1. 如图所示，已知点A在直线a上，C，B两点在直线b上，且$a// b$，$∠ABC$是钝角。若$AB = 5$，则a，b两条直线的距离可以是（）



A. 8
B. 6
C. 5
D. 4

D

2. 在同一平面内，a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b之间的距离为4，b与c之间的距离为1，则a与c之间的距离是（）
A. 3
B. 5
C. 3或5
D. 无法确定

C

3. 如图所示，在$Rt△ABC$中，$∠BAC = 90^{\circ}$，D，E分别为BC，AC的中点。若$AE = 4$，$BD = 5$，则AB的长为（）
A. 9
B. 7
C. 6
D. 8

C

4. 如图所示，直线$a// b$，且a，b之间相距4，P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，则在点Q的运动过程中，线段PQ的最小值是______。

$4$

5. 如图所示，在$△ABC$中，$AB = BC = 12$，$BD⊥AC$于点D，点F在BC上，且$BF = 4$，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为______。

$4$

6. 如图所示，在$△ABC$中，D，E分别是AC，BC的中点，连接DE。若$DE = 12$，则AB的长为______。

24

7. 如图所示，直线$a// b$，AB与a，b分别相交于点A，B，且$AC⊥AB$，AC交直线b于点C。
（1）若$∠1 = 70^{\circ}$，求$∠2$；
（2）若$AC = 5$，$AB = 12$，$BC = 13$，求直线a与b的距离。

【解析】：
（1）
因为$a// b$，根据两直线平行，同位角相等，所以$\angle 1+\angle 2+\angle BAC = 180^{\circ}$（平角定义，这里可看作直线$a$被$AB$和$AC$所截，利用平行线性质转化角的关系）。
已知$AC\perp AB$，则$\angle BAC = 90^{\circ}$，又$\angle 1 = 70^{\circ}$。
将$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\angle 1 = 70^{\circ}$代入$\angle 1+\angle 2+\angle BAC = 180^{\circ}$，得$70^{\circ}+\angle 2 + 90^{\circ}=180^{\circ}$。
移项可得$\angle 2=180^{\circ}-90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}$。
（2）
设直线$a$与$b$的距离为$h$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}AB\times AC=\frac{1}{2}BC\times h$（以$AB$为底，$AC$为高和以$BC$为底，$h$为高计算$\triangle ABC$面积）。
已知$AC = 5$，$AB = 12$，$BC = 13$，则$\frac{1}{2}\times12\times5=\frac{1}{2}\times13\times h$。
化简得$60 = 13h$，解得$h=\frac{60}{13}$。
【答案】：
（1）$\boldsymbol{20^{\circ}}$；（2）$\boldsymbol{\frac{60}{13}}$

8. 如图所示，在$Rt△ABC$中，$∠BAC = 90^{\circ}$，D，E分别为AB，BC的中点，点F在CA的延长线上，$∠FDA = ∠B$。
（1）求证：$AF = DE$；
（2）若$AC = 6$，$BC = 10$，求四边形AEDF的周长。

【解析】：
### （1）证明$AF = DE$
- 因为$D$、$E$分别为$AB$、$BC$的中点，根据三角形中位线定理，可得$DE// AC$，$DE=\frac{1}{2}AC$。
- 又因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\angle BDE=\angle BAC = 90^{\circ}$。
- 已知$\angle FDA=\angle B$，$BD = AD$（$D$是$AB$中点），$\angle BDE=\angle DAF = 90^{\circ}$。
- 根据$ASA$（角边角）判定定理，可证$\triangle BDE\cong\triangle DAF$。
- 由全等三角形的性质可知$AF = DE$。
### （2）求四边形$AEDF$的周长
- 已知$AC = 6$，$BC = 10$，在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$AB=\sqrt{BC^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8$。
- 因为$E$是$BC$中点，所以$AE=\frac{1}{2}BC = 5$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
- 又因为$DE$是$\triangle ABC$的中位线，所以$DE=\frac{1}{2}AC = 3$。
- 由（1）知$AF = DE = 3$，$DF = BE$，而$BE=\frac{1}{2}BC = 5$，所以$DF = 5$。
- 四边形$AEDF$的周长为$AE + ED + DF + FA=5 + 3 + 5 + 3 = 16$。
【答案】：
（1）证明过程如上述解析；
（2）$16$。