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小芳是一个非常爱探究的孩子,总喜欢研究一些问题.这次,她遇到了一道难题,让我们来帮帮她吧!
问题:如图是一个无理数筛选器的工作流程.
(1)当x为16时,y值为
(2)是否存在输入有意义的x值后,却输不出y值?如果存在,写出所有满足要求的x值;如果不存在,请说明理由.
(3)当输出的y值是$\sqrt{3}$时,判断输入的x值是否唯一.如果不唯一,请写出其中的两个.
请你帮助小芳解决这个问题吧!
问题:如图是一个无理数筛选器的工作流程.
(1)当x为16时,y值为
√2
.(2)是否存在输入有意义的x值后,却输不出y值?如果存在,写出所有满足要求的x值;如果不存在,请说明理由.
(3)当输出的y值是$\sqrt{3}$时,判断输入的x值是否唯一.如果不唯一,请写出其中的两个.
请你帮助小芳解决这个问题吧!
答案
(1)√2.【解法提示】当x = 16时，√16 = 4，√4 = 2，所以y值为√2。
(2)存在,所有满足要求的x值为0,1。
(3)x的值不唯一.如x = 3或x = 9。
(2)存在,所有满足要求的x值为0,1。
(3)x的值不唯一.如x = 3或x = 9。
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，按照流程图的运算规则逐步计算：先对输入的x取算术平方根，判断结果是否为无理数，若为有理数则将结果作为新的x再次进入流程，直到得到无理数即为输出的y值。
(2) 求解第二问时，思考什么情况下反复取算术平方根都得不到无理数：当一个数的算术平方根是它本身，且为有理数时，就会永远循环无法输出，结合算术平方根的性质找符合条件的数即可。
(3) 求解第三问时，用逆向思维推导：输出的y是$\sqrt{3}$，说明最后一次取算术平方根前的数是$(\sqrt{3})^2=3$，若3也是前一次取算术平方根的结果，那么前一个数就是$3^2=9$，以此类推可得多个符合条件的x，因此x不唯一。
【解析】
(1) 当x=16时，第一步取算术平方根得$\sqrt{16}=4$，4是有理数，返回重新计算；
对4取算术平方根得$\sqrt{4}=2$，2是有理数，再次返回计算；
对2取算术平方根得$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，因此输出y=$\sqrt{2}$。
(2) 存在输不出y值的情况。
理由：当x=0时，0的算术平方根是0，0是有理数，永远无法得到无理数，因此输不出y；当x=1时，1的算术平方根是1，1是有理数，同样永远无法得到无理数，输不出y。因此满足要求的x值为0和1。
(3) 输入的x值不唯一。
推导：若最后一次取算术平方根得到$\sqrt{3}$，则取平方根前的数为$(\sqrt{3})^2=3$，即x=3时输出$\sqrt{3}$；若3是上一轮取算术平方根的结果，则上一轮的输入为$3^2=9$，即x=9时，先算$\sqrt{9}=3$（有理数，返回），再算$\sqrt{3}$（无理数，输出），因此x=9也符合要求。
【答案】
(1) $\sqrt{2}$
(2) 存在，满足要求的x值为0，1
(3) 输入的x值不唯一，例如x=3或x=9（答案合理即可）
【知识点】
算术平方根的计算，无理数的识别，程序框图运算
【点评】
本题结合流程图的形式考查实数相关的基础知识点，解题的关键是理清程序的循环逻辑，正向计算时要注意多次循环的情况，逆向推导时要考虑多轮运算的可能，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问时，按照流程图的运算规则逐步计算：先对输入的x取算术平方根，判断结果是否为无理数，若为有理数则将结果作为新的x再次进入流程，直到得到无理数即为输出的y值。
(2) 求解第二问时，思考什么情况下反复取算术平方根都得不到无理数：当一个数的算术平方根是它本身，且为有理数时，就会永远循环无法输出，结合算术平方根的性质找符合条件的数即可。
(3) 求解第三问时，用逆向思维推导：输出的y是$\sqrt{3}$，说明最后一次取算术平方根前的数是$(\sqrt{3})^2=3$，若3也是前一次取算术平方根的结果，那么前一个数就是$3^2=9$，以此类推可得多个符合条件的x，因此x不唯一。
【解析】
(1) 当x=16时，第一步取算术平方根得$\sqrt{16}=4$，4是有理数，返回重新计算；
对4取算术平方根得$\sqrt{4}=2$，2是有理数，再次返回计算；
对2取算术平方根得$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，因此输出y=$\sqrt{2}$。
(2) 存在输不出y值的情况。
理由：当x=0时，0的算术平方根是0，0是有理数，永远无法得到无理数，因此输不出y；当x=1时，1的算术平方根是1，1是有理数，同样永远无法得到无理数，输不出y。因此满足要求的x值为0和1。
(3) 输入的x值不唯一。
推导：若最后一次取算术平方根得到$\sqrt{3}$，则取平方根前的数为$(\sqrt{3})^2=3$，即x=3时输出$\sqrt{3}$；若3是上一轮取算术平方根的结果，则上一轮的输入为$3^2=9$，即x=9时，先算$\sqrt{9}=3$（有理数，返回），再算$\sqrt{3}$（无理数，输出），因此x=9也符合要求。
【答案】
(1) $\sqrt{2}$
(2) 存在，满足要求的x值为0，1
(3) 输入的x值不唯一，例如x=3或x=9（答案合理即可）
【知识点】
算术平方根的计算，无理数的识别，程序框图运算
【点评】
本题结合流程图的形式考查实数相关的基础知识点，解题的关键是理清程序的循环逻辑，正向计算时要注意多次循环的情况，逆向推导时要考虑多轮运算的可能，避免漏解。
【难度系数】
0.7
1 有下列四个结论:①$-\dfrac{1}{3}$是有理数;②$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$是分数;③3.131 131 113…(每相邻两个3之间依次多一个1)是无理数;④$π$是无理数.其中,正确的结论有 (
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
B
)A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确有理数、无理数、分数的核心定义，再逐一判断4个结论的正误，最后统计正确结论的个数即可得到答案。首先回忆相关概念：有理数是整数和分数的统称，所有有理数都可以写成分数（两个整数的比，分母不为0）的形式，包括有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数的方根、含π的数、有规律但不循环的无限小数；分数属于有理数，分子和分母都必须是整数（分母不为0）。接下来逐个判断每个结论即可。
【解析】
我们逐个分析四个结论：
1. 结论①：$-\dfrac{1}{3}$是负分数，属于有理数的范畴，该结论正确；
2. 结论②：$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$中$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无理数，因此$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$是无理数，而分数属于有理数，因此该结论错误；
3. 结论③：3.131 131 113…（每相邻两个3之间依次多一个1）是无限不循环小数，符合无理数的定义，该结论正确；
4. 结论④：$π$是无限不循环小数，属于无理数，该结论正确。
综上，正确的结论有①③④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
有理数的概念；无理数的概念；分数的定义
【点评】
本题核心考查有理数与无理数的概念辨析，易错点是误将含无理数的分式判断为分数，要注意只有分子分母均为整数（分母不为0）的数才是分数，同时要记住有规律但不循环的无限小数也属于无理数，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确有理数、无理数、分数的核心定义，再逐一判断4个结论的正误，最后统计正确结论的个数即可得到答案。首先回忆相关概念：有理数是整数和分数的统称，所有有理数都可以写成分数（两个整数的比，分母不为0）的形式，包括有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数的方根、含π的数、有规律但不循环的无限小数；分数属于有理数，分子和分母都必须是整数（分母不为0）。接下来逐个判断每个结论即可。
【解析】
我们逐个分析四个结论：
1. 结论①：$-\dfrac{1}{3}$是负分数，属于有理数的范畴，该结论正确；
2. 结论②：$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$中$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无理数，因此$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$是无理数，而分数属于有理数，因此该结论错误；
3. 结论③：3.131 131 113…（每相邻两个3之间依次多一个1）是无限不循环小数，符合无理数的定义，该结论正确；
4. 结论④：$π$是无限不循环小数，属于无理数，该结论正确。
综上，正确的结论有①③④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
有理数的概念；无理数的概念；分数的定义
【点评】
本题核心考查有理数与无理数的概念辨析，易错点是误将含无理数的分式判断为分数，要注意只有分子分母均为整数（分母不为0）的数才是分数，同时要记住有规律但不循环的无限小数也属于无理数，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
2 0.49 的算术平方根的相反数是 (
A.0.7
B.-0.7
C.±0.7
D.0
B
)A.0.7
B.-0.7
C.±0.7
D.0
答案
2.B
解析
【分析】
解决本题需要分两步思考：首先要明确算术平方根的定义，一个非负数的正的平方根叫做它的算术平方根，先计算出0.49的算术平方根；再根据相反数的定义，即只有符号不同的两个数互为相反数，求出该算术平方根的相反数，对应选项即可得到答案，注意要区分算术平方根和普通平方根，避免混淆概念出错。
【解析】
1. 计算0.49的算术平方根：
因为$0.7^2=0.49$，且算术平方根为非负数的正平方根，所以0.49的算术平方根是0.7。
2. 求0.7的相反数：
根据相反数的定义，0.7的相反数为$-0.7$。
因此符合要求的结果是$-0.7$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义、相反数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是区分算术平方根和平方根的差异，避免误选带有正负号的选项，掌握相关基础概念就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题需要分两步思考：首先要明确算术平方根的定义，一个非负数的正的平方根叫做它的算术平方根，先计算出0.49的算术平方根；再根据相反数的定义，即只有符号不同的两个数互为相反数，求出该算术平方根的相反数，对应选项即可得到答案，注意要区分算术平方根和普通平方根，避免混淆概念出错。
【解析】
1. 计算0.49的算术平方根：
因为$0.7^2=0.49$，且算术平方根为非负数的正平方根，所以0.49的算术平方根是0.7。
2. 求0.7的相反数：
根据相反数的定义，0.7的相反数为$-0.7$。
因此符合要求的结果是$-0.7$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义、相反数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是区分算术平方根和平方根的差异，避免误选带有正负号的选项，掌握相关基础概念就能快速解题。
【难度系数】
0.8
3 下列说法正确的是 (
A.$\frac{8}{27}$的立方根是 $\pm \frac{2}{3}$
B.$-125$ 没有立方根
C.$0$ 的立方根是 $0$
D.$64$ 的立方根是 $8$
C
)A.$\frac{8}{27}$的立方根是 $\pm \frac{2}{3}$
B.$-125$ 没有立方根
C.$0$ 的立方根是 $0$
D.$64$ 的立方根是 $8$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先要明确立方根的核心性质：任意实数都有且仅有1个立方根，其中正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根是0。我们只需将每个选项和上述性质逐一对照，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：正数的立方根唯一且为正数，$(\frac{2}{3})^3=\frac{8}{27}$，因此$\frac{8}{27}$的立方根是$\frac{2}{3}$，不是$\pm\frac{2}{3}$，A错误；
2. 选项B：负数也存在立方根，$(-5)^3=-125$，因此-125的立方根是-5，B错误；
3. 选项C：根据立方根的性质，0的立方根就是0，C正确；
4. 选项D：$4^3=64$，因此64的立方根是4，8是64的算术平方根，D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 立方根的定义 2. 立方根的性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查立方根的性质，解题时要注意区分立方根和平方根的差异，不要混淆两者的符号规律和计算结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确立方根的核心性质：任意实数都有且仅有1个立方根，其中正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根是0。我们只需将每个选项和上述性质逐一对照，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：正数的立方根唯一且为正数，$(\frac{2}{3})^3=\frac{8}{27}$，因此$\frac{8}{27}$的立方根是$\frac{2}{3}$，不是$\pm\frac{2}{3}$，A错误；
2. 选项B：负数也存在立方根，$(-5)^3=-125$，因此-125的立方根是-5，B错误；
3. 选项C：根据立方根的性质，0的立方根就是0，C正确；
4. 选项D：$4^3=64$，因此64的立方根是4，8是64的算术平方根，D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 立方根的定义 2. 立方根的性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查立方根的性质，解题时要注意区分立方根和平方根的差异，不要混淆两者的符号规律和计算结果。
【难度系数】
0.8
4 设面积为20的正方形的边长为a，则a的值在 (
A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
D
)A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先回忆正方形的面积公式，根据面积求出边长a的表达式：因为正方形面积=边长²，已知面积为20，所以a²=20，边长为正数，因此a是20的算术平方根即√20。接下来要估算√20的大小，只需要找到两个相邻的正整数，它们的平方分别小于20和大于20，根据算术平方根的性质（被开方数越大，对应的算术平方根越大），就能确定√20的范围，也就是a的范围，从而选出正确选项。
【解析】
解：根据正方形的面积公式可得：
$a^2=20$
∵边长$a$是正数，
∴$a=\sqrt{20}$
计算相邻正整数的平方：
$4^2=16$，$5^2=25$
∵$16＜20＜25$
∴$\sqrt{16}＜\sqrt{20}＜\sqrt{25}$
即$4＜\sqrt{20}＜5$，也就是$4＜a＜5$
因此$a$的值在4和5之间，故选D。
【答案】
D
【知识点】
正方形面积计算、算术平方根、无理数估算
【点评】
本题是基础类题型，主要考查无理数的大小估算，解题的核心是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的性质即可快速确定无理数的取值范围。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆正方形的面积公式，根据面积求出边长a的表达式：因为正方形面积=边长²，已知面积为20，所以a²=20，边长为正数，因此a是20的算术平方根即√20。接下来要估算√20的大小，只需要找到两个相邻的正整数，它们的平方分别小于20和大于20，根据算术平方根的性质（被开方数越大，对应的算术平方根越大），就能确定√20的范围，也就是a的范围，从而选出正确选项。
【解析】
解：根据正方形的面积公式可得：
$a^2=20$
∵边长$a$是正数，
∴$a=\sqrt{20}$
计算相邻正整数的平方：
$4^2=16$，$5^2=25$
∵$16＜20＜25$
∴$\sqrt{16}＜\sqrt{20}＜\sqrt{25}$
即$4＜\sqrt{20}＜5$，也就是$4＜a＜5$
因此$a$的值在4和5之间，故选D。
【答案】
D
【知识点】
正方形面积计算、算术平方根、无理数估算
【点评】
本题是基础类题型，主要考查无理数的大小估算，解题的核心是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的性质即可快速确定无理数的取值范围。
【难度系数】
0.85
