1. 若$m = 1+\sqrt{2}$，$n = 1-\sqrt{2}$，则代数式$\sqrt{m^{2}+n^{2}-3mn}$的值为( )
A. 9
B. $\pm 3$
C. 3
D. 5

C

2. 若$x^{2}+y^{2}=1$，则$\sqrt{x^{2}-4x + 4}+\sqrt{xy - 3x + y - 3}$的值为( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

D

3. 如果$x^{2}-3x + 1 = 0$，那么$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2}$的值是______.

$\sqrt{5}$

4. 如图所示，从一个大正方形中裁去面积为 27 和 48 的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积是______.

$72$

5. 在解决问题“已知$a=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$，求$3a^{2}-6a - 1$的值”时，小明是这样分析与解答的：
$\because a=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\sqrt{2}+1$，$\therefore a - 1=\sqrt{2}$，$\therefore (a - 1)^{2}=2$，即$a^{2}-2a = 1$，
$\therefore 3a^{2}-6a = 3$，$\therefore 3a^{2}-6a - 1 = 3 - 1 = 2$.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简：$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$；(2)若$a=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$，求$3a^{2}-6a - 1$的值.

【解析】：
(1) 化简$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$，为了去掉分母中的根式，我们利用平方差公式$(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$，给分子分母同时乘以$\sqrt{5}+\sqrt{3}$，则$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}$，根据平方差公式$(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})=(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}=5 - 3 = 2$，所以$\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}=\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2}=\sqrt{5}+\sqrt{3}$。
(2) 已知$a = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$，先对$a$进行分母有理化，$a=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}$，根据平方差公式$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2})^{2}-1^{2}=2 - 1 = 1$，所以$a=\sqrt{2}+1$。
将$a=\sqrt{2}+1$变形为$a - 1=\sqrt{2}$，两边同时平方可得$(a - 1)^{2}=(\sqrt{2})^{2}$，根据完全平方公式$(a - 1)^{2}=a^{2}-2a + 1$，则$a^{2}-2a + 1 = 2$，移项可得$a^{2}-2a = 1$。
对$3a^{2}-6a - 1$进行变形可得$3(a^{2}-2a)-1$，把$a^{2}-2a = 1$代入$3(a^{2}-2a)-1$中，得到$3\times1-1=3 - 1 = 2$。
【答案】：(1)$\sqrt{5}+\sqrt{3}$；(2)$2$

6. 观察、思考、解答：
$(\sqrt{2}-1)^{2}=(\sqrt{2})^{2}-2×1×\sqrt{2}+1^{2}=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}$，
反之$3-2\sqrt{2}=2-2\sqrt{2}+1=(\sqrt{2}-1)^{2}$，即$3-2\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1)^{2}$，$\therefore \sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$.
(1)仿照上例，化简：$\sqrt{6-2\sqrt{5}}$.
(2)若$\sqrt{a + 2\sqrt{b}}=\sqrt{m}+\sqrt{n}$，则$m$，$n$与$a$，$b$的关系是什么？并说明理由.
(3)已知$x=\sqrt{4-\sqrt{12}}$，求$(\frac{1}{x - 2}+\frac{1}{x + 2})\cdot\frac{x^{2}-4}{2(x - 1)}$的值.(结果保留根号)

【解析】：
(1)
仿照所给例子化简$\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}$，先将$6 - 2\sqrt{5}$进行变形：
$6 - 2\sqrt{5}=5 - 2\sqrt{5}+1$，根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里$a=\sqrt{5}$，$b = 1$，则$5 - 2\sqrt{5}+1=(\sqrt{5}-1)^{2}$。
所以$\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}=\sqrt{(\sqrt{5}-1)^{2}}=\vert\sqrt{5}-1\vert=\sqrt{5}-1$。
(2)
已知$\sqrt{a + 2\sqrt{b}}=\sqrt{m}+\sqrt{n}$，两边同时平方可得：
$(\sqrt{a + 2\sqrt{b}})^2=(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2$
根据完全平方公式$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}$，则$(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2=m + 2\sqrt{mn}+n$，即$a + 2\sqrt{b}=m + n+2\sqrt{mn}$。
所以$a=m + n$，$b = mn$。
(3)
先化简$x=\sqrt{4-\sqrt{12}}$：
$4-\sqrt{12}=3-\sqrt{12}+1=3 - 2\sqrt{3}+1=(\sqrt{3}-1)^{2}$
所以$x=\sqrt{4-\sqrt{12}}=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^{2}}=\vert\sqrt{3}-1\vert=\sqrt{3}-1$。
再化简$(\frac{1}{x - 2}+\frac{1}{x + 2})\cdot\frac{x^{2}-4}{2(x - 1)}$：
先对$\frac{1}{x - 2}+\frac{1}{x + 2}$通分，$\frac{1}{x - 2}+\frac{1}{x + 2}=\frac{x + 2+(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}=\frac{2x}{x^{2}-4}$。
则$(\frac{1}{x - 2}+\frac{1}{x + 2})\cdot\frac{x^{2}-4}{2(x - 1)}=\frac{2x}{x^{2}-4}\cdot\frac{x^{2}-4}{2(x - 1)}=\frac{x}{x - 1}$。
把$x=\sqrt{3}-1$代入$\frac{x}{x - 1}$得：
$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1 - 1}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-2}$
分母有理化，分子分母同时乘以$\sqrt{3}+2$：
$\begin{aligned}\frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)}&=\frac{3 + 2\sqrt{3}-\sqrt{3}-2}{3-4}\\&=\frac{1+\sqrt{3}}{-1}\\&=-1-\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】：(1)$\sqrt{5}-1$；(2)$a=m + n$，$b = mn$；(3)$-1-\sqrt{3}$