1. 小华注意到跷跷板静止时,可以与地面构成一个三角形.如图所示,在$\triangle ABC$中,跷跷板中间的支撑杆$EF$垂直于地面($E$,$F$分别为$AB$,$AC$的中点).若$EF = 35$,则点$B$距离地面的高度为( )
A. $80$
B. $70$
C. $60$
D. $50$

B

2. 如图所示,将$//ogram ABCD$的一边$BC$延长至点$E$,若$\angle DCE = 55^{\circ}$,则$\angle BAD$的大小为( )



A. $125^{\circ}$
B. $115^{\circ}$
C. $55^{\circ}$
D. $135^{\circ}$

A

3. 如图所示,在平面直角坐标系中,$//ogram ABCD$的顶点$A$,$B$,$D$的坐标分别是$(0,0)$,$(5,0)$,$(2,3)$,则顶点$C$的坐标是( )
A. $(3,7)$
B. $(5,3)$
C. $(7,3)$
D. $(8,2)$

C

4. 如图所示,若平行四边形$ABCD$的周长为$22$,$AC$,$BD$相交于点$O$且$BD$为$5$,则$\triangle ABD$的周长为______.

$16$

5. 若在平行四边形$ABCD$中,$\angle B+\angle D = 270^{\circ}$,则$\angle C =$______.

$45^{\circ}$

6. 如图所示,在$//ogram ABCD$中,$AC$,$BD$相交于点$O$,$E$是$AD$的中点.如果$AB = 6$,那么$OE =$______.

$3$

7. 如图所示,在$//ogram ABCD$中,点$E$,$F$分别在$AB$,$CD$上,$BE = DF$,连接$EF$与对角线$AC$相交于点$O$.
(1)求证:$OE = OF$.
(2)连接$CE$,$G$为$CE$的中点,连接$OG$.若$OG = 2$,求$AE$的长.

【解析】：
### $(1)$ 证明$OE = OF$
本题可通过证明三角形全等，进而证明$OE = OF$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，所以$AB// CD$，$AB = CD$。
由此可得$\angle OAE=\angle OCF$，$\angle OEA=\angle OFC$。
又因为$BE = DF$，所以$AB - BE = CD - DF$，即$AE = CF$。
在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中，$\begin{cases}\angle OAE=\angle OCF\\AE = CF\\\angle OEA=\angle OFC\end{cases}$，根据“角 - 边 - 角”（$ASA$）全等判定定理，可得$\triangle AOE\cong\triangle COF$。
根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，所以$OE = OF$。
### $(2)$ 求$AE$的长
本题可先根据直角三角形斜边中线定理得到$AC$的长度，再结合$(1)$中$\triangle AOE\cong\triangle COF$的结论求解$AE$的长。
由$(1)$知$\triangle AOE\cong\triangle COF$，所以$OA = OC$。
因为$G$为$CE$的中点，即$CG = EG$，所以$OG$是$\triangle ACE$的中位线。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。已知$OG = 2$，所以$AE = 2OG$。
则$AE = 2\times2 = 4$。
【答案】：
$(1)$ 证明如上；$(2)$ $\boldsymbol{4}$

8. 如图所示,已知四边形$ABCD$为平行四边形,$AE$,$CF$分别平分$\angle BAD$和$\angle BCD$,交$BD$于点$E$,$F$,连接$AF$,$CE$.
(1)若$\angle BCF = 68^{\circ}$,求$\angle ABC$;
(2)求证:$AE = CF$.

【解析】：
(1)
因为$CF$平分$\angle BCD$，所以$\angle BCD = 2\angle BCF$。
已知$\angle BCF = 68^{\circ}$，则$\angle BCD=2\times68^{\circ}=136^{\circ}$。
又因为四边形$ABCD$是平行四边形，$AB// CD$，根据平行四边形邻角互补，即$\angle ABC+\angle BCD = 180^{\circ}$。
所以$\angle ABC=180^{\circ}-\angle BCD=180^{\circ}-136^{\circ}=44^{\circ}$。
(2)
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$，$AB// CD$，$\angle BAD=\angle BCD$。
因为$AE$，$CF$分别平分$\angle BAD$和$\angle BCD$，所以$\angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAD$，$\angle DCF=\frac{1}{2}\angle BCD$，则$\angle BAE=\angle DCF$。
又因为$AB// CD$，所以$\angle ABE=\angle CDF$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，$\begin{cases}\angle ABE=\angle CDF\\AB = CD\\\angle BAE=\angle DCF\end{cases}$。
根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理，可得$\triangle ABE\cong\triangle CDF$。
由全等三角形的对应边相等，所以$AE = CF$。
【答案】：
(1)$44^{\circ}$
(2)证明过程如上述解析。