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2. 将一副三角板按如图所示摆放，已知∠α的度数为55°，则∠β的度数为（
A.35°
B.45°
C.55°
D.60°
C
）A.35°
B.45°
C.55°
D.60°
答案
2. C
解析
【分析】首先观察图形特征，两个三角板的直角顶点重合，且三角板的直角均为90°。可以发现∠α与两个角中间重叠的公共角相加等于90°，∠β与同一个公共重叠角相加也等于90°，根据余角的相关性质即可推出∠α和∠β的数量关系，代入已知角度就能求出∠β的度数。
【解析】解：根据三角板的特点可知两个直角都为90°，由此可得：
$∠α +$ 两角的公共重叠角 $=90°$
$∠β +$ 两角的公共重叠角 $=90°$
根据“同角的余角相等”，可推出$∠β=∠α$。
已知$∠α=55°$，因此$∠β=55°$。
【答案】C
【知识点】余角的性质，角的和差计算
【点评】本题结合三角板摆放的情境考查角的基础计算，解题关键是找到两个角和公共角的和差关系，利用余角性质可直接得出答案，解题难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】解：根据三角板的特点可知两个直角都为90°，由此可得：
$∠α +$ 两角的公共重叠角 $=90°$
$∠β +$ 两角的公共重叠角 $=90°$
根据“同角的余角相等”，可推出$∠β=∠α$。
已知$∠α=55°$，因此$∠β=55°$。
【答案】C
【知识点】余角的性质，角的和差计算
【点评】本题结合三角板摆放的情境考查角的基础计算，解题关键是找到两个角和公共角的和差关系，利用余角性质可直接得出答案，解题难度较低。
【难度系数】0.8
3. 将一副三角板按如图所示的方式放置，则∠AOB=
15°
。答案
3. 15°
解析
【分析】
首先回忆一副三角板的固定角度：其中一块三角板的锐角分别为30°、60°，另一块等腰直角三角板的两个锐角均为45°。观察图形可知，∠AOB是上述两个三角板的锐角叠放后形成的差角，只要用较大的锐角度数减去较小的锐角度数，就能得到∠AOB的度数。
【解析】
解：由三角板的角度特征可知，叠放的两个锐角分别为45°和30°，
因此$∠ AOB = 45° - 30° = 15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
三角板角度特征，角的和差计算
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查学生对三角板固有角度的识记能力，以及简单的角的和差运算能力，解题的核心是准确判断所求角与两个已知三角板角的数量关系。
【难度系数】
0.9
首先回忆一副三角板的固定角度：其中一块三角板的锐角分别为30°、60°，另一块等腰直角三角板的两个锐角均为45°。观察图形可知，∠AOB是上述两个三角板的锐角叠放后形成的差角，只要用较大的锐角度数减去较小的锐角度数，就能得到∠AOB的度数。
【解析】
解：由三角板的角度特征可知，叠放的两个锐角分别为45°和30°，
因此$∠ AOB = 45° - 30° = 15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
三角板角度特征，角的和差计算
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查学生对三角板固有角度的识记能力，以及简单的角的和差运算能力，解题的核心是准确判断所求角与两个已知三角板角的数量关系。
【难度系数】
0.9
4. 如图，点E在长方形纸片ABCD的边AD上，将纸片沿BE折叠，点A落在F处。若∠DEF=80°，则∠BEF的度数为
50°
。答案
4. 50°
解析
【分析】
这是一道折叠类角度计算问题，解题核心是利用折叠前后对应角相等的性质，结合平角的特征推导。首先AD为直线，对应平角为180°，已知∠DEF的度数，可先求出∠AEF的总度数；再根据折叠的性质，BE是∠AEF的角平分线，∠BEF等于∠AEF的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵ 点E在AD上，∠AED为平角
∴ ∠AEF + ∠DEF = 180°
∵ ∠DEF=80°
∴ ∠AEF = 180° - 80° = 100°
由折叠的性质可得：∠BEF = ∠AEB = $\frac{1}{2}$∠AEF
∴ ∠BEF = $\frac{1}{2}$×100° = 50°
【答案】
50°
【知识点】
折叠的性质，平角的定义，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础角度计算题，重点考查折叠变换中的角的不变性，结合平角的性质即可求解，是图形初步知识的常考题型。
【难度系数】
0.8
这是一道折叠类角度计算问题，解题核心是利用折叠前后对应角相等的性质，结合平角的特征推导。首先AD为直线，对应平角为180°，已知∠DEF的度数，可先求出∠AEF的总度数；再根据折叠的性质，BE是∠AEF的角平分线，∠BEF等于∠AEF的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵ 点E在AD上，∠AED为平角
∴ ∠AEF + ∠DEF = 180°
∵ ∠DEF=80°
∴ ∠AEF = 180° - 80° = 100°
由折叠的性质可得：∠BEF = ∠AEB = $\frac{1}{2}$∠AEF
∴ ∠BEF = $\frac{1}{2}$×100° = 50°
【答案】
50°
【知识点】
折叠的性质，平角的定义，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础角度计算题，重点考查折叠变换中的角的不变性，结合平角的性质即可求解，是图形初步知识的常考题型。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在同一平面内,$∠ AOB=90°$,OC为$∠ AOB$内部的一条射线,若$∠ AOC=∠ BOD=30°$,则$∠ COD$的度数为
30°或90°
。答案
5. 30°或90°
解析
【分析】
题目未明确点D的位置，因此需要分两种情况讨论求解。第一步先根据已知的∠AOB和∠AOC的度数，计算出∠BOC的度数；第二步分别考虑点D在∠AOB内部、点D在∠AOB外部两种情况，结合∠BOD的度数，利用角的和差关系计算∠COD的度数。
【解析】
已知∠AOB=90°，∠AOC=30°，因此$∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOC = 90° - 30° = 60°$，分两种情况讨论：
1. 当点D在∠AOB内部时：
∵$∠ BOD=30°$
∴$∠ COD = ∠ BOC - ∠ BOD = 60° - 30° = 30°$
2. 当点D在∠AOB外部（OB远离OA的一侧）时：
∵$∠ BOD=30°$
∴$∠ COD = ∠ BOC + ∠ BOD = 60° + 30° = 90°$
综上，∠COD的度数为30°或90°。
【答案】
30°或90°
【知识点】
角的和差计算，分类讨论思想，直角的性质
【点评】
本题是易错题，解题时容易忽略点D的位置存在两种可能性，只计算出其中一个结果，遇到未明确点的位置的角度计算问题时，要全面考虑所有可能的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
题目未明确点D的位置，因此需要分两种情况讨论求解。第一步先根据已知的∠AOB和∠AOC的度数，计算出∠BOC的度数；第二步分别考虑点D在∠AOB内部、点D在∠AOB外部两种情况，结合∠BOD的度数，利用角的和差关系计算∠COD的度数。
【解析】
已知∠AOB=90°，∠AOC=30°，因此$∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOC = 90° - 30° = 60°$，分两种情况讨论：
1. 当点D在∠AOB内部时：
∵$∠ BOD=30°$
∴$∠ COD = ∠ BOC - ∠ BOD = 60° - 30° = 30°$
2. 当点D在∠AOB外部（OB远离OA的一侧）时：
∵$∠ BOD=30°$
∴$∠ COD = ∠ BOC + ∠ BOD = 60° + 30° = 90°$
综上，∠COD的度数为30°或90°。
【答案】
30°或90°
【知识点】
角的和差计算，分类讨论思想，直角的性质
【点评】
本题是易错题，解题时容易忽略点D的位置存在两种可能性，只计算出其中一个结果，遇到未明确点的位置的角度计算问题时，要全面考虑所有可能的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
6. 如图 1, $∠ AOB=120°$,过点 $O$ 在$∠ AOB$的内部作射线 $OC$,使得$∠ AOC= \frac{1}{3}∠ BOC$,射线 $OD$ 从射线 $OB$ 开始以每秒 $5°$的速度绕着点 $O$ 顺时针转动,当$∠ COD$ 为平角时 $OD$ 停止转动,设转动的时间为 $t$ 秒。
(1)当射线 $OD$ 位于射线 $OC$ 的左侧时,$∠ COD=$
(2)当射线 $OD$ 平分$∠ AOC$ 时,求 $t$ 的值。
(3)如图 2,射线 $OE$ 从射线 $OC$ 开始以每秒 $(\frac{5}{3})°$的速度与射线 $OD$ 同时开始绕着点 $O$ 顺时针转动,同时停止。
①当$∠ COE=\frac{1}{2}∠ COD$时,求 $t$ 的值;
②在转动过程中,请直接写出$∠ COD$与$∠ AOE$之间的数量关系。
(1)当射线 $OD$ 位于射线 $OC$ 的左侧时,$∠ COD=$
(90-5t)
$°$(用含 $t$ 的式子表示)。(2)当射线 $OD$ 平分$∠ AOC$ 时,求 $t$ 的值。
(3)如图 2,射线 $OE$ 从射线 $OC$ 开始以每秒 $(\frac{5}{3})°$的速度与射线 $OD$ 同时开始绕着点 $O$ 顺时针转动,同时停止。
①当$∠ COE=\frac{1}{2}∠ COD$时,求 $t$ 的值;
②在转动过程中,请直接写出$∠ COD$与$∠ AOE$之间的数量关系。
答案
6. (1)(90-5t)
(2)根据题意,得 $5t=90+\frac{1}{2}×30$,解得 $t=21$,所以 $t$ 的值为 21。
(3)由题意可得$∠COE=(\frac{5}{3}t)°$,
①当$OD$到达$OC$所在的位置前,$\frac{5}{3}t=\frac{1}{2}×(90-5t)$,解得$t=10.8$;
当$OD$到达$OC$所在的位置后,$\frac{5}{3}t=\frac{1}{2}×(5t-90)$,解得$t=54$;所以$t$的值为10.8或54。
②当$OD$与$OC$重合时,$t=90÷5=18$,因为$18×(\frac{5}{3})°=30°$,所以此时$OE$与$OA$重合;
当$OD$到达$OC$所在的位置前,$∠COD=(90-5t)°$,
$∠AOE=∠AOC-∠COE=30°-(\frac{5}{3})°t=(30-\frac{5}{3}t)°$,所以$∠COD=3∠AOE$;
当$OD$到达$OC$所在的位置后,$∠COD=(5t-90)°$,
$∠AOE=∠COE-∠AOC=(\frac{5}{3})°t-30°=(\frac{5}{3}t-30)°$,所以$∠COD=3∠AOE$。综上所述,$∠COD=3∠AOE$。
(2)根据题意,得 $5t=90+\frac{1}{2}×30$,解得 $t=21$,所以 $t$ 的值为 21。
(3)由题意可得$∠COE=(\frac{5}{3}t)°$,
①当$OD$到达$OC$所在的位置前,$\frac{5}{3}t=\frac{1}{2}×(90-5t)$,解得$t=10.8$;
当$OD$到达$OC$所在的位置后,$\frac{5}{3}t=\frac{1}{2}×(5t-90)$,解得$t=54$;所以$t$的值为10.8或54。
②当$OD$与$OC$重合时,$t=90÷5=18$,因为$18×(\frac{5}{3})°=30°$,所以此时$OE$与$OA$重合;
当$OD$到达$OC$所在的位置前,$∠COD=(90-5t)°$,
$∠AOE=∠AOC-∠COE=30°-(\frac{5}{3})°t=(30-\frac{5}{3}t)°$,所以$∠COD=3∠AOE$;
当$OD$到达$OC$所在的位置后,$∠COD=(5t-90)°$,
$∠AOE=∠COE-∠AOC=(\frac{5}{3})°t-30°=(\frac{5}{3}t-30)°$,所以$∠COD=3∠AOE$。综上所述,$∠COD=3∠AOE$。
解析
【分析】
首先根据已知的∠AOB度数和∠AOC与∠BOC的数量关系，先求出∠BOC=90°，∠AOC=30°，这是后续解题的基础。
(1) 射线OD顺时针转动t秒，转过的角度为5t°，当OD在OC左侧时，∠COD等于∠BOC减去OD转过的角度，据此即可写出含t的表达式。
(2) 当OD平分∠AOC时，先计算OD总共转过的角度为∠BOC加∠AOC的一半，再结合转动速度即可求出t的值。
(3) 先得出t秒后∠COE=$(\frac{5}{3}t)°$：①分两种情况讨论，OD在OC左侧时∠COD=90-5t，OD在OC右侧时∠COD=5t-90，分别根据∠COE=$\frac{1}{2}$∠COD列方程求解；②同样分OD在OC左右两侧两种情况，分别表示出∠COD和∠AOE，推导两者的数量关系即可。
【解析】
解：
∵∠AOB=120°，∠AOC=$\frac{1}{3}$∠BOC，
∴∠AOC+∠BOC=120°，即$\frac{1}{3}$∠BOC+∠BOC=120°，
解得∠BOC=90°，∠AOC=30°。
(1) OD从OB出发顺时针转动t秒，转过的角度为5t°，当OD在OC左侧时，∠COD=∠BOC-5t°=(90-5t)°。
(2) 当OD平分∠AOC时，∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC=15°，此时OD转过的总角度为∠BOC+∠COD=90°+15°=105°，
由转动速度为5°/s，得$5t=105$，解得$t=21$。
(3) 由题意，OE转动t秒转过的角度为$(\frac{5}{3}t)°$，即∠COE=$(\frac{5}{3}t)°$。
①分两种情况：
(i) 当OD在OC左侧（$t＜18$）时，∠COD=(90-5t)°，
由∠COE=$\frac{1}{2}$∠COD，得$\frac{5}{3}t=\frac{1}{2}×(90-5t)$，解得$t=10.8$；
(ii) 当OD在OC右侧（$t＞18$）时，∠COD=(5t-90)°，
由∠COE=$\frac{1}{2}$∠COD，得$\frac{5}{3}t=\frac{1}{2}×(5t-90)$，解得$t=54$；
综上t的值为10.8或54。
②分两种情况讨论：
(i) 当$t≤18$时，∠COD=(90-5t)°，∠AOE=∠AOC-∠COE=$(30-\frac{5}{3}t)°$，
此时$∠COD=90-5t=3×(30-\frac{5}{3}t)=3∠AOE$；
(ii) 当$t＞18$时，∠COD=(5t-90)°，∠AOE=∠COE-∠AOC=$(\frac{5}{3}t-30)°$，
此时$∠COD=5t-90=3×(\frac{5}{3}t-30)=3∠AOE$；
综上可得∠COD=3∠AOE。
【答案】
(1) $\boxed{90-5t}$
(2) $\boxed{21}$
(3) ①$\boxed{10.8}$或$\boxed{54}$；②$\boxed{∠COD=3∠AOE}$
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义，动角问题求解
【点评】
本题是动角类的典型题型，结合了角的和差运算、角平分线性质与一元一次方程的应用，解题时需注意按射线的位置分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先根据已知的∠AOB度数和∠AOC与∠BOC的数量关系，先求出∠BOC=90°，∠AOC=30°，这是后续解题的基础。
(1) 射线OD顺时针转动t秒，转过的角度为5t°，当OD在OC左侧时，∠COD等于∠BOC减去OD转过的角度，据此即可写出含t的表达式。
(2) 当OD平分∠AOC时，先计算OD总共转过的角度为∠BOC加∠AOC的一半，再结合转动速度即可求出t的值。
(3) 先得出t秒后∠COE=$(\frac{5}{3}t)°$：①分两种情况讨论，OD在OC左侧时∠COD=90-5t，OD在OC右侧时∠COD=5t-90，分别根据∠COE=$\frac{1}{2}$∠COD列方程求解；②同样分OD在OC左右两侧两种情况，分别表示出∠COD和∠AOE，推导两者的数量关系即可。
【解析】
解：
∵∠AOB=120°，∠AOC=$\frac{1}{3}$∠BOC，
∴∠AOC+∠BOC=120°，即$\frac{1}{3}$∠BOC+∠BOC=120°，
解得∠BOC=90°，∠AOC=30°。
(1) OD从OB出发顺时针转动t秒，转过的角度为5t°，当OD在OC左侧时，∠COD=∠BOC-5t°=(90-5t)°。
(2) 当OD平分∠AOC时，∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC=15°，此时OD转过的总角度为∠BOC+∠COD=90°+15°=105°，
由转动速度为5°/s，得$5t=105$，解得$t=21$。
(3) 由题意，OE转动t秒转过的角度为$(\frac{5}{3}t)°$，即∠COE=$(\frac{5}{3}t)°$。
①分两种情况：
(i) 当OD在OC左侧（$t＜18$）时，∠COD=(90-5t)°，
由∠COE=$\frac{1}{2}$∠COD，得$\frac{5}{3}t=\frac{1}{2}×(90-5t)$，解得$t=10.8$；
(ii) 当OD在OC右侧（$t＞18$）时，∠COD=(5t-90)°，
由∠COE=$\frac{1}{2}$∠COD，得$\frac{5}{3}t=\frac{1}{2}×(5t-90)$，解得$t=54$；
综上t的值为10.8或54。
②分两种情况讨论：
(i) 当$t≤18$时，∠COD=(90-5t)°，∠AOE=∠AOC-∠COE=$(30-\frac{5}{3}t)°$，
此时$∠COD=90-5t=3×(30-\frac{5}{3}t)=3∠AOE$；
(ii) 当$t＞18$时，∠COD=(5t-90)°，∠AOE=∠COE-∠AOC=$(\frac{5}{3}t-30)°$，
此时$∠COD=5t-90=3×(\frac{5}{3}t-30)=3∠AOE$；
综上可得∠COD=3∠AOE。
【答案】
(1) $\boxed{90-5t}$
(2) $\boxed{21}$
(3) ①$\boxed{10.8}$或$\boxed{54}$；②$\boxed{∠COD=3∠AOE}$
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义，动角问题求解
【点评】
本题是动角类的典型题型，结合了角的和差运算、角平分线性质与一元一次方程的应用，解题时需注意按射线的位置分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
