项属于平移现象。
【答案】
A
【知识点】
1. 平移的定义
2. 平移的特征
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查对平移本质特征的掌握，解题的关键是区分平移和旋转、不规则运动的差异，结合生活常识就能快速判断。
【难度系数】
0.9
2.如图所示，把边长为2的正方形的局部进行图(1)～图(4)的变换，拼成图(5)，则图(5)的面积是（
A.18
B.16
C.12
D.8
B
）A.18
B.16
C.12
D.8
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先要抓住图形变换的核心性质：平移、剪拼这类变换只改变图形的位置和形状，不改变图形的面积，也就是等积变换。第一步先计算单个原正方形的面积，得到单个变换后图形（图4）的面积；第二步观察图5是由几个图4的图形拼接而成，将单个面积乘个数即可得到图5的总面积。
【解析】
1. 计算原正方形的面积：已知正方形边长为2，根据正方形面积公式可得，原正方形面积=边长×边长=2×2=4。
2. 分析变换的等积性：图(1)到图(4)的变换属于剪拼、平移类变换，变换前后面积不变，因此图(4)的面积与原正方形面积相等，为4。
3. 计算图(5)的总面积：观察图(5)可知，它是由4个和图(4)完全相同的图形拼接得到，因此图(5)的面积=4×4=16。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等积变换，正方形面积计算，图形拼接
【点评】
本题侧重考察图形变换中等积性质的应用，解题的关键是明确剪拼、平移变换不改变图形面积，同时准确识别拼接的图形个数，是图形变换类的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先要抓住图形变换的核心性质：平移、剪拼这类变换只改变图形的位置和形状，不改变图形的面积，也就是等积变换。第一步先计算单个原正方形的面积，得到单个变换后图形（图4）的面积；第二步观察图5是由几个图4的图形拼接而成，将单个面积乘个数即可得到图5的总面积。
【解析】
1. 计算原正方形的面积：已知正方形边长为2，根据正方形面积公式可得，原正方形面积=边长×边长=2×2=4。
2. 分析变换的等积性：图(1)到图(4)的变换属于剪拼、平移类变换，变换前后面积不变，因此图(4)的面积与原正方形面积相等，为4。
3. 计算图(5)的总面积：观察图(5)可知，它是由4个和图(4)完全相同的图形拼接得到，因此图(5)的面积=4×4=16。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等积变换，正方形面积计算，图形拼接
【点评】
本题侧重考察图形变换中等积性质的应用，解题的关键是明确剪拼、平移变换不改变图形面积，同时准确识别拼接的图形个数，是图形变换类的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
3.在直角坐标系中，点$P(2,-4)$向右平移4个单位长度后的点的坐标是（
A.$(2,0)$
B.$(2,-8)$
C.$(6,-4)$
D.$(-2,-4)$
C
）A.$(2,0)$
B.$(2,-8)$
C.$(6,-4)$
D.$(-2,-4)$
答案
3. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律：水平方向平移时，纵坐标不变，横坐标遵循“右加左减”的规则（向右平移横坐标加平移单位，向左平移横坐标减平移单位）；竖直方向平移时，横坐标不变，纵坐标遵循“上加下减”的规则。本题是向右平移，属于水平平移，因此只需要调整横坐标，纵坐标保持不变，再代入计算即可得到平移后的点坐标。
【解析】
根据平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律：点向右平移时，纵坐标不变，横坐标加上平移的单位长度。
已知点P的坐标为$(2,-4)$，向右平移4个单位长度，因此平移后点的横坐标为：$2+4=6$，纵坐标保持$-4$不变，即平移后的点坐标为$(6,-4)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
点的平移坐标变化规律
【点评】
本题是图形平移部分的基础题型，核心考查点平移时的坐标变化规则，难度较低，只要熟记平移对应的坐标变化口诀就能快速准确解题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律：水平方向平移时，纵坐标不变，横坐标遵循“右加左减”的规则（向右平移横坐标加平移单位，向左平移横坐标减平移单位）；竖直方向平移时，横坐标不变，纵坐标遵循“上加下减”的规则。本题是向右平移，属于水平平移，因此只需要调整横坐标，纵坐标保持不变，再代入计算即可得到平移后的点坐标。
【解析】
根据平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律：点向右平移时，纵坐标不变，横坐标加上平移的单位长度。
已知点P的坐标为$(2,-4)$，向右平移4个单位长度，因此平移后点的横坐标为：$2+4=6$，纵坐标保持$-4$不变，即平移后的点坐标为$(6,-4)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
点的平移坐标变化规律
【点评】
本题是图形平移部分的基础题型，核心考查点平移时的坐标变化规则，难度较低，只要熟记平移对应的坐标变化口诀就能快速准确解题。
【难度系数】
0.9
4. 如图，$△ DEF$ 是由 $△ ABC$ 平移得到的。已知点 $A,D$ 之间的距离为 $1,CE=2$,则 $BC=$（
A.3
B.1
C.2
D.不确定
A
）A.3
B.1
C.2
D.不确定
答案
4. A
解析
【分析】
遇到图形平移的题目，首先回忆平移的核心性质：平移前后，对应点的连线长度相等，对应边也相等。本题中△DEF由△ABC平移得到，先确定对应点：A对应D，B对应E，C对应F，因此对应点连线BE的长度与AD相等，可先求出BE的长度，再观察BC是由BE和CE两段拼接而成，用线段和差计算即可得到BC的长度。
【解析】
根据平移的性质：平移前后对应点所连的线段长度相等。
∵△DEF是由△ABC平移得到的，点A的对应点为D，点B的对应点为E
∴BE = AD = 1
又
∵线段BC由BE和EC组成，且CE=2
∴BC = BE + CE = 1 + 2 = 3
【答案】
A
【知识点】
平移的性质；线段和差计算
【点评】
本题是平移性质的基础应用题型，解题的关键是准确找到平移的对应点，利用平移对应点连线相等的性质求出未知线段长度，再结合线段和差运算即可得出结果。
【难度系数】
0.8
遇到图形平移的题目，首先回忆平移的核心性质：平移前后，对应点的连线长度相等，对应边也相等。本题中△DEF由△ABC平移得到，先确定对应点：A对应D，B对应E，C对应F，因此对应点连线BE的长度与AD相等，可先求出BE的长度，再观察BC是由BE和CE两段拼接而成，用线段和差计算即可得到BC的长度。
【解析】
根据平移的性质：平移前后对应点所连的线段长度相等。
∵△DEF是由△ABC平移得到的，点A的对应点为D，点B的对应点为E
∴BE = AD = 1
又
∵线段BC由BE和EC组成，且CE=2
∴BC = BE + CE = 1 + 2 = 3
【答案】
A
【知识点】
平移的性质；线段和差计算
【点评】
本题是平移性质的基础应用题型，解题的关键是准确找到平移的对应点，利用平移对应点连线相等的性质求出未知线段长度，再结合线段和差运算即可得出结果。
【难度系数】
0.8
