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14 如图,已知点 E,F 在直线 AB 上,点 G 在线段 CD 上,ED 与 FG 相交于点 H,且∠C = ∠EFG,∠CED = ∠GHD.
(1)求证:AB//CD.
(2)若 ED⊥FG,且∠D =25°,求∠AEM 的度数.
(1)求证:AB//CD.
(2)若 ED⊥FG,且∠D =25°,求∠AEM 的度数.
答案
14.(1)证明:
∵ ∠CED = ∠GHD,
∴ CE//GF,
∴ ∠C = ∠FGD.
∵ ∠C = ∠EFG,
∴ ∠FGD = ∠EFG,
∴ AB//CD.
(2)解:
∵ ED⊥FG,
∴ ∠GHD = 90°,
∴ ∠CED = ∠GHD = 90°.
∵ AB//CD,
∴ ∠BED = ∠D = 25°,
∴ ∠BEC = ∠BED + ∠CED = 25° + 90° = 115°,
∴ ∠AEM = ∠BEC = 115°.
∵ ∠CED = ∠GHD,
∴ CE//GF,
∴ ∠C = ∠FGD.
∵ ∠C = ∠EFG,
∴ ∠FGD = ∠EFG,
∴ AB//CD.
(2)解:
∵ ED⊥FG,
∴ ∠GHD = 90°,
∴ ∠CED = ∠GHD = 90°.
∵ AB//CD,
∴ ∠BED = ∠D = 25°,
∴ ∠BEC = ∠BED + ∠CED = 25° + 90° = 115°,
∴ ∠AEM = ∠BEC = 115°.
解析
【分析】
(1) 要证AB//CD，可通过推导AB、CD被截线所形成的内错角相等来证明。首先根据已知∠CED=∠GHD，由同位角相等可推出CE//GF，再由平行线性质得∠C=∠FGD；结合已知∠C=∠EFG，等量代换得到∠EFG=∠FGD，这组内错角相等即可推出AB//CD。
(2) 先根据ED⊥FG得到∠GHD=90°，结合已知条件推出∠CED=90°；再利用(1)中AB//CD的结论，由平行线内错角相等得∠BED=∠D=25°，计算得到∠BEC的度数，最后根据对顶角相等即可求出∠AEM的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠CED = ∠GHD，
∴ CE//GF（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠C = ∠FGD（两直线平行，同位角相等）。
∵ ∠C = ∠EFG，
∴ ∠FGD = ∠EFG（等量代换），
∴ AB//CD（内错角相等，两直线平行）。
(2) 解：
∵ ED⊥FG，
∴ ∠GHD = 90°（垂直的定义），
∴ ∠CED = ∠GHD = 90°。
∵ AB//CD，
∴ ∠BED = ∠D = 25°（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠BEC = ∠BED + ∠CED = 25° + 90° = 115°，
∵ ∠AEM和∠BEC是对顶角，
∴ ∠AEM = ∠BEC = 115°（对顶角相等）。
【答案】
(1) AB//CD得证；(2) $\boldsymbol{∠AEM=115°}$
【知识点】
平行线的判定与性质，垂直的定义，对顶角的性质
【点评】
本题侧重考察平行线相关定理的综合应用，解题的关键是找准截线与被截线形成的角的位置关系，结合已知条件逐步推导，是几何入门阶段的典型基础习题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证AB//CD，可通过推导AB、CD被截线所形成的内错角相等来证明。首先根据已知∠CED=∠GHD，由同位角相等可推出CE//GF，再由平行线性质得∠C=∠FGD；结合已知∠C=∠EFG，等量代换得到∠EFG=∠FGD，这组内错角相等即可推出AB//CD。
(2) 先根据ED⊥FG得到∠GHD=90°，结合已知条件推出∠CED=90°；再利用(1)中AB//CD的结论，由平行线内错角相等得∠BED=∠D=25°，计算得到∠BEC的度数，最后根据对顶角相等即可求出∠AEM的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠CED = ∠GHD，
∴ CE//GF（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠C = ∠FGD（两直线平行，同位角相等）。
∵ ∠C = ∠EFG，
∴ ∠FGD = ∠EFG（等量代换），
∴ AB//CD（内错角相等，两直线平行）。
(2) 解：
∵ ED⊥FG，
∴ ∠GHD = 90°（垂直的定义），
∴ ∠CED = ∠GHD = 90°。
∵ AB//CD，
∴ ∠BED = ∠D = 25°（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠BEC = ∠BED + ∠CED = 25° + 90° = 115°，
∵ ∠AEM和∠BEC是对顶角，
∴ ∠AEM = ∠BEC = 115°（对顶角相等）。
【答案】
(1) AB//CD得证；(2) $\boldsymbol{∠AEM=115°}$
【知识点】
平行线的判定与性质，垂直的定义，对顶角的性质
【点评】
本题侧重考察平行线相关定理的综合应用，解题的关键是找准截线与被截线形成的角的位置关系，结合已知条件逐步推导，是几何入门阶段的典型基础习题。
【难度系数】
0.7
15 在三角形$ABC$中，$AD$平分$∠ BAC$.
(1)如图①，将三角形$ABD$沿$BC$方向平移，使点$D$移至点$C$的位置得到三角形$A'B'D'$，$A'B'$交$AC$于点$E$. 猜想$∠ B'EC$与$∠ A'$之间的关系，并说明理由；
(2)如图②，将三角形$ABD$沿$AC$方向平移得到三角形$A'B'D'$，请判断$A'D'$是否平分$∠ B'A'C$，并说明理由.
(1)如图①，将三角形$ABD$沿$BC$方向平移，使点$D$移至点$C$的位置得到三角形$A'B'D'$，$A'B'$交$AC$于点$E$. 猜想$∠ B'EC$与$∠ A'$之间的关系，并说明理由；
(2)如图②，将三角形$ABD$沿$AC$方向平移得到三角形$A'B'D'$，请判断$A'D'$是否平分$∠ B'A'C$，并说明理由.
答案
15.解:(1)∠B'EC = 2∠A'.
理由:
∵ AD平分∠BAC,
∴ ∠BAC = 2∠BAD.
由平移的性质,得∠BAD = ∠A',AB//A'B',
∴ ∠B'EC = ∠BAC = 2∠BAD = 2∠A'.
(2)A'D'平分∠B'A'C.
理由:由平移的性质,得∠B'A'D' = ∠BAD,
AB//A'B',
∴ ∠BAC = ∠B'A'C.
∵ AD平分∠BAC,
∴ ∠BAD = 1/2 ∠BAC,
∴ ∠B'A'D' = 1/2 ∠B'A'C,
∴ A'D'平分∠B'A'C.
理由:
∵ AD平分∠BAC,
∴ ∠BAC = 2∠BAD.
由平移的性质,得∠BAD = ∠A',AB//A'B',
∴ ∠B'EC = ∠BAC = 2∠BAD = 2∠A'.
(2)A'D'平分∠B'A'C.
理由:由平移的性质,得∠B'A'D' = ∠BAD,
AB//A'B',
∴ ∠BAC = ∠B'A'C.
∵ AD平分∠BAC,
∴ ∠BAD = 1/2 ∠BAC,
∴ ∠B'A'D' = 1/2 ∠B'A'C,
∴ A'D'平分∠B'A'C.
解析
【分析】
(1) 要推导∠B'EC与∠A'的关系，首先结合已知条件和图形性质思考：首先回忆平移的性质，平移后对应角相等、对应线段平行；再结合AD平分∠BAC的条件，可得∠BAC=2∠BAD。首先由平移性质得∠A'=∠BAD、AB//A'B'，再由平行线的同位角相等可得∠B'EC=∠BAC，通过等量代换即可得到两个角的数量关系。
(2) 要判断A'D'是否平分∠B'A'C，只需证明∠B'A'D'=½∠B'A'C即可。首先由平移性质得∠B'A'D'=∠BAD、AB//A'B'，由平行线性质得∠B'A'C=∠BAC，再结合AD平分∠BAC的条件，通过等量代换即可验证∠B'A'D'是∠B'A'C的一半，从而得到结论。
【解析】
(1) ∠B'EC = 2∠A'，理由如下：
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAC = 2∠BAD。
由平移的性质可知，∠BAD = ∠A'，且AB//A'B'，
∴ ∠B'EC = ∠BAC（两直线平行，同位角相等），
∴ ∠B'EC = 2∠BAD = 2∠A'。
(2) A'D'平分∠B'A'C，理由如下：
由平移的性质可知，∠B'A'D' = ∠BAD，且AB//A'B'，
∴ ∠B'A'C = ∠BAC（两直线平行，同位角相等）。
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD = ½∠BAC，
等量代换得∠B'A'D' = ½∠B'A'C，
∴ A'D'平分∠B'A'C。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠B'EC = 2∠A'}$；
(2) $\boldsymbol{A'D'平分∠B'A'C}$
【知识点】
1. 角平分线的定义与判定
2. 平移的性质
3. 平行线的性质
【点评】
本题是平移变换的典型应用类题目，将平移性质、平行线的角性质、角平分线的判定结合考查，解题的核心是准确抓住平移前后图形的对应角相等、对应线段平行的性质，通过等量代换推导角的数量关系，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.75
(1) 要推导∠B'EC与∠A'的关系，首先结合已知条件和图形性质思考：首先回忆平移的性质，平移后对应角相等、对应线段平行；再结合AD平分∠BAC的条件，可得∠BAC=2∠BAD。首先由平移性质得∠A'=∠BAD、AB//A'B'，再由平行线的同位角相等可得∠B'EC=∠BAC，通过等量代换即可得到两个角的数量关系。
(2) 要判断A'D'是否平分∠B'A'C，只需证明∠B'A'D'=½∠B'A'C即可。首先由平移性质得∠B'A'D'=∠BAD、AB//A'B'，由平行线性质得∠B'A'C=∠BAC，再结合AD平分∠BAC的条件，通过等量代换即可验证∠B'A'D'是∠B'A'C的一半，从而得到结论。
【解析】
(1) ∠B'EC = 2∠A'，理由如下：
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAC = 2∠BAD。
由平移的性质可知，∠BAD = ∠A'，且AB//A'B'，
∴ ∠B'EC = ∠BAC（两直线平行，同位角相等），
∴ ∠B'EC = 2∠BAD = 2∠A'。
(2) A'D'平分∠B'A'C，理由如下：
由平移的性质可知，∠B'A'D' = ∠BAD，且AB//A'B'，
∴ ∠B'A'C = ∠BAC（两直线平行，同位角相等）。
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD = ½∠BAC，
等量代换得∠B'A'D' = ½∠B'A'C，
∴ A'D'平分∠B'A'C。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠B'EC = 2∠A'}$；
(2) $\boldsymbol{A'D'平分∠B'A'C}$
【知识点】
1. 角平分线的定义与判定
2. 平移的性质
3. 平行线的性质
【点评】
本题是平移变换的典型应用类题目，将平移性质、平行线的角性质、角平分线的判定结合考查，解题的核心是准确抓住平移前后图形的对应角相等、对应线段平行的性质，通过等量代换推导角的数量关系，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.75
