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11.为推进“健康第一”理念的落实，某校拟采购一批智能篮球与计数跳绳。已知智能篮球单价为120元/个，计数跳绳单价为20元/条。供应商为学校提供以下两种采购方案：
方案①：所有器材总金额享受九折优惠；
方案②：每购买一个智能篮球，即配套赠送一条计数跳绳。
学校计划采购智能篮球50个、计数跳绳x条(x＞50)。
请运用所学知识，解决以下问题：
(1)按方案①购买智能篮球和计数跳绳共需付款
(2)当计数跳绳的数量x为180时，通过计算说明此时按哪种方案购买省钱。
(3)请你猜一猜、试一试计数跳绳的数量x为多少时，两种购买方案的费用相同。
方案①：所有器材总金额享受九折优惠；
方案②：每购买一个智能篮球，即配套赠送一条计数跳绳。
学校计划采购智能篮球50个、计数跳绳x条(x＞50)。
请运用所学知识，解决以下问题：
(1)按方案①购买智能篮球和计数跳绳共需付款
$18x+5400$
元；按方案②购买智能篮球和计数跳绳共需付款$20x+5000$
元(均用含x的代数式表示并写出最后结果)。(2)当计数跳绳的数量x为180时，通过计算说明此时按哪种方案购买省钱。
(3)请你猜一猜、试一试计数跳绳的数量x为多少时，两种购买方案的费用相同。
答案
(1)按方案①购买智能篮球和计数跳绳共需付款$120×0.9×50+20×0.9x=(18x+5400)$元；
按方案②购买智能篮球和计数跳绳共需付款$120×50+20(x-50)=(20x+5000)$元。
(2)当 $x=180$ 时，
$18x+5400=18×180+5400=8640$(元)；
$20x+5000=20×180+5000=8600$(元)。
因为 $8640＞8600$，
所以当计数跳绳的数量 $x$ 为 180 时，按方案②购买省钱。
(3)根据题意得 $18x+5400=20x+5000$，
解得 $x=200$。
答：当计数跳绳的数量 $x$ 为 200 时，两种购买方案的费用相同。
按方案②购买智能篮球和计数跳绳共需付款$120×50+20(x-50)=(20x+5000)$元。
(2)当 $x=180$ 时，
$18x+5400=18×180+5400=8640$(元)；
$20x+5000=20×180+5000=8600$(元)。
因为 $8640＞8600$，
所以当计数跳绳的数量 $x$ 为 180 时，按方案②购买省钱。
(3)根据题意得 $18x+5400=20x+5000$，
解得 $x=200$。
答：当计数跳绳的数量 $x$ 为 200 时，两种购买方案的费用相同。
解析
【分析】
(1) 先梳理两种优惠方案的计费规则：方案①是所有器材总价打九折，先计算50个篮球和x条跳绳的原价总和，再乘0.9化简即可得到应付金额；方案②是买1个篮球赠送1条跳绳，采购50个篮球会赠送50条跳绳，因此只需额外购买(x-50)条跳绳，分别计算50个篮球的费用和额外购买跳绳的费用，相加化简即可。
(2) 将x=180分别代入第(1)问得到的两个代数式，算出两种方案的实际付款金额，比较大小后金额更小的方案更省钱。
(3) 要让两种方案费用相同，只需令两个表示付款金额的代数式相等，得到关于x的一元一次方程，解方程即可求出x的取值。
【解析】
(1) 方案①：总原价为$120×50 + 20x$元，打九折后付款金额为：
$0.9×(120×50 + 20x)=0.9×(6000+20x)=18x + 5400$元；
方案②：赠送50条跳绳，需付费的跳绳数量为$(x-50)$条，总付款金额为：
$120×50 + 20(x-50)=6000 + 20x - 1000=20x + 5000$元。
(2) 当$x=180$时：
方案①的费用：$18×180 + 5400=3240 + 5400=8640$元；
方案②的费用：$20×180 + 5000=3600 + 5000=8600$元；
因为$8640＞8600$，所以此时按方案②购买省钱。
(3) 令两种方案费用相等，列方程：
$18x + 5400 = 20x + 5000$
移项得：$5400 - 5000 = 20x - 18x$
合并同类项得：$400 = 2x$
系数化为1得：$x=200$
即当x=200时，两种方案费用相同。
【答案】
(1) $\boldsymbol{18x+5400}$；$\boldsymbol{20x+5000}$
(2) 当计数跳绳的数量x为180时，按方案②购买省钱。
(3) 当计数跳绳的数量x为200时，两种购买方案的费用相同。
【知识点】
列代数式；代数式求值；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中的采购优惠场景出题，解题的核心是准确理解两种优惠方案的计费规则，再根据要求计算或列方程求解，能很好地锻炼数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 先梳理两种优惠方案的计费规则：方案①是所有器材总价打九折，先计算50个篮球和x条跳绳的原价总和，再乘0.9化简即可得到应付金额；方案②是买1个篮球赠送1条跳绳，采购50个篮球会赠送50条跳绳，因此只需额外购买(x-50)条跳绳，分别计算50个篮球的费用和额外购买跳绳的费用，相加化简即可。
(2) 将x=180分别代入第(1)问得到的两个代数式，算出两种方案的实际付款金额，比较大小后金额更小的方案更省钱。
(3) 要让两种方案费用相同，只需令两个表示付款金额的代数式相等，得到关于x的一元一次方程，解方程即可求出x的取值。
【解析】
(1) 方案①：总原价为$120×50 + 20x$元，打九折后付款金额为：
$0.9×(120×50 + 20x)=0.9×(6000+20x)=18x + 5400$元；
方案②：赠送50条跳绳，需付费的跳绳数量为$(x-50)$条，总付款金额为：
$120×50 + 20(x-50)=6000 + 20x - 1000=20x + 5000$元。
(2) 当$x=180$时：
方案①的费用：$18×180 + 5400=3240 + 5400=8640$元；
方案②的费用：$20×180 + 5000=3600 + 5000=8600$元；
因为$8640＞8600$，所以此时按方案②购买省钱。
(3) 令两种方案费用相等，列方程：
$18x + 5400 = 20x + 5000$
移项得：$5400 - 5000 = 20x - 18x$
合并同类项得：$400 = 2x$
系数化为1得：$x=200$
即当x=200时，两种方案费用相同。
【答案】
(1) $\boldsymbol{18x+5400}$；$\boldsymbol{20x+5000}$
(2) 当计数跳绳的数量x为180时，按方案②购买省钱。
(3) 当计数跳绳的数量x为200时，两种购买方案的费用相同。
【知识点】
列代数式；代数式求值；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中的采购优惠场景出题，解题的核心是准确理解两种优惠方案的计费规则，再根据要求计算或列方程求解，能很好地锻炼数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
1. 给出下列方程:①$y=x-7$;②$2x^2 -x=6$;③$\frac{2}{3}m -5=m$;④$\frac{2}{x-1}=1$;⑤$\frac{x-3}{2}=1$。其中是一元一次方程的有(
A.2个
B.3个
C.4个
D.1个
A
)。A.2个
B.3个
C.4个
D.1个
答案
A
解析
【分析】
要判断哪些是一元一次方程，首先要明确一元一次方程的三个核心判定条件：1. 只含有1个未知数；2. 未知数的最高次数是1；3. 是整式方程（即方程的分母中不含未知数）。解题时我们拿着这三个条件逐个对比给出的5个方程，排除不符合要求的，统计符合条件的方程个数即可选出答案。
【解析】
首先明确一元一次方程的判定标准：只含一个未知数、未知数最高次数为1、是整式方程。
逐个判断各方程：
①$y=x-7$：含有$x$和$y$两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元一次方程；
②$2x^2 -x=6$：未知数$x$的最高次数是2，不符合“未知数最高次数为1”的要求，不是一元一次方程；
③$\frac{2}{3}m -5=m$：只含未知数$m$，$m$的最高次数是1，且是整式方程，符合一元一次方程的定义；
④$\frac{2}{x-1}=1$：分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
⑤$\frac{x-3}{2}=1$：只含未知数$x$，$x$的最高次数是1，且是整式方程，符合一元一次方程的定义。
综上，符合要求的是③和⑤，共2个。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的定义、整式方程的概念
【点评】
本题是基础概念考察题，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的三个判定条件，排查时要注意三个条件缺一不可，尤其要注意区分整式方程和分式方程，不要误把分母含未知数的方程当成一元一次方程。
【难度系数】
0.7
要判断哪些是一元一次方程，首先要明确一元一次方程的三个核心判定条件：1. 只含有1个未知数；2. 未知数的最高次数是1；3. 是整式方程（即方程的分母中不含未知数）。解题时我们拿着这三个条件逐个对比给出的5个方程，排除不符合要求的，统计符合条件的方程个数即可选出答案。
【解析】
首先明确一元一次方程的判定标准：只含一个未知数、未知数最高次数为1、是整式方程。
逐个判断各方程：
①$y=x-7$：含有$x$和$y$两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元一次方程；
②$2x^2 -x=6$：未知数$x$的最高次数是2，不符合“未知数最高次数为1”的要求，不是一元一次方程；
③$\frac{2}{3}m -5=m$：只含未知数$m$，$m$的最高次数是1，且是整式方程，符合一元一次方程的定义；
④$\frac{2}{x-1}=1$：分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
⑤$\frac{x-3}{2}=1$：只含未知数$x$，$x$的最高次数是1，且是整式方程，符合一元一次方程的定义。
综上，符合要求的是③和⑤，共2个。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的定义、整式方程的概念
【点评】
本题是基础概念考察题，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的三个判定条件，排查时要注意三个条件缺一不可，尤其要注意区分整式方程和分式方程，不要误把分母含未知数的方程当成一元一次方程。
【难度系数】
0.7
2.在一次AI知识竞赛中共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分。要得到34分，必须答对的题数是(
A.6
B.7
C.8
D.9
C
)道。A.6
B.7
C.8
D.9
答案
C
解析
【分析】
这是典型的积分类应用题，我们可以通过设未知数列一元一次方程求解。首先明确等量关系：最终得分=答对题目获得的总分数 - 不答或答错倒扣的总分数。第一步设答对的题数为未知数，第二步表示出不答或答错的题数，第三步根据等量关系列方程，最后解方程得到结果即可。
【解析】
设要得到34分，必须答对的题数是$x$道，则不答或答错的题数为$(10-x)$道。
根据题意可列方程：
$5x - 3(10 - x) = 34$
去括号得：
$5x - 30 + 3x = 34$
合并同类项得：
$8x = 64$
系数化为1得：
$x = 8$
所以必须答对8道题。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的实际应用；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础的方程应用类题型，核心是找准题目中的等量关系，明确得分、扣分的计算规则，正确列出方程即可快速求解，是积分类问题的常考题型。
【难度系数】
0.8
这是典型的积分类应用题，我们可以通过设未知数列一元一次方程求解。首先明确等量关系：最终得分=答对题目获得的总分数 - 不答或答错倒扣的总分数。第一步设答对的题数为未知数，第二步表示出不答或答错的题数，第三步根据等量关系列方程，最后解方程得到结果即可。
【解析】
设要得到34分，必须答对的题数是$x$道，则不答或答错的题数为$(10-x)$道。
根据题意可列方程：
$5x - 3(10 - x) = 34$
去括号得：
$5x - 30 + 3x = 34$
合并同类项得：
$8x = 64$
系数化为1得：
$x = 8$
所以必须答对8道题。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的实际应用；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础的方程应用类题型，核心是找准题目中的等量关系，明确得分、扣分的计算规则，正确列出方程即可快速求解，是积分类问题的常考题型。
【难度系数】
0.8
3.某校开展读书活动。小莹5天阅读的总页数比小亮7天阅读的总页数少12页，小莹平均每天阅读的页数比小亮平均每天阅读的页数的2倍少12页。若设小亮平均每天阅读x页，则下列方程正确的是（
A.$7x -12 =5(2x -12)$
B.$7x -12=5(2x +12)$
C.$7x +12=5(2x -12)$
D.$7x +12=5(2x +12)$
A
）。A.$7x -12 =5(2x -12)$
B.$7x -12=5(2x +12)$
C.$7x +12=5(2x -12)$
D.$7x +12=5(2x +12)$
答案
A
解析
【分析】
本题是实际问题抽象为一元一次方程的题型，解题思路为先根据已知条件用含x的代数式表示出小莹每天的阅读页数，再分别计算小亮7天的总阅读页数、小莹5天的总阅读页数，最后抓住“小莹5天阅读总页数比小亮7天总页数少12页”的等量关系列方程，匹配对应选项即可。
【解析】
解：已知设小亮平均每天阅读x页，
1. 表示小莹每天阅读页数：根据“小莹平均每天阅读的页数比小亮平均每天阅读的页数的2倍少12页”，可得小莹每天阅读$(2x-12)$页；
2. 计算两人总阅读页数：小亮7天的总阅读页数为$7x$页，小莹5天的总阅读页数为$5(2x-12)$页；
3. 根据等量关系列方程：“小莹5天阅读的总页数比小亮7天阅读的总页数少12页”，即小亮7天总页数减12等于小莹5天总页数，代入得方程：$7x -12 =5(2x -12)$。
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
列一元一次方程，代数式表示数量关系
【点评】
本题是方程应用的基础题型，解题核心是准确梳理题目中的数量关系，正确用含未知数的代数式表示对应量，代入等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题是实际问题抽象为一元一次方程的题型，解题思路为先根据已知条件用含x的代数式表示出小莹每天的阅读页数，再分别计算小亮7天的总阅读页数、小莹5天的总阅读页数，最后抓住“小莹5天阅读总页数比小亮7天总页数少12页”的等量关系列方程，匹配对应选项即可。
【解析】
解：已知设小亮平均每天阅读x页，
1. 表示小莹每天阅读页数：根据“小莹平均每天阅读的页数比小亮平均每天阅读的页数的2倍少12页”，可得小莹每天阅读$(2x-12)$页；
2. 计算两人总阅读页数：小亮7天的总阅读页数为$7x$页，小莹5天的总阅读页数为$5(2x-12)$页；
3. 根据等量关系列方程：“小莹5天阅读的总页数比小亮7天阅读的总页数少12页”，即小亮7天总页数减12等于小莹5天总页数，代入得方程：$7x -12 =5(2x -12)$。
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
列一元一次方程，代数式表示数量关系
【点评】
本题是方程应用的基础题型，解题核心是准确梳理题目中的数量关系，正确用含未知数的代数式表示对应量，代入等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
