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7 如图,已知直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOC,∠AOE=145°,则∠AOD的度数是 (
A.70°
B.80°
C.55°
D.65°
A
)A.70°
B.80°
C.55°
D.65°
答案
7.A
解析
【分析】
解题思路：首先利用平角的性质求出∠BOE的度数；再结合角平分线的定义求出∠BOC的度数；最后根据对顶角相等的性质，即可得到∠AOD的度数。
第一步：AB为直线，∠AOB是平角为180°，已知∠AOE的度数，用180°减去∠AOE就能得到∠BOE的度数。
第二步：OE平分∠BOC，说明∠BOC是∠BOE的2倍，由此算出∠BOC的大小。
第三步：∠AOD和∠BOC是对顶角，对顶角相等，所以∠AOD的度数和∠BOC相等。
【解析】
解：
∵直线AB为平角，
∴∠AOB=180°
已知∠AOE=145°，
∴∠BOE=∠AOB - ∠AOE = 180° - 145° = 35°
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠BOE=2×35°=70°
又
∵∠AOD与∠BOC是对顶角，根据对顶角相等的性质，
∴∠AOD=∠BOC=70°
【答案】
A
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，对顶角的性质
【点评】
本题是相交线性质的基础应用题，解题的关键是理清各角之间的数量关系，依次运用平角、角平分线、对顶角的相关性质推导即可，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先利用平角的性质求出∠BOE的度数；再结合角平分线的定义求出∠BOC的度数；最后根据对顶角相等的性质，即可得到∠AOD的度数。
第一步：AB为直线，∠AOB是平角为180°，已知∠AOE的度数，用180°减去∠AOE就能得到∠BOE的度数。
第二步：OE平分∠BOC，说明∠BOC是∠BOE的2倍，由此算出∠BOC的大小。
第三步：∠AOD和∠BOC是对顶角，对顶角相等，所以∠AOD的度数和∠BOC相等。
【解析】
解：
∵直线AB为平角，
∴∠AOB=180°
已知∠AOE=145°，
∴∠BOE=∠AOB - ∠AOE = 180° - 145° = 35°
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠BOE=2×35°=70°
又
∵∠AOD与∠BOC是对顶角，根据对顶角相等的性质，
∴∠AOD=∠BOC=70°
【答案】
A
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，对顶角的性质
【点评】
本题是相交线性质的基础应用题，解题的关键是理清各角之间的数量关系，依次运用平角、角平分线、对顶角的相关性质推导即可，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
8 如图，$AB// CD$，$EF// GH$. 若$∠ 1=55°$，则下列结论错误的是 （
A.$∠ 2=125°$
B.$∠ 3=55°$
C.$∠ 4=125°$
D.$∠ 5=55°$
C
）A.$∠ 2=125°$
B.$∠ 3=55°$
C.$∠ 4=125°$
D.$∠ 5=55°$
答案
8.C
解析
【分析】
解题时先结合已知的两组平行线，运用平行线的性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），从已知的∠1=55°出发，依次推导各个角的度数，再和选项比对，即可找出错误的结论。首先根据AB//CD推导∠2的度数，再根据EF//GH推导∠5的度数，接着结合AB//CD推导∠3的度数，最后根据EF//GH推导∠4的度数，逐一判断选项正误。
【解析】
已知∠1=55°，推导各角度数如下：
1. 求∠2的度数：
∵ AB//CD，EF为截线，
∴ ∠1与EF、AB交点右上角的角是同位角，两直线平行，同位角相等，即该角=∠1=55°，
又
∵ 该角与∠2是邻补角，和为180°，
∴ ∠2=180°-55°=125°，A选项正确，不符合题意。
2. 求∠5的度数：
∵ EF//GH，CD为截线，
∴ ∠1和∠5是同位角，两直线平行，同位角相等，
∴ ∠5=∠1=55°，D选项正确，不符合题意。
3. 求∠3的度数：
∵ AB//CD，GH为截线，
∴ ∠3和∠5是同位角，两直线平行，同位角相等，
∴ ∠3=∠5=55°，B选项正确，不符合题意。
4. 求∠4的度数：
∵ EF//GH，AB为截线，
∴ ∠4和∠3的对顶角是内错角，两直线平行，内错角相等，
又
∵ 对顶角相等，∠3的对顶角=∠3=55°，
∴ ∠4=55°，C选项表述∠4=125°，错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，邻补角，对顶角
【点评】
本题侧重考查平行线性质的应用，解题关键是准确识别同位角、内错角、同旁内角，结合平行线性质逐一推导各角的度数，注意不要混淆不同位置角的数量关系。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知的两组平行线，运用平行线的性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），从已知的∠1=55°出发，依次推导各个角的度数，再和选项比对，即可找出错误的结论。首先根据AB//CD推导∠2的度数，再根据EF//GH推导∠5的度数，接着结合AB//CD推导∠3的度数，最后根据EF//GH推导∠4的度数，逐一判断选项正误。
【解析】
已知∠1=55°，推导各角度数如下：
1. 求∠2的度数：
∵ AB//CD，EF为截线，
∴ ∠1与EF、AB交点右上角的角是同位角，两直线平行，同位角相等，即该角=∠1=55°，
又
∵ 该角与∠2是邻补角，和为180°，
∴ ∠2=180°-55°=125°，A选项正确，不符合题意。
2. 求∠5的度数：
∵ EF//GH，CD为截线，
∴ ∠1和∠5是同位角，两直线平行，同位角相等，
∴ ∠5=∠1=55°，D选项正确，不符合题意。
3. 求∠3的度数：
∵ AB//CD，GH为截线，
∴ ∠3和∠5是同位角，两直线平行，同位角相等，
∴ ∠3=∠5=55°，B选项正确，不符合题意。
4. 求∠4的度数：
∵ EF//GH，AB为截线，
∴ ∠4和∠3的对顶角是内错角，两直线平行，内错角相等，
又
∵ 对顶角相等，∠3的对顶角=∠3=55°，
∴ ∠4=55°，C选项表述∠4=125°，错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，邻补角，对顶角
【点评】
本题侧重考查平行线性质的应用，解题关键是准确识别同位角、内错角、同旁内角，结合平行线性质逐一推导各角的度数，注意不要混淆不同位置角的数量关系。
【难度系数】
0.7
9 如图,将直角三角形ABC沿着点B到点C的方向平移得到三角形DEF,其中∠B=90°,AB=8,DH=3.若平移距离为4,则阴影部分的面积为 (
A.20
B.24
C.25
D.26
D
)A.20
B.24
C.25
D.26
答案
9.D
解析
【分析】
解决本题首先利用平移的性质：平移前后的图形全等、面积相等，对应边相等，对应点的连线长度等于平移距离。观察图形可知，△ABC和△DEF的公共部分是△HEC，因此阴影部分面积与梯形ABEH的面积相等，只需计算梯形ABEH的面积即可得到阴影部分面积，这样就将不规则图形的面积转化为规则图形的面积求解。
【解析】
解：
∵ 直角三角形ABC沿B到C的方向平移得到三角形DEF
∴ △ABC和△DEF全等，DE=AB=8，平移距离BE=4，且$S_{△ ABC}=S_{△ DEF}$
∵ $S_{阴影}=S_{△ DEF}-S_{△ HEC}$，$S_{梯形ABEH}=S_{△ ABC}-S_{△ HEC}$
∴ $S_{阴影}=S_{梯形ABEH}$
已知DH=3，可得HE=DE-DH=8-3=5
梯形ABEH的上底HE=5，下底AB=8，高BE=4，根据梯形面积公式：
$S=(a+b)h÷2$，代入数值：
$S_{阴影}=(5+8)×4÷2=26$
【答案】
D
【知识点】
平移的性质，梯形面积计算
【点评】
本题通过平移的性质实现面积转化，把无法直接计算的阴影部分面积转化为易计算的梯形面积，是求解此类平移类面积问题的常用思路，需要熟练掌握转化思想的运用。
【难度系数】
0.7
解决本题首先利用平移的性质：平移前后的图形全等、面积相等，对应边相等，对应点的连线长度等于平移距离。观察图形可知，△ABC和△DEF的公共部分是△HEC，因此阴影部分面积与梯形ABEH的面积相等，只需计算梯形ABEH的面积即可得到阴影部分面积，这样就将不规则图形的面积转化为规则图形的面积求解。
【解析】
解：
∵ 直角三角形ABC沿B到C的方向平移得到三角形DEF
∴ △ABC和△DEF全等，DE=AB=8，平移距离BE=4，且$S_{△ ABC}=S_{△ DEF}$
∵ $S_{阴影}=S_{△ DEF}-S_{△ HEC}$，$S_{梯形ABEH}=S_{△ ABC}-S_{△ HEC}$
∴ $S_{阴影}=S_{梯形ABEH}$
已知DH=3，可得HE=DE-DH=8-3=5
梯形ABEH的上底HE=5，下底AB=8，高BE=4，根据梯形面积公式：
$S=(a+b)h÷2$，代入数值：
$S_{阴影}=(5+8)×4÷2=26$
【答案】
D
【知识点】
平移的性质，梯形面积计算
【点评】
本题通过平移的性质实现面积转化，把无法直接计算的阴影部分面积转化为易计算的梯形面积，是求解此类平移类面积问题的常用思路，需要熟练掌握转化思想的运用。
【难度系数】
0.7
10 将命题“同位角相等”写成“如果……，那么……”的形式是
如果两个角是同位角,那么这两个角相等
，该命题是假
命题(填“真”或“假”)。答案
10.如果两个角是同位角,那么这两个角相等 假
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确命题的组成结构：命题由题设（条件）和结论两部分构成，“如果……”后接题设，“那么……”后接结论。第一步改写命题时，先从原命题“同位角相等”中提取题设：两个角是同位角，再提取结论：这两个角相等，组合成规范的“如果……那么……”形式即可。第二步判断命题真假，需要回忆同位角相等的前提：只有两条被截直线平行时，同位角才相等，原命题没有给出两直线平行的前提，因此命题不成立，属于假命题。
【解析】
1. 改写命题：原命题的题设为“两个角是同位角”，结论为“这两个角相等”，因此写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等。
2. 判断真假：同位角相等的前提是两条被截直线互相平行，该命题没有说明两直线平行的条件，因此结论不一定成立，属于假命题。
【答案】
如果两个角是同位角,那么这两个角相等 假
【知识点】
命题的改写、真假命题判断、平行线的性质
【点评】
本题考查命题相关基础概念，改写命题时要注意把题设表述清晰完整，判断真假时要留意命题成立的前提条件，易错点是忽略同位角相等的前提是两直线平行，从而误判为真命题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确命题的组成结构：命题由题设（条件）和结论两部分构成，“如果……”后接题设，“那么……”后接结论。第一步改写命题时，先从原命题“同位角相等”中提取题设：两个角是同位角，再提取结论：这两个角相等，组合成规范的“如果……那么……”形式即可。第二步判断命题真假，需要回忆同位角相等的前提：只有两条被截直线平行时，同位角才相等，原命题没有给出两直线平行的前提，因此命题不成立，属于假命题。
【解析】
1. 改写命题：原命题的题设为“两个角是同位角”，结论为“这两个角相等”，因此写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等。
2. 判断真假：同位角相等的前提是两条被截直线互相平行，该命题没有说明两直线平行的条件，因此结论不一定成立，属于假命题。
【答案】
如果两个角是同位角,那么这两个角相等 假
【知识点】
命题的改写、真假命题判断、平行线的性质
【点评】
本题考查命题相关基础概念，改写命题时要注意把题设表述清晰完整，判断真假时要留意命题成立的前提条件，易错点是忽略同位角相等的前提是两直线平行，从而误判为真命题。
【难度系数】
0.7
11 如图,一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向(即$AB// CD$).如果$∠ B=140°$,那么$∠ C$的度数是
(第11题)
140°
. (第11题)答案
11.140°
解析
【分析】
首先明确题目已知条件：公路两次转弯后方向不变，即$AB// CD$，且$∠ B=140°$，要求$∠ C$的度数。观察图形可发现，$∠ B$和$∠ C$是直线$AB$、$CD$被直线$BC$所截形成的内错角，根据平行线的性质，两直线平行时内错角相等，因此可直接通过$∠ B$的度数求出$∠ C$的度数。
【解析】
解：$\because AB// CD$（已知），
$∠ B$与$∠ C$是直线$AB$、$CD$被直线$BC$所截得到的内错角，
$\therefore ∠ C=∠ B$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠ B=140°$（已知），
$\therefore ∠ C=140°$。
【答案】
$140°$
【知识点】
平行线的性质、内错角的识别
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查平行线性质的实际应用，解题的关键是准确识别平行线被截线形成的内错角，结合平行线的性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
首先明确题目已知条件：公路两次转弯后方向不变，即$AB// CD$，且$∠ B=140°$，要求$∠ C$的度数。观察图形可发现，$∠ B$和$∠ C$是直线$AB$、$CD$被直线$BC$所截形成的内错角，根据平行线的性质，两直线平行时内错角相等，因此可直接通过$∠ B$的度数求出$∠ C$的度数。
【解析】
解：$\because AB// CD$（已知），
$∠ B$与$∠ C$是直线$AB$、$CD$被直线$BC$所截得到的内错角，
$\therefore ∠ C=∠ B$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠ B=140°$（已知），
$\therefore ∠ C=140°$。
【答案】
$140°$
【知识点】
平行线的性质、内错角的识别
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查平行线性质的实际应用，解题的关键是准确识别平行线被截线形成的内错角，结合平行线的性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
12 如图,某住宅小区内有一块长方形空地,想在该长方形空地内修筑同样宽的两条“之”字形小路,余下部分绿化.若小路的宽为2 m,则绿化的面积为
540
m².答案
12.540
解析
【分析】
遇到这种在长方形内修等宽曲折小路求绿化面积的问题，我们可以用平移法简化计算：把横向的小路全部平移到长方形的上方，纵向的小路全部平移到长方形的左侧，此时分散的绿化部分会拼接成一个完整的新长方形，只需要算出这个新长方形的长和宽，再用长方形面积公式就能求出绿化面积，不需要分段计算小路面积，更简便不易出错。
【解析】
第一步：将曲折小路进行平移，横向小路向上平移、纵向小路向左平移后，绿化部分形成一个新的长方形。
第二步：计算新长方形的长：原来长方形长32m，减去纵向小路的宽度2m，得新长=32-2=30(m)。
第三步：计算新长方形的宽：原来长方形宽20m，减去横向小路的宽度2m，得新宽=20-2=18(m)。
第四步：根据长方形面积=长×宽，计算绿化面积：$30×18=540(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
540
【知识点】
平移的应用、长方形面积计算
【点评】
本题考查不规则区域面积的计算，核心是利用平移将不规则的绿化区域转化为规则的长方形，大幅降低计算难度，这种方法是解决等宽小路类面积问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
遇到这种在长方形内修等宽曲折小路求绿化面积的问题，我们可以用平移法简化计算：把横向的小路全部平移到长方形的上方，纵向的小路全部平移到长方形的左侧，此时分散的绿化部分会拼接成一个完整的新长方形，只需要算出这个新长方形的长和宽，再用长方形面积公式就能求出绿化面积，不需要分段计算小路面积，更简便不易出错。
【解析】
第一步：将曲折小路进行平移，横向小路向上平移、纵向小路向左平移后，绿化部分形成一个新的长方形。
第二步：计算新长方形的长：原来长方形长32m，减去纵向小路的宽度2m，得新长=32-2=30(m)。
第三步：计算新长方形的宽：原来长方形宽20m，减去横向小路的宽度2m，得新宽=20-2=18(m)。
第四步：根据长方形面积=长×宽，计算绿化面积：$30×18=540(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
540
【知识点】
平移的应用、长方形面积计算
【点评】
本题考查不规则区域面积的计算，核心是利用平移将不规则的绿化区域转化为规则的长方形，大幅降低计算难度，这种方法是解决等宽小路类面积问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
13 如图，已知$∠ FED = ∠ AHD$，$∠ GFA = 40°$，$∠ HAQ = 15°$，$∠ ACB = 70°$，且AQ平分$∠ FAC$，求证：$BD // GE // AH$.
答案
13.证明:
∵ ∠FED = ∠AHD,
∴ GE//AH,
∴ ∠GFA = ∠FAH.
∵ ∠GFA = 40°,
∴ ∠FAH = 40°,
∴ ∠FAQ = ∠FAH + ∠HAQ.
∵ ∠HAQ = 15°,
∴ ∠FAQ = 40° + 15° = 55°.
∵ AQ平分∠FAC,
∴ ∠QAC = ∠FAQ = 55°.
∴ ∠HAC = ∠QAC + ∠HAQ = 55° + 15° = 70°.
又
∵ ∠ACB = 70°,
∴ ∠ACB = ∠HAC,
∴ BD//AH,
∴ BD//GE//AH.
∵ ∠FED = ∠AHD,
∴ GE//AH,
∴ ∠GFA = ∠FAH.
∵ ∠GFA = 40°,
∴ ∠FAH = 40°,
∴ ∠FAQ = ∠FAH + ∠HAQ.
∵ ∠HAQ = 15°,
∴ ∠FAQ = 40° + 15° = 55°.
∵ AQ平分∠FAC,
∴ ∠QAC = ∠FAQ = 55°.
∴ ∠HAC = ∠QAC + ∠HAQ = 55° + 15° = 70°.
又
∵ ∠ACB = 70°,
∴ ∠ACB = ∠HAC,
∴ BD//AH,
∴ BD//GE//AH.
解析
【分析】
首先观察已知相等的两个角∠FED和∠AHD，二者是同位角，可根据“同位角相等，两直线平行”先证明GE//AH；再利用平行线的性质得到相等的内错角，结合已知角的度数和角平分线的定义，求出∠HAC的度数，对比∠ACB的度数，根据“内错角相等，两直线平行”证明BD//AH；最后根据平行的传递性即可证明三条直线互相平行。
【解析】
证明:
∵ ∠FED = ∠AHD,
∴ GE//AH,
∴ ∠GFA = ∠FAH.
∵ ∠GFA = 40°,
∴ ∠FAH = 40°,
∴ ∠FAQ = ∠FAH + ∠HAQ.
∵ ∠HAQ = 15°,
∴ ∠FAQ = 40° + 15° = 55°.
∵ AQ平分∠FAC,
∴ ∠QAC = ∠FAQ = 55°.
∴ ∠HAC = ∠QAC + ∠HAQ = 55° + 15° = 70°.
又
∵ ∠ACB = 70°,
∴ ∠ACB = ∠HAC,
∴ BD//AH,
∴ BD//GE//AH.
【答案】
BD//GE//AH，证明成立。
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是平行线相关知识的基础综合应用题，解题时需要结合已知条件逐步推导角的数量关系，再通过角的关系判定直线平行，逻辑链条清晰，熟练掌握平行线的判定和性质定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
首先观察已知相等的两个角∠FED和∠AHD，二者是同位角，可根据“同位角相等，两直线平行”先证明GE//AH；再利用平行线的性质得到相等的内错角，结合已知角的度数和角平分线的定义，求出∠HAC的度数，对比∠ACB的度数，根据“内错角相等，两直线平行”证明BD//AH；最后根据平行的传递性即可证明三条直线互相平行。
【解析】
证明:
∵ ∠FED = ∠AHD,
∴ GE//AH,
∴ ∠GFA = ∠FAH.
∵ ∠GFA = 40°,
∴ ∠FAH = 40°,
∴ ∠FAQ = ∠FAH + ∠HAQ.
∵ ∠HAQ = 15°,
∴ ∠FAQ = 40° + 15° = 55°.
∵ AQ平分∠FAC,
∴ ∠QAC = ∠FAQ = 55°.
∴ ∠HAC = ∠QAC + ∠HAQ = 55° + 15° = 70°.
又
∵ ∠ACB = 70°,
∴ ∠ACB = ∠HAC,
∴ BD//AH,
∴ BD//GE//AH.
【答案】
BD//GE//AH，证明成立。
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是平行线相关知识的基础综合应用题，解题时需要结合已知条件逐步推导角的数量关系，再通过角的关系判定直线平行，逻辑链条清晰，熟练掌握平行线的判定和性质定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
