4 如图,某村庄要在河岸$l$上建一个水泵房引水到$C$处.他们的做法是:过点$C$作$CD ⊥ l$于点$D$,将水泵房建在了$D$处,这样做最节省水管长度,其中蕴含的数学道理是.

4.垂线段最短

【分析】
要解决这道题，首先明确目标是找到河岸$l$上一点，使得该点到$C$的连线长度最短，从而最节省水管。首先回忆点与直线连线的相关性质：直线外一点和直线上所有点的连线中，不同线段长度不同，我们需要找到最短连线对应的性质。题中做法是过$C$作$l$的垂线，垂足为$D$，选$D$建水泵房，只需对应上垂线段的相关性质即可。
【解析】
把河岸$l$看作一条直线，$C$看作直线$l$外的一点，水泵房的位置是直线$l$上的点。根据几何基本性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。本题中$CD$是点$C$到直线$l$的垂线段，因此在$D$处建水泵房时，所需水管长度最短，对应的数学道理就是垂线段最短。
【答案】
垂线段最短
【知识点】
垂线段的性质；点到直线的距离
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何基础性质的应用，核心是理解垂线段最短的性质，能将其和实际问题中“最短路径”“最省材料”等需求对应起来。
【难度系数】
0.9

5 阅读理解,补全解答过程及推理依据.
已知:如图,点E在直线DF上,点B在直线AC上,∠1=∠2,∠3=∠4.
求证:∠A=∠F.
证明:∵ ∠1=∠2(已知),∠2=∠DGF(),
∴ ∠1=∠DGF(等量代换),
∴ //(),
∴ ∠3 + ∠ =180°().
又∵ ∠3=∠4(已知),
∴ ∠4 + ∠C=180°(等量代换).
∴ //(),
∴ ∠A=∠F().

5.对顶角相等 BD CE 同位角相等,两直线平行
C 两直线平行,同旁内角互补 AC DF
同旁内角互补,两直线平行 两直线平行,内错角相等

【分析】
这是一道平行线判定与性质综合应用的几何推理题，解题思路如下：首先利用对顶角的性质找到与已知角相等的等量角，通过同位角相等判定第一组直线平行；再利用平行线的性质得到同旁内角互补的关系，结合已知的角相等条件进行等量代换，得到新的同旁内角互补关系，进而判定第二组直线平行；最后根据平行线的性质推出待证的两个角相等。推导过程中要注意区分平行线的判定（由角的关系推平行）和性质（由平行推角的关系），避免混淆定理的应用场景。
【解析】
证明:
∵ ∠1=∠2(已知),∠2=∠DGF(对顶角相等),
∴ ∠1=∠DGF(等量代换),
∴ BD // CE (同位角相等,两直线平行),
∴ ∠3 + ∠C =180°(两直线平行,同旁内角互补).
又
∵ ∠3=∠4(已知),
∴ ∠4 + ∠C=180°(等量代换).
∴ AC // DF (同旁内角互补,两直线平行),
∴ ∠A=∠F(两直线平行,内错角相等).
【答案】
对顶角相等；BD；CE；同位角相等,两直线平行；C；两直线平行,同旁内角互补；AC；DF；同旁内角互补,两直线平行；两直线平行,内错角相等
【知识点】
对顶角性质；平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题是几何基础推理类题型，主要考查平行线判定和性质的综合运用，解题的关键是理清角与直线之间的逻辑推导关系，正确区分和使用平行线的判定定理、性质定理即可完成推导。
【难度系数】
0.7

6 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，三角形ABC的顶点均在格点（每个小正方形的顶点）上.
(1)请画出将三角形ABC向右平移7个单位长度后得到的三角形DEF(点A,B,C分别对应点D,E,F)；
(2)写出(1)中两个三角形中平行的线段和相等的角.

6.解:(1)画出三角形DEF如图.
(2)平行的线段:AB//DE,BC//EF,AC//DF;
相等的角:∠A = ∠D,∠B = ∠E,∠C = ∠F.

【分析】
(1)平移作图需要先明确平移的方向和距离，本题要求向右平移7个单位，只需将△ABC的三个顶点A、B、C分别沿水平向右方向数7个格，得到对应的顶点D、E、F，再顺次连接三个顶点就能得到平移后的△DEF。
(2)根据平移的性质，图形平移后对应线段互相平行，对应角大小相等，只要找出两个三角形的对应线段和对应角，就能得到所求的平行线段和相等的角。
【解析】
(1) ①确定对应点：将点A向右平移7个单位长度得到点D，点B向右平移7个单位长度得到点E，点C向右平移7个单位长度得到点F；②顺次连接D、E、F三点，所得的△DEF就是平移后的图形。
(2) 由平移的性质可知，平移前后对应线段平行、对应角相等：
平行的线段为两组三角形的对应边：AB与DE平行，BC与EF平行，AC与DF平行；
相等的角为两组三角形的对应内角：∠A与∠D相等，∠B与∠E相等，∠C与∠F相等。
【答案】
(1)画出三角形DEF如图.
(2)平行的线段:AB//DE,BC//EF,AC//DF;
相等的角:∠A = ∠D,∠B = ∠E,∠C = ∠F.
【知识点】
平移作图，平移的性质，对应线段与角识别
【点评】
本题是基础类题型，重点考查平移的作图方法和平移性质的应用，作图时注意平移方向和距离不要出错，牢记平移的核心性质就能快速得出结论。
【难度系数】
0.8