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1. 甲、乙两人在一条 400 m 长的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息. 已知甲先出发 3 s，在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离 $ y(m) $ 与乙出发的时间 $ x(s) $ 之间的函数关系如图所示. 有下列结论：① 乙的速度为 $ 5 m/s $；② 离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点 $ 12 m $；③ 当甲、乙两人之间的距离超过 $ 32 m $ 时，$ 44 ＜ x ＜ 89 $；④ 当乙到达终点时，甲距离终点还有 $ 68 m $. 其中，正确的个数是(
A.4
B.3
C.2
D.1
B
)A.4
B.3
C.2
D.1
答案
1. B
解析
解：①甲的速度：$12÷3 = 4\ m/s$，设乙的速度为$v\ m/s$，由图知$80\ s$时乙到达终点，$80v=400$，解得$v = 5\ m/s$，①正确；
②设乙出发$t\ s$后第一次相遇，$5t=4(t + 3)$，解得$t=12$，距离起点$5×12=60\ m$，②错误；
③乙出发前甲距起点$12\ m$；乙出发到追上甲（$t=12\ s$），距离$y=12 + 4t-5t=12-t$；追上后到乙终点（$t=80\ s$），$y=5t-4(t + 3)=t-12$，令$t-12＞32$，得$t＞44$，乙到达终点时甲跑了$4×(80 + 3)=332\ m$，距离终点$400-332=68\ m$，之后距离$y=68-(400 - 4(x + 3))=4x-288$（$x＞80$），令$4x-288＞32$，得$x＞80$，乙终点后到甲终点：$x + 3=400÷4=100$，$x=97$，故$44＜x＜97$，③错误；
④乙到达终点时甲跑的路程：$4×(80 + 3)=332\ m$，距离终点$400-332=68\ m$，④正确；
综上，正确的有①④，共$2$个。
答案：C
②设乙出发$t\ s$后第一次相遇，$5t=4(t + 3)$，解得$t=12$，距离起点$5×12=60\ m$，②错误；
③乙出发前甲距起点$12\ m$；乙出发到追上甲（$t=12\ s$），距离$y=12 + 4t-5t=12-t$；追上后到乙终点（$t=80\ s$），$y=5t-4(t + 3)=t-12$，令$t-12＞32$，得$t＞44$，乙到达终点时甲跑了$4×(80 + 3)=332\ m$，距离终点$400-332=68\ m$，之后距离$y=68-(400 - 4(x + 3))=4x-288$（$x＞80$），令$4x-288＞32$，得$x＞80$，乙终点后到甲终点：$x + 3=400÷4=100$，$x=97$，故$44＜x＜97$，③错误；
④乙到达终点时甲跑的路程：$4×(80 + 3)=332\ m$，距离终点$400-332=68\ m$，④正确；
综上，正确的有①④，共$2$个。
答案：C
2. (2024·龙东地区)甲、乙两货车分别从相距 225 km 的 A，B 两地同时出发，甲货车从 A 地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往 B 地，乙货车沿同一条公路从 B 地驶往 A 地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回 B 地，结果比甲货车晚半小时到达 B 地. 如图是甲、乙两货车距 A 地的距离 $ y(km) $ 与行驶时间 $ x(h) $ 之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1) 甲货车到达配货站之前的速度是
(2) 求甲货车在配货站卸货后驶往 B 地的过程中，甲货车距 A 地的距离 $ y(km) $ 与行驶时间 $ x(h) $ 之间的函数表达式；
(3) 甲、乙两货车在行驶的过程中，出发后
(1) 甲货车到达配货站之前的速度是
30
$ km/h $，乙货车的速度是40
$ km/h $；(2) 求甲货车在配货站卸货后驶往 B 地的过程中，甲货车距 A 地的距离 $ y(km) $ 与行驶时间 $ x(h) $ 之间的函数表达式；
(3) 甲、乙两货车在行驶的过程中，出发后
$\frac{3}{2}$或$\frac{45}{14}$或5
$ h $，甲、乙两货车与配货站的距离相等.答案
2.
(1) 30 40 解析：由题图可知，甲货车到达配货站之前的速度是105÷3.5 = 30(km/h)；乙货车的速度是(225 - 105)×2÷6 = 40(km/h).
(2)
∵3.5 + 0.5 = 4(h)，6 - 0.5 = 5.5(h)，
∴E(4,105)，F(5.5,225).设线段EF对应的函数表达式为y = kx + b(4≤x≤5.5).将E(4,105)和F(5.5,225)分别代入，得
$\begin{cases}4k + b = 105,\\5.5k + b = 225.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 80,\\b = -215.\end{cases}$
∴甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数表达式为y = 80x - 215(4≤x≤5.5)
(3)$\frac{3}{2}$或$\frac{45}{14}$或5 解析：易得线段CM对应的函数表达式为y = -40x + 225(0≤x≤3)，线段MN对应的函数表达式为y = 40x - 15(3＜x≤6)，线段OD对应的函数表达式为y = 30x(0≤x≤3.5).当0≤x≤3时，甲货车离配货站的距离为(105 - 30x)km，乙货车离配货站的距离为 -40x + 225 - 105 = (-40x + 120)km，根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”，得105 - 30x = -40x + 120，解得x = $\frac{3}{2}$；当3＜x≤3.5时，甲货车离配货站的距离为(105 - 30x)km，乙货车离配货站的距离为40x - 15 - 105 = (40x - 120)km，根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”，得105 - 30x = 40x - 120，解得x = $\frac{45}{14}$；当乙货车返回B地过程中与甲货车相遇时，两货车与配货站的距离相等，根据“相遇时两货车与A地距离相等”，得80x - 215 = 40x - 15，解得x = 5.
∴出发后$\frac{3}{2}$h或$\frac{45}{14}$h或5h，甲、乙两货车与配货站的距离相等.
(1) 30 40 解析：由题图可知，甲货车到达配货站之前的速度是105÷3.5 = 30(km/h)；乙货车的速度是(225 - 105)×2÷6 = 40(km/h).
(2)
∵3.5 + 0.5 = 4(h)，6 - 0.5 = 5.5(h)，
∴E(4,105)，F(5.5,225).设线段EF对应的函数表达式为y = kx + b(4≤x≤5.5).将E(4,105)和F(5.5,225)分别代入，得
$\begin{cases}4k + b = 105,\\5.5k + b = 225.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 80,\\b = -215.\end{cases}$
∴甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数表达式为y = 80x - 215(4≤x≤5.5)
(3)$\frac{3}{2}$或$\frac{45}{14}$或5 解析：易得线段CM对应的函数表达式为y = -40x + 225(0≤x≤3)，线段MN对应的函数表达式为y = 40x - 15(3＜x≤6)，线段OD对应的函数表达式为y = 30x(0≤x≤3.5).当0≤x≤3时，甲货车离配货站的距离为(105 - 30x)km，乙货车离配货站的距离为 -40x + 225 - 105 = (-40x + 120)km，根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”，得105 - 30x = -40x + 120，解得x = $\frac{3}{2}$；当3＜x≤3.5时，甲货车离配货站的距离为(105 - 30x)km，乙货车离配货站的距离为40x - 15 - 105 = (40x - 120)km，根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”，得105 - 30x = 40x - 120，解得x = $\frac{45}{14}$；当乙货车返回B地过程中与甲货车相遇时，两货车与配货站的距离相等，根据“相遇时两货车与A地距离相等”，得80x - 215 = 40x - 15，解得x = 5.
∴出发后$\frac{3}{2}$h或$\frac{45}{14}$h或5h，甲、乙两货车与配货站的距离相等.
3. 某市制米厂接到加工大米的任务，要求 5 天内加工完 220 吨大米，制米厂安排甲、乙两车间共同完成加工任务，乙车间加工中途停工一段时间维修设备，然后改变加工效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务. 甲、乙两车间各自加工大米的质量 $ y $(吨)与甲车间的加工时间 $ x $(天)之间的函数关系如图①所示；未加工大米的质量 $ w $(吨)与甲车间的加工时间 $ x $(天)之间的函数关系如图②所示. 请结合图象回答下列问题：
(1) 甲车间每天加工大米
(2) 求乙车间维修设备后，乙车间加工大米的质量 $ y $(吨)与 $ x $(天)之间的函数表达式.
(3) 如果 55 吨大米恰好装满一节车厢，那么加工多长时间恰好装满第一节车厢？再加工多长时间恰好装满第二节车厢？
(1) 甲车间每天加工大米
20
吨，$ a $ 的值为15
.(2) 求乙车间维修设备后，乙车间加工大米的质量 $ y $(吨)与 $ x $(天)之间的函数表达式.
(3) 如果 55 吨大米恰好装满一节车厢，那么加工多长时间恰好装满第一节车厢？再加工多长时间恰好装满第二节车厢？
答案
3.
(1) 20 15 解析：由题图②，可知第一天甲、乙两车间共加工220 - 185 = 35(吨)，第二天，乙车间停止工作，甲车间单独加工185 - 165 = 20(吨)，则乙车间一天加工35 - 20 = 15(吨)，即a = 15.
(2)设乙车间维修设备后，乙车间加工大米的质量y(吨)与x(天)之间的函数表达式为y = kx + b.把(2,15)，(5,120)代入，得
$\begin{cases}15 = 2k + b,\\120 = 5k + b.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 35,\\b = -55.\end{cases}$
∴所求函数表达式为y = 35x - 55
(3)由题图②，可知当w = 220 - 55 = 165时，恰好是第二天加工结束.
∴加工2天恰好装满第一节车厢.当2≤x≤5时，甲、乙两车间每天加工的总质量为$\frac{165}{5 - 2}$ = 55(吨)，
∴再加工1天恰好装满第二节车厢
(1) 20 15 解析：由题图②，可知第一天甲、乙两车间共加工220 - 185 = 35(吨)，第二天，乙车间停止工作，甲车间单独加工185 - 165 = 20(吨)，则乙车间一天加工35 - 20 = 15(吨)，即a = 15.
(2)设乙车间维修设备后，乙车间加工大米的质量y(吨)与x(天)之间的函数表达式为y = kx + b.把(2,15)，(5,120)代入，得
$\begin{cases}15 = 2k + b,\\120 = 5k + b.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 35,\\b = -55.\end{cases}$
∴所求函数表达式为y = 35x - 55
(3)由题图②，可知当w = 220 - 55 = 165时，恰好是第二天加工结束.
∴加工2天恰好装满第一节车厢.当2≤x≤5时，甲、乙两车间每天加工的总质量为$\frac{165}{5 - 2}$ = 55(吨)，
∴再加工1天恰好装满第二节车厢
