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8. 已知在$△ ABC$中，$AB=AC=5$，$BC=8$，$G$是$△ ABC$的重心，则$AG=$
2
。答案
8.2
9. 已知在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，点G是$△ ABC$的重心，$AB=8$。
(1)求线段CG的长。
(2)过点G的直线$MN // AB$，交AC于点M，交BC于点N，求MN的长。
(1)求线段CG的长。
(2)过点G的直线$MN // AB$，交AC于点M，交BC于点N，求MN的长。
答案
(1) 延长 CG 交 AB 于点 D。因为点 G 是△ABC 的重心，所以 CD 为 AB 边上的中线，$CG=\frac{2}{3}CD$。又因为$∠C=90°$，所以$CD=\frac{1}{2}AB=4$，所以$CG=\frac{2}{3}CD=\frac{8}{3}$。
(2) 因为$MN// AB$，所以$△ CMN∽△ CAB$，所以$\frac{MN}{AB}=\frac{MC}{AC}$。同理，可证$△ CMG∽△ CAD$，所以$\frac{MC}{AC}=\frac{CG}{CD}$，所以$\frac{MN}{AB}=\frac{CG}{CD}=\frac{2}{3}$，所以$MN=\frac{2}{3}AB=\frac{16}{3}$。
(2) 因为$MN// AB$，所以$△ CMN∽△ CAB$，所以$\frac{MN}{AB}=\frac{MC}{AC}$。同理，可证$△ CMG∽△ CAD$，所以$\frac{MC}{AC}=\frac{CG}{CD}$，所以$\frac{MN}{AB}=\frac{CG}{CD}=\frac{2}{3}$，所以$MN=\frac{2}{3}AB=\frac{16}{3}$。
10. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=5$,斜边上的高$AH=3$,矩形$DEFG$的边$DE$在边$BC$上,顶点$G,F$分别在边$AB,AC$上,如果$GF$恰好经过$△ ABC$的重心,那么$BD$的长为（
A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{4}{3}$
D.2
C
）A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{4}{3}$
D.2
答案
10.C
11. 如图，在$4×4$的方格子中，$△ ABC$与$△ DEF$的顶点都在格点上。请按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹。
(1)在图1中画出$△ ABC$的重心$P$。
(2)在图2中画出$△ DEF$的外心$Q$。
(1)在图1中画出$△ ABC$的重心$P$。
(2)在图2中画出$△ DEF$的外心$Q$。
答案
(1)如图1。(2)如图2。
12. 如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,M为AD中点,连结CM交BD于点N,且$ON=1$。
(1)求BD的长。
(2)若$△ DCN$的面积为2,求四边形ABNM的面积。
(1)求BD的长。
(2)若$△ DCN$的面积为2,求四边形ABNM的面积。
答案
(1) 因为平行四边形 ABCD，所以$AD// BC,AD=BC,OB=OD$，所以$∠DMN=∠BCN,∠MDN=∠NBC$，所以$△ MND∽△ CNB$，所以$\frac{MD}{CB}=\frac{DN}{BN}$。因为M为AD中点，所以$MD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$，即$\frac{MD}{CB}=\frac{1}{2}$，所以$\frac{DN}{BN}=\frac{1}{2}$，即$BN=2DN$，设$OB=OD=x$，则有$BD=2x,BN=OB+ON=x+1,DN=x-1$，所以$x+1=2(x-1)$，解得$x=3$，所以$BD=2x=6$。
(2) 因为$△ MND∽△ CNB$，且相似比为 1 : 2，所以$MN:CN=DN:BN=1:2$，所以$S_{△ MND}=\frac{1}{2}S_{△ CND}=1$，$S_{△ BNC}=2S_{△ CND}=4$。所以$S_{△ ABD}=S_{△ BCD}=S_{△ BCN}+S_{△ CND}=4+2=6$。所以$S_{四边形ABNM}=S_{△ ABD}-S_{△ MND}=6-1=5$。
(2) 因为$△ MND∽△ CNB$，且相似比为 1 : 2，所以$MN:CN=DN:BN=1:2$，所以$S_{△ MND}=\frac{1}{2}S_{△ CND}=1$，$S_{△ BNC}=2S_{△ CND}=4$。所以$S_{△ ABD}=S_{△ BCD}=S_{△ BCN}+S_{△ CND}=4+2=6$。所以$S_{四边形ABNM}=S_{△ ABD}-S_{△ MND}=6-1=5$。
