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4.甲、乙两人分别从 A,B 两地同时出发,沿同一条路线相向匀速行驶,甲骑自行车,乙骑摩托车。出发后 3 h 两人相遇,相遇时乙比甲多行驶了 90 km,相遇后再经 1 h 乙到达 A 地。求甲、乙的速度分别是多少。符合题意的等量关系是(
A.甲行驶 3 h 的路程 = 乙行驶 1 h 的路程
B.甲的速度 = 乙的速度×3
C.甲行驶 3 h 的路程 = 乙行驶 3 h 的路程+90
D.甲的速度+乙的速度=90
A
)。A.甲行驶 3 h 的路程 = 乙行驶 1 h 的路程
B.甲的速度 = 乙的速度×3
C.甲行驶 3 h 的路程 = 乙行驶 3 h 的路程+90
D.甲的速度+乙的速度=90
答案
A
解析
【分析】
这是一道行程相遇类的选择题，解题时首先要理清不同主体、不同时间段对应的路程关系：相遇前甲从A地出发行驶3小时到达相遇点，因此A地到相遇点的路程等于甲3小时行驶的路程；相遇后乙从相遇点出发前往A地，用时1小时走完全程，因此A地到相遇点的路程也等于乙1小时行驶的路程，得到核心等量关系后再逐一验证选项即可。
【解析】
第一步：推导核心路程等量关系
甲、乙出发3小时后相遇，此时甲从A地到相遇点的行驶时间为3h，因此：A地到相遇点的路程 = 甲3h行驶的路程；
相遇后乙用1h从相遇点到达A地，因此：A地到相遇点的路程 = 乙1h行驶的路程；
联立可得：甲行驶3h的路程 = 乙行驶1h的路程，对应选项A表述正确。
第二步：逐一排除错误选项
选项B：由上述等量关系可知3×甲的速度=1×乙的速度，即乙的速度=甲的速度×3，选项表述相反，错误；
选项C：相遇时乙比甲多行驶90km，因此正确等量关系为：乙行驶3h的路程=甲行驶3h的路程+90，选项表述写反，错误；
选项D：乙3小时比甲多行驶90km，因此每小时乙比甲多行驶90÷3=30km，即乙的速度-甲的速度=30，不是速度和为90，错误。
【答案】
A
【知识点】
相遇行程问题；路程速度时间关系；等量关系判断
【点评】
本题考查行程相遇问题中的等量关系判定，解题关键是找准同一段路程对应的不同行驶主体和行驶时间，分析选项时要注意区分路程差对应的是速度差而非速度和，不要混淆主体的速度大小关系。
【难度系数】
0.7
这是一道行程相遇类的选择题，解题时首先要理清不同主体、不同时间段对应的路程关系：相遇前甲从A地出发行驶3小时到达相遇点，因此A地到相遇点的路程等于甲3小时行驶的路程；相遇后乙从相遇点出发前往A地，用时1小时走完全程，因此A地到相遇点的路程也等于乙1小时行驶的路程，得到核心等量关系后再逐一验证选项即可。
【解析】
第一步：推导核心路程等量关系
甲、乙出发3小时后相遇，此时甲从A地到相遇点的行驶时间为3h，因此：A地到相遇点的路程 = 甲3h行驶的路程；
相遇后乙用1h从相遇点到达A地，因此：A地到相遇点的路程 = 乙1h行驶的路程；
联立可得：甲行驶3h的路程 = 乙行驶1h的路程，对应选项A表述正确。
第二步：逐一排除错误选项
选项B：由上述等量关系可知3×甲的速度=1×乙的速度，即乙的速度=甲的速度×3，选项表述相反，错误；
选项C：相遇时乙比甲多行驶90km，因此正确等量关系为：乙行驶3h的路程=甲行驶3h的路程+90，选项表述写反，错误；
选项D：乙3小时比甲多行驶90km，因此每小时乙比甲多行驶90÷3=30km，即乙的速度-甲的速度=30，不是速度和为90，错误。
【答案】
A
【知识点】
相遇行程问题；路程速度时间关系；等量关系判断
【点评】
本题考查行程相遇问题中的等量关系判定，解题关键是找准同一段路程对应的不同行驶主体和行驶时间，分析选项时要注意区分路程差对应的是速度差而非速度和，不要混淆主体的速度大小关系。
【难度系数】
0.7
5.若关于x的方程$(2 - m)x^{|m| - 1} + 2m - 5 = 0$是一元一次方程，则$m=$
$-2$
。答案
$-2$
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，同时未知数的系数不为0的整式方程。结合本题的方程，需要同时满足两个条件：一是x的次数等于1，二是x的系数不等于0，分别列出式子求解后，排除不符合条件的取值就能得到m的值。
【解析】
解：
∵ 方程$(2 - m)x^{|m| - 1} + 2m - 5 = 0$是一元一次方程
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 未知数的次数为1：$|m| - 1 = 1$
计算得$|m| = 2$，因此$m = 2$或$m = -2$
2. 一次项系数不为0：$2 - m ≠ 0$
计算得$m ≠ 2$
结合两个条件，排除$m=2$，最终可得$m = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 绝对值的运算
【点评】
本题是一元一次方程定义的典型应用，易错点是容易忽略一次项系数不能为0的要求，直接得出m=±2的错误结果，解题时要全面考虑定义中的所有限制条件。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，同时未知数的系数不为0的整式方程。结合本题的方程，需要同时满足两个条件：一是x的次数等于1，二是x的系数不等于0，分别列出式子求解后，排除不符合条件的取值就能得到m的值。
【解析】
解：
∵ 方程$(2 - m)x^{|m| - 1} + 2m - 5 = 0$是一元一次方程
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 未知数的次数为1：$|m| - 1 = 1$
计算得$|m| = 2$，因此$m = 2$或$m = -2$
2. 一次项系数不为0：$2 - m ≠ 0$
计算得$m ≠ 2$
结合两个条件，排除$m=2$，最终可得$m = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 绝对值的运算
【点评】
本题是一元一次方程定义的典型应用，易错点是容易忽略一次项系数不能为0的要求，直接得出m=±2的错误结果，解题时要全面考虑定义中的所有限制条件。
【难度系数】
0.7
6.已知 $ x=3 $ 是关于 $ x $ 的方程 $ ( \frac{x}{3} +1 ) + \frac{m(x-1)}{2} =1 $ 的解，$ n $ 满足关系式 $ |m+n|=2 $，则 $ mn $ 的值是 ______。
答案
$-3$或$1$
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步，根据方程的解的定义，将x=3代入原方程，即可求出m的值；第二步，把求得的m值代入关系式|m+n|=2，根据绝对值的性质，绝对值等于正数的数有两个，它们互为相反数，从而求出n的两个可能取值；第三步，分别将m和对应的n值相乘，即可得到mn的所有可能结果。
【解析】
1. 求m的值：
因为x=3是方程$( \frac{x}{3} +1 ) + \frac{m(x-1)}{2} =1$的解，将x=3代入方程得：
$(\frac{3}{3} +1) + \frac{m×(3-1)}{2} =1$
化简计算：
$(1+1) + \frac{2m}{2} =1$
$2 + m =1$
解得：$m=-1$
2. 求n的值：
将$m=-1$代入$|m+n|=2$得：
$|-1 +n|=2$
根据绝对值的性质，可得：
$n-1=2$ 或 $n-1=-2$
分别解得：$n=3$ 或 $n=-1$
3. 计算mn的值：
当$m=-1$，$n=3$时，$mn=(-1)×3=-3$；
当$m=-1$，$n=-1$时，$mn=(-1)×(-1)=1$。
【答案】
$-3$或$1$
【知识点】
一元一次方程的解的定义；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是掌握方程的解的含义以及绝对值方程的求解，注意绝对值等于正数时存在两个互为相反数的解，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：第一步，根据方程的解的定义，将x=3代入原方程，即可求出m的值；第二步，把求得的m值代入关系式|m+n|=2，根据绝对值的性质，绝对值等于正数的数有两个，它们互为相反数，从而求出n的两个可能取值；第三步，分别将m和对应的n值相乘，即可得到mn的所有可能结果。
【解析】
1. 求m的值：
因为x=3是方程$( \frac{x}{3} +1 ) + \frac{m(x-1)}{2} =1$的解，将x=3代入方程得：
$(\frac{3}{3} +1) + \frac{m×(3-1)}{2} =1$
化简计算：
$(1+1) + \frac{2m}{2} =1$
$2 + m =1$
解得：$m=-1$
2. 求n的值：
将$m=-1$代入$|m+n|=2$得：
$|-1 +n|=2$
根据绝对值的性质，可得：
$n-1=2$ 或 $n-1=-2$
分别解得：$n=3$ 或 $n=-1$
3. 计算mn的值：
当$m=-1$，$n=3$时，$mn=(-1)×3=-3$；
当$m=-1$，$n=-1$时，$mn=(-1)×(-1)=1$。
【答案】
$-3$或$1$
【知识点】
一元一次方程的解的定义；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是掌握方程的解的含义以及绝对值方程的求解，注意绝对值等于正数时存在两个互为相反数的解，避免漏解。
【难度系数】
0.7
7.若$x=3$是方程$a-bx=4$的解，则$-6b+2a+2026$的值为
$2034$
。答案
$2034$
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，根据方程的解的定义，将x=3代入原方程，就能得到a和b的数量关系式；第二步，观察待求代数式的结构，把含a、b的部分变形为和刚才得到的数量关系式匹配的形式，用整体代入法计算即可，不需要单独求a、b的具体值，能简化计算。
【解析】
解：
∵x=3是方程$a-bx=4$的解
∴将x=3代入方程，可得：$a-3b=4$
对所求代数式变形整理：
$-6b+2a+2026=2a-6b+2026=2(a-3b)+2026$
把$a-3b=4$代入上式：
原式$=2×4+2026=8+2026=2034$
【答案】
$2034$
【知识点】
方程的解的定义、代数式求值、整体代入法
【点评】
本题属于一元一次方程和代数式求值的结合题型，重点考查整体代入的数学思想，解题的核心是从已知条件中提取两个未知数的数量关系，无需单独求解单个未知数即可快速算出结果，是代数运算中非常常用的基础技巧。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：第一步，根据方程的解的定义，将x=3代入原方程，就能得到a和b的数量关系式；第二步，观察待求代数式的结构，把含a、b的部分变形为和刚才得到的数量关系式匹配的形式，用整体代入法计算即可，不需要单独求a、b的具体值，能简化计算。
【解析】
解：
∵x=3是方程$a-bx=4$的解
∴将x=3代入方程，可得：$a-3b=4$
对所求代数式变形整理：
$-6b+2a+2026=2a-6b+2026=2(a-3b)+2026$
把$a-3b=4$代入上式：
原式$=2×4+2026=8+2026=2034$
【答案】
$2034$
【知识点】
方程的解的定义、代数式求值、整体代入法
【点评】
本题属于一元一次方程和代数式求值的结合题型，重点考查整体代入的数学思想，解题的核心是从已知条件中提取两个未知数的数量关系，无需单独求解单个未知数即可快速算出结果，是代数运算中非常常用的基础技巧。
【难度系数】
0.7
8.已知关于x的一元一次方程$\frac{1}{2026}x + 3 = 2x + b$的解为$x=2026$，那么关于y的一元一次方程$\frac{1}{2026}(y - 1) + 3 = 2(y - 1) + b$的解为
$y=2027$
。答案
$y=2027$
解析
【分析】
拿到题目后先观察两个方程的结构特征，不要急于计算参数b的值。对比发现两个方程除了第一个方程中的x被替换为第二个方程中的(y-1)外，其余系数、常数项完全相同。已知第一个方程的解为x=2026，我们可以运用整体思想，将(y-1)看作一个整体，那么(y-1)的值就等于第一个方程的解x=2026，据此即可快速求出y的值，比先求b再代入解方程更简便。
【解析】
方法一（整体代入法）：
将第二个方程中的$(y-1)$看作整体，由于两个方程结构完全一致，已知方程$\frac{1}{2026}x + 3 = 2x + b$的解为$x=2026$，因此可得：
$y - 1 = 2026$
解得：$y = 2026 + 1 = 2027$
方法二（常规计算法）：
1. 先将$x=2026$代入第一个方程求参数$b$：
$\frac{1}{2026}×2026 + 3 = 2×2026 + b$
计算得：$1 + 3 = 4052 + b$
解得：$b = 4 - 4052 = -4048$
2. 将$b=-4048$代入第二个关于$y$的方程：
$\frac{1}{2026}(y - 1) + 3 = 2(y - 1) - 4048$
移项、合并同类项得：$(\frac{1}{2026} - 2)(y - 1) = -4051$
化简系数得：$\frac{-4051}{2026}(y - 1) = -4051$
两边同时除以$-4051$得：$\frac{1}{2026}(y - 1) = 1$
解得：$y - 1 = 2026$，即$y = 2027$
【答案】
$y=2027$
【知识点】
一元一次方程的解；整体代入法
【点评】
本题是一元一次方程章节的典型题型，核心考查对一元一次方程解的概念的理解，灵活运用整体思想可以避免复杂计算，提高解题效率，学习中要注重培养观察方程结构、选择最优解法的能力。
【难度系数】
0.7
拿到题目后先观察两个方程的结构特征，不要急于计算参数b的值。对比发现两个方程除了第一个方程中的x被替换为第二个方程中的(y-1)外，其余系数、常数项完全相同。已知第一个方程的解为x=2026，我们可以运用整体思想，将(y-1)看作一个整体，那么(y-1)的值就等于第一个方程的解x=2026，据此即可快速求出y的值，比先求b再代入解方程更简便。
【解析】
方法一（整体代入法）：
将第二个方程中的$(y-1)$看作整体，由于两个方程结构完全一致，已知方程$\frac{1}{2026}x + 3 = 2x + b$的解为$x=2026$，因此可得：
$y - 1 = 2026$
解得：$y = 2026 + 1 = 2027$
方法二（常规计算法）：
1. 先将$x=2026$代入第一个方程求参数$b$：
$\frac{1}{2026}×2026 + 3 = 2×2026 + b$
计算得：$1 + 3 = 4052 + b$
解得：$b = 4 - 4052 = -4048$
2. 将$b=-4048$代入第二个关于$y$的方程：
$\frac{1}{2026}(y - 1) + 3 = 2(y - 1) - 4048$
移项、合并同类项得：$(\frac{1}{2026} - 2)(y - 1) = -4051$
化简系数得：$\frac{-4051}{2026}(y - 1) = -4051$
两边同时除以$-4051$得：$\frac{1}{2026}(y - 1) = 1$
解得：$y - 1 = 2026$，即$y = 2027$
【答案】
$y=2027$
【知识点】
一元一次方程的解；整体代入法
【点评】
本题是一元一次方程章节的典型题型，核心考查对一元一次方程解的概念的理解，灵活运用整体思想可以避免复杂计算，提高解题效率，学习中要注重培养观察方程结构、选择最优解法的能力。
【难度系数】
0.7
9.一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了10 h，从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了15 h。已知水流的速度是5 km/h。
(1)求船在静水中的平均速度；
(2)两码头之间的距离是多少千米？
(1)求船在静水中的平均速度；
(2)两码头之间的距离是多少千米？
答案
(1)设船在静水中的平均速度为 $x$ km/h，
由题意得 $10×(x+5)=15×(x-5)$，解得 $x=25$。
答：船在静水中的平均速度为 25 km/h。
(2)由(1)知船在静水中的平均速度为 25 km/h，
则两码头之间的距离为 $10×(25+5)=300$(km)。
答：两码头之间的距离是 300 km。
由题意得 $10×(x+5)=15×(x-5)$，解得 $x=25$。
答：船在静水中的平均速度为 25 km/h。
(2)由(1)知船在静水中的平均速度为 25 km/h，
则两码头之间的距离为 $10×(25+5)=300$(km)。
答：两码头之间的距离是 300 km。
解析
【分析】
这是典型的流水行船类行程问题，解题核心是抓住“甲乙两码头之间的距离不变”这一等量关系。首先明确流水行船的速度规律：顺流速度=船在静水中的速度+水流速度，逆流速度=船在静水中的速度-水流速度。第一问求静水速度，可设其为未知数x，分别表示出顺流、逆流行驶的总路程，根据路程相等列一元一次方程即可求解；第二问求两码头距离，将第一问求出的静水速度代入顺流或逆流的路程计算公式即可得到结果。
【解析】
(1) 设船在静水中的平均速度为$x$ km/h，
顺流行驶的路程为$10×(x+5)$ km，逆流行驶的路程为$15×(x-5)$ km，由于往返路程相等，可列方程：
$10(x+5)=15(x-5)$
展开得：$10x + 50 = 15x - 75$
移项合并同类项得：$5x = 125$
解得：$x=25$
答：船在静水中的平均速度为25 km/h。
(2) 由(1)得船在静水中的速度为25 km/h，代入顺流路程公式计算两码头距离：
$10×(25+5)=10×30=300$（km）
答：两码头之间的距离是300 km。
【答案】
(1) 船在静水中的平均速度为25 km/h；
(2) 两码头之间的距离是300 km。
【知识点】
1. 流水行船速度关系
2. 一元一次方程的应用
3. 行程问题公式
【点评】
本题是流水行船类行程问题的经典基础题，解题关键是抓住两码头距离不变的隐藏等量关系，熟练掌握顺流、逆流速度的计算方法即可顺利求解，能有效锻炼学生利用方程解决实际行程问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是典型的流水行船类行程问题，解题核心是抓住“甲乙两码头之间的距离不变”这一等量关系。首先明确流水行船的速度规律：顺流速度=船在静水中的速度+水流速度，逆流速度=船在静水中的速度-水流速度。第一问求静水速度，可设其为未知数x，分别表示出顺流、逆流行驶的总路程，根据路程相等列一元一次方程即可求解；第二问求两码头距离，将第一问求出的静水速度代入顺流或逆流的路程计算公式即可得到结果。
【解析】
(1) 设船在静水中的平均速度为$x$ km/h，
顺流行驶的路程为$10×(x+5)$ km，逆流行驶的路程为$15×(x-5)$ km，由于往返路程相等，可列方程：
$10(x+5)=15(x-5)$
展开得：$10x + 50 = 15x - 75$
移项合并同类项得：$5x = 125$
解得：$x=25$
答：船在静水中的平均速度为25 km/h。
(2) 由(1)得船在静水中的速度为25 km/h，代入顺流路程公式计算两码头距离：
$10×(25+5)=10×30=300$（km）
答：两码头之间的距离是300 km。
【答案】
(1) 船在静水中的平均速度为25 km/h；
(2) 两码头之间的距离是300 km。
【知识点】
1. 流水行船速度关系
2. 一元一次方程的应用
3. 行程问题公式
【点评】
本题是流水行船类行程问题的经典基础题，解题关键是抓住两码头距离不变的隐藏等量关系，熟练掌握顺流、逆流速度的计算方法即可顺利求解，能有效锻炼学生利用方程解决实际行程问题的能力。
【难度系数】
0.7
10.如图,一根竹竿插入一个水池底部的淤泥中,竹竿的入泥部分占全长的$\frac{1}{5}$,泥土以上的入水部分比入泥部分长$\frac{1}{2}$ m,露出水面部分为$\frac{13}{10}$ m。竹竿有多长?水有多深?
答案
设竹竿长 $x$ m，竹竿入泥部分为 $\dfrac{1}{5}x$ m，泥土以上的入水部分为 $(\dfrac{1}{5}x+\dfrac{1}{2})$ m，
由题意得
$\dfrac{1}{5}x+\dfrac{1}{5}x+\dfrac{1}{2}+\dfrac{13}{10}=x$，
解得 $x=3$。
则 $\dfrac{1}{5}x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{11}{10}$。
答：竹竿长 3 m，水深为 $\dfrac{11}{10}$ m。
由题意得
$\dfrac{1}{5}x+\dfrac{1}{5}x+\dfrac{1}{2}+\dfrac{13}{10}=x$，
解得 $x=3$。
则 $\dfrac{1}{5}x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{11}{10}$。
答：竹竿长 3 m，水深为 $\dfrac{11}{10}$ m。
解析
【分析】
解题时首先明确竹竿的总长度由三部分组成：入泥部分、入水部分（即水深）、露出水面部分。我们可以先设竹竿全长为未知数$x$，根据题意分别用含$x$的式子表示出入泥部分和入水部分的长度，再根据“三部分长度之和=竹竿总长度”这一等量关系列方程，求出竹竿总长后，再代入入水部分的表达式即可算出水深。
【解析】
解：设竹竿的全长为$x$ m。
由题意得：入泥部分长度为$\dfrac{1}{5}x$ m，入水部分（水深）长度为$(\dfrac{1}{5}x+\dfrac{1}{2})$ m，露出水面部分长度为$\dfrac{13}{10}$ m。
根据竹竿总长度等于三部分长度之和列方程：
$\dfrac{1}{5}x+\dfrac{1}{5}x+\dfrac{1}{2}+\dfrac{13}{10}=x$
整理方程：
$\dfrac{2}{5}x+\dfrac{5}{10}+\dfrac{13}{10}=x$
$\dfrac{3}{5}x=\dfrac{18}{10}$
解得$x=3$
将$x=3$代入入水部分的表达式，得水深：
$\dfrac{1}{5}×3+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{11}{10}$（m）
【答案】
竹竿长$3\ \mathrm{m}$，水深为$\dfrac{11}{10}\ \mathrm{m}$。
【知识点】
一元一次方程应用；分数运算；等量关系建立
【点评】
本题属于基础的方程实际应用问题，解题核心是准确梳理竹竿各组成部分和总长度的等量关系，计算过程中要注意分数的通分和约分，侧重考查学生的读题理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确竹竿的总长度由三部分组成：入泥部分、入水部分（即水深）、露出水面部分。我们可以先设竹竿全长为未知数$x$，根据题意分别用含$x$的式子表示出入泥部分和入水部分的长度，再根据“三部分长度之和=竹竿总长度”这一等量关系列方程，求出竹竿总长后，再代入入水部分的表达式即可算出水深。
【解析】
解：设竹竿的全长为$x$ m。
由题意得：入泥部分长度为$\dfrac{1}{5}x$ m，入水部分（水深）长度为$(\dfrac{1}{5}x+\dfrac{1}{2})$ m，露出水面部分长度为$\dfrac{13}{10}$ m。
根据竹竿总长度等于三部分长度之和列方程：
$\dfrac{1}{5}x+\dfrac{1}{5}x+\dfrac{1}{2}+\dfrac{13}{10}=x$
整理方程：
$\dfrac{2}{5}x+\dfrac{5}{10}+\dfrac{13}{10}=x$
$\dfrac{3}{5}x=\dfrac{18}{10}$
解得$x=3$
将$x=3$代入入水部分的表达式，得水深：
$\dfrac{1}{5}×3+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{11}{10}$（m）
【答案】
竹竿长$3\ \mathrm{m}$，水深为$\dfrac{11}{10}\ \mathrm{m}$。
【知识点】
一元一次方程应用；分数运算；等量关系建立
【点评】
本题属于基础的方程实际应用问题，解题核心是准确梳理竹竿各组成部分和总长度的等量关系，计算过程中要注意分数的通分和约分，侧重考查学生的读题理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
