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11. （2025·苏州期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 $ l_1: y = kx + 4(k \lt 0) $ 与 $ y $ 轴相交于点 $ A $，与 $ x $ 轴相交于点 $ B $，且与直线 $ l_2: y = x $ 相交于点 $ C $，点 $ C $ 的横坐标为 1。点 $ P $ 在直线 $ l_1 $ 上运动（不与点 $ C $ 重合），过点 $ P $ 作 $ x $ 轴的平行线，与直线 $ l_2 $ 相交于点 $ Q $，连接 $ OP $，$ AQ $，记 $ \triangle OCP $ 的面积为 $ S_1 $，$ \triangle ACQ $ 的面积为 $ S_2 $。
（1）求 $ k $ 的值。
（2）当点 $ P $ 在线段 $ AC $ 上时，试探究 $ \frac{S_1}{S_2} $ 的值是否为定值。若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。
（1）求 $ k $ 的值。
（2）当点 $ P $ 在线段 $ AC $ 上时，试探究 $ \frac{S_1}{S_2} $ 的值是否为定值。若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。
答案
11.
(1) $\because$ 点 $C$ 在直线 $y = x$ 上，点 $C$ 的横坐标为 1，$\therefore C(1,1)$。$\because$ 点 $C$ 在直线 $y = kx + 4$ 上，$\therefore 1 = k + 4$，解得 $k = - 3$
(2) 是 由
(1)知，直线 $l_1$ 对应的函数表达式为 $y = - 3x + 4$。$\because$ 直线 $l_1$ 与 $y$ 轴相交于点 $A$，$\therefore A(0,4)$，$\therefore OA = 4$。设 $P(t, - 3t + 4)$，其中 $0\leqslant t\leqslant1$。$\because PQ // x$ 轴，$\therefore Q( - 3t + 4, - 3t + 4)$，$\therefore S_1 = S_{\triangle AOC} - S_{\triangle AOP} = \frac{1}{2} × 4×1 - \frac{1}{2} × 4× t = 2 - 2t$，$S_2 = S_{\triangle AOQ} - S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2} × 4 × ( - 3t + 4) - \frac{1}{2} × 4×1 = 6 - 6t$，$\therefore \frac{S_1}{S_2} = \frac{2 - 2t}{6 - 6t} = \frac{2(1 - t)}{6(1 - t)}$。$\because$ 点 $P$ 在线段 $AC$ 上，且不与点 $C$ 重合，$\therefore 0\leqslant t ＜ 1$，此时 $\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{3}$ (定值)
(1) $\because$ 点 $C$ 在直线 $y = x$ 上，点 $C$ 的横坐标为 1，$\therefore C(1,1)$。$\because$ 点 $C$ 在直线 $y = kx + 4$ 上，$\therefore 1 = k + 4$，解得 $k = - 3$
(2) 是 由
(1)知，直线 $l_1$ 对应的函数表达式为 $y = - 3x + 4$。$\because$ 直线 $l_1$ 与 $y$ 轴相交于点 $A$，$\therefore A(0,4)$，$\therefore OA = 4$。设 $P(t, - 3t + 4)$，其中 $0\leqslant t\leqslant1$。$\because PQ // x$ 轴，$\therefore Q( - 3t + 4, - 3t + 4)$，$\therefore S_1 = S_{\triangle AOC} - S_{\triangle AOP} = \frac{1}{2} × 4×1 - \frac{1}{2} × 4× t = 2 - 2t$，$S_2 = S_{\triangle AOQ} - S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2} × 4 × ( - 3t + 4) - \frac{1}{2} × 4×1 = 6 - 6t$，$\therefore \frac{S_1}{S_2} = \frac{2 - 2t}{6 - 6t} = \frac{2(1 - t)}{6(1 - t)}$。$\because$ 点 $P$ 在线段 $AC$ 上，且不与点 $C$ 重合，$\therefore 0\leqslant t ＜ 1$，此时 $\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{3}$ (定值)
12. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 $ y = \frac{3}{4}x $ 的图象与一次函数 $ y = -x + 7 $ 的图象交于点 $ A $。
（1）求点 $ A $ 的坐标。
（2）设 $ x $ 轴上有一点 $ P(a,0) $，过点 $ P $ 作 $ x $ 轴的垂线（垂线位于点 $ A $ 的右侧），分别交正比例函数 $ y = \frac{3}{4}x $ 的图象和一次函数 $ y = -x + 7 $ 的图象于 $ B $，$ C $ 两点，连接 $ OC $。若 $ BC = \frac{7}{5}OA $，求 $ \triangle OBC $ 的面积。
（1）求点 $ A $ 的坐标。
（2）设 $ x $ 轴上有一点 $ P(a,0) $，过点 $ P $ 作 $ x $ 轴的垂线（垂线位于点 $ A $ 的右侧），分别交正比例函数 $ y = \frac{3}{4}x $ 的图象和一次函数 $ y = -x + 7 $ 的图象于 $ B $，$ C $ 两点，连接 $ OC $。若 $ BC = \frac{7}{5}OA $，求 $ \triangle OBC $ 的面积。
答案
12.
(1) 由 $\begin{cases}y = \frac{3}{4}x, \\y = - x + 7, \end{cases}$解得$\begin{cases}x = 4, \\y = 3. \end{cases}$ $\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(4,3)$。
(2) 如图，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $D$。由
(1)，得 $A(4,3)$，$\therefore OD = 4$，$AD = 3$。在 $Rt\triangle OAD$ 中，由勾股定理，得 $OA = \sqrt{OD^{2} + AD^{2}} = 5$。$\therefore BC = \frac{7}{5}OA = \frac{7}{5} × 5 = 7$。$\because$ 点 $P$ 的坐标为 $(a,0)$，$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(a,\frac{3}{4}a)$，点 $C$ 的坐标为 $(a, - a + 7)$，$\therefore BC = \frac{3}{4}a - ( - a + 7) = \frac{7}{4}a - 7$，$\therefore \frac{7}{4}a - 7 = 7$，解得 $a = 8$，即 $OP = 8$，$\therefore S_{\triangle OBC} = \frac{1}{2}BC \cdot OP = \frac{1}{2} × 7× 8 = 28$
