例4 从4点16分到5点40分,时钟的时针转过;下午3:24时,时钟的时针与分针的夹角是。
【反思】时钟问题关键是搞清楚分针每分钟转$6°$,时针每分钟转$0.5°$。有时也常把$6°$和$0.5°$理解为分针和时针的速度,用行程问题来解决时钟问题。

42° 42°

【分析】
解决时钟角度问题的核心是先明确时针和分针的转动速度：钟面一周为360°，分针60分钟转一圈，因此每分钟转$360°÷60=6°$；时针12小时转一圈，因此每分钟转$360°÷(12×60)=0.5°$。第一问求时针转过的角度，只需先算出两个时间点的间隔总分钟数，再乘时针每分钟的转速即可。第二问求固定时刻两针的夹角，分别计算从12时整到该时刻时针、分针各自转过的总角度，二者的差值（小于180°）就是两针的夹角。
【解析】
1. 计算从4点16分到5点40分时针转过的角度：
先算经过的总时长：$5时40分 - 4时16分 = 1时24分 = 84分钟$
时针每分钟转$0.5°$，因此转过的角度为：$84×0.5°=42°$
2. 计算下午3:24时针与分针的夹角：
从12时整到3:24，时针总共转动的时长为：$3×60 + 24 = 204分钟$
时针转过的总角度：$204×0.5°=102°$
分针24分钟转过的角度：$24×6°=144°$
两针的夹角为：$144° - 102°=42°$
【答案】
$42°$；$42°$
【知识点】
1. 时钟角度计算
2. 角的和差运算
【点评】
本题是时钟角度的常规考题，解题关键是牢记时针、分针的转动速度，计算时针角度时注意不要漏算随分钟转动的部分，即可轻松求解。
【难度系数】
0.7

1. 如图，AM为$∠ BAC$的平分线，下列等式错误的是（）

A.$∠ BAC=2∠ BAM$
B.$∠ BAM=∠ CAM$
C.$∠ BAM=2∠ CAM$
D.$2∠ CAM=∠ BAC$

1. C

【分析】
首先回忆角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。已知AM是∠BAC的平分线，说明AM将∠BAC分成两个大小完全相等的角，我们可以据此推导三个角之间的和差、倍数关系，再逐一对比四个选项，找出错误的等式即可。
【解析】
∵AM是∠BAC的平分线，根据角平分线的定义可得：
$∠ BAM=∠ CAM$，
且$∠ BAC=∠ BAM+∠ CAM=2∠ BAM=2∠ CAM$。
逐一判断选项：
A. $∠ BAC=2∠ BAM$，符合推导结论，正确；
B. $∠ BAM=∠ CAM$，符合角平分线定义，正确；
C. $∠ BAM=2∠ CAM$，与$∠ BAM=∠ CAM$矛盾，错误；
D. $2∠ CAM=∠ BAC$，符合推导结论，正确。
因此本题选错误的选项。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义；角的和差关系
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查对角平分线定义的理解，解题时要注意题干要求选择“错误”的选项，避免因审题粗心丢分。
【难度系数】
0.9