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11.已知关于$x$的多项式$3x^2 - mx + n$分解因式的结果为$(3x + 2)(x - 1)$，那么$m,n$的值分别为 （
A.$1,-2$
B.$-1,2$
C.$2,-1$
D.$-2,1$
A
）A.$1,-2$
B.$-1,2$
C.$2,-1$
D.$-2,1$
答案
11.A
解析
【分析】
要确定m、n的值，可利用因式分解与整式乘法互为逆运算的关系：多项式因式分解的结果相乘后得到的整式，和原多项式完全相同。因此只需先将分解后的结果(3x+2)(x-1)按多项式乘法法则展开，再和原多项式3x² -mx +n对比对应项的系数，即可求出m、n的取值。
【解析】
首先利用多项式乘多项式的法则展开(3x+2)(x-1)：
$\begin{aligned}(3x+2)(x-1)&=3x· x + 3x· (-1) + 2· x + 2· (-1)\\&=3x^2 -3x + 2x -2\\&=3x^2 -x -2\end{aligned}$
已知3x² -mx +n分解因式的结果为(3x+2)(x-1)，因此两个多项式相等：
$3x^2 -mx +n = 3x^2 -x -2$
根据多项式相等时对应项的系数相等，可得：
一次项系数：$-m=-1$，解得$m=1$
常数项：$n=-2$
因此m=1，n=-2，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解的逆运算、多项式乘多项式、对应系数相等
【点评】
本题是因式分解相关的基础常考题，核心考查因式分解和整式乘法的互逆关系，只要熟练掌握多项式乘法的运算规则，就能通过展开结果对比系数快速求出参数。
【难度系数】
0.8
要确定m、n的值，可利用因式分解与整式乘法互为逆运算的关系：多项式因式分解的结果相乘后得到的整式，和原多项式完全相同。因此只需先将分解后的结果(3x+2)(x-1)按多项式乘法法则展开，再和原多项式3x² -mx +n对比对应项的系数，即可求出m、n的取值。
【解析】
首先利用多项式乘多项式的法则展开(3x+2)(x-1)：
$\begin{aligned}(3x+2)(x-1)&=3x· x + 3x· (-1) + 2· x + 2· (-1)\\&=3x^2 -3x + 2x -2\\&=3x^2 -x -2\end{aligned}$
已知3x² -mx +n分解因式的结果为(3x+2)(x-1)，因此两个多项式相等：
$3x^2 -mx +n = 3x^2 -x -2$
根据多项式相等时对应项的系数相等，可得：
一次项系数：$-m=-1$，解得$m=1$
常数项：$n=-2$
因此m=1，n=-2，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解的逆运算、多项式乘多项式、对应系数相等
【点评】
本题是因式分解相关的基础常考题，核心考查因式分解和整式乘法的互逆关系，只要熟练掌握多项式乘法的运算规则，就能通过展开结果对比系数快速求出参数。
【难度系数】
0.8
12.分解因式$x^4 -1$的结果是 （
A.$(x^2+1)(x^2-1)$
B.$(x+1)^2(x-1)^2$
C.$(x-1)(x+1)(x^2+1)$
D.$(x-1)(x+1)^3$
C
）A.$(x^2+1)(x^2-1)$
B.$(x+1)^2(x-1)^2$
C.$(x-1)(x+1)(x^2+1)$
D.$(x-1)(x+1)^3$
答案
12.C
解析
【分析】
因式分解需要将多项式分解到每个因式在有理数范围内不能再分解为止。观察$x^4-1$的结构，属于平方差的形式，可先利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$进行第一次分解，再检查分解后的因式是否还能继续分解：$x^4=(x^2)^2$，$1=1^2$，第一次分解可得$(x^2+1)(x^2-1)$，其中$x^2-1$仍为平方差结构，可继续用平方差公式分解，$x^2+1$无法再分解，最终得到完整的分解结果后对应选项判断即可。
【解析】
解：对$x^4-1$因式分解：
1. 第一次应用平方差公式：
$x^4-1=(x^2)^2-1^2=(x^2+1)(x^2-1)$
2. 检查因式，$x^2-1$可继续分解，再次应用平方差公式：
$x^2-1=(x+1)(x-1)$
3. 合并结果：$x^4-1=(x^2+1)(x+1)(x-1)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的常考基础题，易错点为分解不彻底，很多学生容易误选A选项，仅完成第一步分解就停止，解题时需牢记因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
因式分解需要将多项式分解到每个因式在有理数范围内不能再分解为止。观察$x^4-1$的结构，属于平方差的形式，可先利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$进行第一次分解，再检查分解后的因式是否还能继续分解：$x^4=(x^2)^2$，$1=1^2$，第一次分解可得$(x^2+1)(x^2-1)$，其中$x^2-1$仍为平方差结构，可继续用平方差公式分解，$x^2+1$无法再分解，最终得到完整的分解结果后对应选项判断即可。
【解析】
解：对$x^4-1$因式分解：
1. 第一次应用平方差公式：
$x^4-1=(x^2)^2-1^2=(x^2+1)(x^2-1)$
2. 检查因式，$x^2-1$可继续分解，再次应用平方差公式：
$x^2-1=(x+1)(x-1)$
3. 合并结果：$x^4-1=(x^2+1)(x+1)(x-1)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的常考基础题，易错点为分解不彻底，很多学生容易误选A选项，仅完成第一步分解就停止，解题时需牢记因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
13. 把代数式 $ ax^2 - 4ax + 4a $ 分解因式，下列结果正确的是（
A.$ a(x-2)^2 $
B.$ a(x+2)^2 $
C.$ a(x-4)^2 $
D.$ a(x+2)(x-2) $
A
）A.$ a(x-2)^2 $
B.$ a(x+2)^2 $
C.$ a(x-4)^2 $
D.$ a(x+2)(x-2) $
答案
13.A
解析
【分析】
解决因式分解类题目遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式是否含有公因式，若有则先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余多项式的形式，匹配对应的乘法公式继续分解；最后检查分解是否彻底。本题先观察代数式各项，均含有公因式a，先提取a，再看剩余的二次三项式符合完全平方公式的特征，套用公式分解即可。
【解析】
对代数式 $ax^2 - 4ax + 4a$ 分解因式：
1. 提取公因式$a$，可得：
$ax^2 - 4ax + 4a = a(x^2 - 4x + 4)$
2. 观察括号内的二次三项式$x^2 -4x +4$，符合完全平方公式$m^2 - 2mn + n^2 = (m-n)^2$的特征，其中$m=x$，$n=2$，因此：
$x^2 -4x +4 = (x-2)^2$
综上，原式分解结果为$a(x-2)^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要注意先提取公因式再套用公式，同时要区分完全平方公式和平方差公式的适用形式，确保因式分解彻底且正确。
【难度系数】
0.8
解决因式分解类题目遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式是否含有公因式，若有则先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余多项式的形式，匹配对应的乘法公式继续分解；最后检查分解是否彻底。本题先观察代数式各项，均含有公因式a，先提取a，再看剩余的二次三项式符合完全平方公式的特征，套用公式分解即可。
【解析】
对代数式 $ax^2 - 4ax + 4a$ 分解因式：
1. 提取公因式$a$，可得：
$ax^2 - 4ax + 4a = a(x^2 - 4x + 4)$
2. 观察括号内的二次三项式$x^2 -4x +4$，符合完全平方公式$m^2 - 2mn + n^2 = (m-n)^2$的特征，其中$m=x$，$n=2$，因此：
$x^2 -4x +4 = (x-2)^2$
综上，原式分解结果为$a(x-2)^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要注意先提取公因式再套用公式，同时要区分完全平方公式和平方差公式的适用形式，确保因式分解彻底且正确。
【难度系数】
0.8
14. 对于任意整数$m$,多项式$(4m+5)^2 - 9$必能（
A.被8整除
B.被$m$整除
C.被$(m-1)$整除
D.被7整除
A
）A.被8整除
B.被$m$整除
C.被$(m-1)$整除
D.被7整除
答案
14.A
解析
【分析】
解题可采用两种思路：①公式法：先观察多项式结构，$(4m+5)^2$减9（即$3^2$），符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的形式，先通过平方差公式因式分解，再对分解后的因式提取公因式，最终化简为含常数因数的整式乘积形式，即可判断能被哪个数整除；②特殊值排除法：代入符合条件的特殊整数m，逐一验证选项，排除错误答案即可。两种方法结合使用解题更高效。
【解析】
方法一：因式分解法
根据平方差公式分解多项式：
$\begin{aligned}(4m+5)^2 - 9&=(4m+5)^2 - 3^2\\&=(4m+5-3)(4m+5+3)\\&=(4m+2)(4m+8)\\&=2(2m+1)×4(m+2)\\&=8(2m+1)(m+2)\end{aligned}$
因为m是整数，所以$(2m+1)$和$(m+2)$均为整数，因此$8(2m+1)(m+2)$是8的整数倍，故该多项式必能被8整除。
方法二：特殊值排除法
当$m=0$时，原式$=(0+5)^2-9=16$，此时除数$m=0$，整除要求除数不为0，排除B选项；
当$m=1$时，原式$=(4+5)^2-9=72$，此时除数$m-1=0$，不符合整除要求，排除C选项；
当$m=2$时，原式$=(8+5)^2-9=160$，$160÷7$不是整数，排除D选项。
综上只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
1. 平方差公式
2. 因式分解
3. 整除判定
【点评】
本题核心考查整式整除性的判断，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，通过因式分解将多项式转化为乘积形式即可快速判断整除性，也可通过代入特殊值快速排除错误选项，是整式因式分解的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
解题可采用两种思路：①公式法：先观察多项式结构，$(4m+5)^2$减9（即$3^2$），符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的形式，先通过平方差公式因式分解，再对分解后的因式提取公因式，最终化简为含常数因数的整式乘积形式，即可判断能被哪个数整除；②特殊值排除法：代入符合条件的特殊整数m，逐一验证选项，排除错误答案即可。两种方法结合使用解题更高效。
【解析】
方法一：因式分解法
根据平方差公式分解多项式：
$\begin{aligned}(4m+5)^2 - 9&=(4m+5)^2 - 3^2\\&=(4m+5-3)(4m+5+3)\\&=(4m+2)(4m+8)\\&=2(2m+1)×4(m+2)\\&=8(2m+1)(m+2)\end{aligned}$
因为m是整数，所以$(2m+1)$和$(m+2)$均为整数，因此$8(2m+1)(m+2)$是8的整数倍，故该多项式必能被8整除。
方法二：特殊值排除法
当$m=0$时，原式$=(0+5)^2-9=16$，此时除数$m=0$，整除要求除数不为0，排除B选项；
当$m=1$时，原式$=(4+5)^2-9=72$，此时除数$m-1=0$，不符合整除要求，排除C选项；
当$m=2$时，原式$=(8+5)^2-9=160$，$160÷7$不是整数，排除D选项。
综上只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
1. 平方差公式
2. 因式分解
3. 整除判定
【点评】
本题核心考查整式整除性的判断，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，通过因式分解将多项式转化为乘积形式即可快速判断整除性，也可通过代入特殊值快速排除错误选项，是整式因式分解的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
15.分解因式：
(1)$(a+b)^2(a-b)+2b(a+b)^2$；
(2)$3m^2n-12mn+12n$；
(3)$9(m+n)^2-(m-n)^2$；
(4)$(a^2+4)^2-16a^2$。
(1)$(a+b)^2(a-b)+2b(a+b)^2$；
(2)$3m^2n-12mn+12n$；
(3)$9(m+n)^2-(m-n)^2$；
(4)$(a^2+4)^2-16a^2$。
答案
15.(1)$(a+b)^3$
(2)$3n(m-2)^2$
(3)$4(2m+n)(m+2n)$
(4)$(a+2)^2(a-2)^2$
(2)$3n(m-2)^2$
(3)$4(2m+n)(m+2n)$
(4)$(a+2)^2(a-2)^2$
解析
【分析】
因式分解的通用解题思路为“一提、二套、三查”：第一步先观察多项式是否有公因式，若有则先提取公因式；第二步提取公因式后（或无公因式时），观察剩余多项式的形式，若符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$或完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$的结构，就套用对应公式分解；第三步检查分解结果，确保每一个因式都不能再分解为止。
各小题具体思考方向：(1)两项都含公因式$(a+b)^2$，提取后合并同类项即可；(2)先提取公因式$3n$，剩余部分符合完全平方公式结构；(3)原式是两个平方项作差的形式，直接套用平方差公式后化简即可；(4)先变形为平方差结构，分解后得到的因式还符合完全平方公式，继续分解到最简即可。
【解析】
(1) 提取公因式$(a+b)^2$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(a+b)^2[(a-b)+2b]\\&=(a+b)^2(a+b)\\&=(a+b)^3\end{aligned}$
(2) 先提取公因式$3n$，再套用完全平方公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3n(m^2-4m+4)\\&=3n(m-2)^2\end{aligned}$
(3) 将原式转化为$[3(m+n)]^2-(m-n)^2$，套用平方差公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]\\&=(4m+2n)(2m+4n)\\&=2(2m+n)·2(m+2n)\\&=4(2m+n)(m+2n)\end{aligned}$
(4) 将原式转化为$(a^2+4)^2-(4a)^2$，先套平方差公式，再套完全平方公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(a^2+4+4a)(a^2+4-4a)\\&=(a+2)^2(a-2)^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$(a+b)^3$；(2)$3n(m-2)^2$；(3)$4(2m+n)(m+2n)$；(4)$(a+2)^2(a-2)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，按照“一提二套三查”的步骤操作即可，需要熟练掌握平方差、完全平方公式的结构特征，注意最终结果要分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
因式分解的通用解题思路为“一提、二套、三查”：第一步先观察多项式是否有公因式，若有则先提取公因式；第二步提取公因式后（或无公因式时），观察剩余多项式的形式，若符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$或完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$的结构，就套用对应公式分解；第三步检查分解结果，确保每一个因式都不能再分解为止。
各小题具体思考方向：(1)两项都含公因式$(a+b)^2$，提取后合并同类项即可；(2)先提取公因式$3n$，剩余部分符合完全平方公式结构；(3)原式是两个平方项作差的形式，直接套用平方差公式后化简即可；(4)先变形为平方差结构，分解后得到的因式还符合完全平方公式，继续分解到最简即可。
【解析】
(1) 提取公因式$(a+b)^2$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(a+b)^2[(a-b)+2b]\\&=(a+b)^2(a+b)\\&=(a+b)^3\end{aligned}$
(2) 先提取公因式$3n$，再套用完全平方公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3n(m^2-4m+4)\\&=3n(m-2)^2\end{aligned}$
(3) 将原式转化为$[3(m+n)]^2-(m-n)^2$，套用平方差公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]\\&=(4m+2n)(2m+4n)\\&=2(2m+n)·2(m+2n)\\&=4(2m+n)(m+2n)\end{aligned}$
(4) 将原式转化为$(a^2+4)^2-(4a)^2$，先套平方差公式，再套完全平方公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(a^2+4+4a)(a^2+4-4a)\\&=(a+2)^2(a-2)^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$(a+b)^3$；(2)$3n(m-2)^2$；(3)$4(2m+n)(m+2n)$；(4)$(a+2)^2(a-2)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，按照“一提二套三查”的步骤操作即可，需要熟练掌握平方差、完全平方公式的结构特征，注意最终结果要分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
16.若$a,b,c$是三角形的三边，且满足关系式$a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = 0$，试判断这个三角形的形状.
答案
16.等边三角形
解析
【分析】
要判断三角形的形状，需要明确三边a、b、c的数量关系。已知等式包含三边的平方项和两两乘积项，符合完全平方公式的结构特征，我们可以先给等式两边同乘2，将式子变形为几个完全平方的和等于0的形式，再利用平方数的非负性推导三边的关系，即可判断三角形形状。
【解析】
给已知等式两边同时乘2，得：
$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0$
将式子拆分后分组：
$(a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2ac + c^2) + (b^2 - 2bc + c^2) = 0$
根据完全平方公式化简，得：
$(a-b)^2 + (a-c)^2 + (b-c)^2 = 0$
由于平方数具有非负性，即$(a-b)^2≥0$，$(a-c)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$，几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，因此：
$a-b=0$，$a-c=0$，$b-c=0$
即$a=b$，$a=c$，$b=c$，可得$a=b=c$。
三边相等的三角形为等边三角形。
【答案】
等边三角形
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，等边三角形判定
【点评】
本题是三角形形状判断的典型题型，解题核心是对已知等式合理变形凑出完全平方结构，结合非负数性质推导三边等量关系，考查对公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要判断三角形的形状，需要明确三边a、b、c的数量关系。已知等式包含三边的平方项和两两乘积项，符合完全平方公式的结构特征，我们可以先给等式两边同乘2，将式子变形为几个完全平方的和等于0的形式，再利用平方数的非负性推导三边的关系，即可判断三角形形状。
【解析】
给已知等式两边同时乘2，得：
$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0$
将式子拆分后分组：
$(a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2ac + c^2) + (b^2 - 2bc + c^2) = 0$
根据完全平方公式化简，得：
$(a-b)^2 + (a-c)^2 + (b-c)^2 = 0$
由于平方数具有非负性，即$(a-b)^2≥0$，$(a-c)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$，几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，因此：
$a-b=0$，$a-c=0$，$b-c=0$
即$a=b$，$a=c$，$b=c$，可得$a=b=c$。
三边相等的三角形为等边三角形。
【答案】
等边三角形
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，等边三角形判定
【点评】
本题是三角形形状判断的典型题型，解题核心是对已知等式合理变形凑出完全平方结构，结合非负数性质推导三边等量关系，考查对公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
17.在对某二次三项式进行因式分解时,甲同学因看错了一次项系数而将其分解为$2(x-1)(x-9)$,而乙同学因看错了常数项而将其分解为$2(x-2)(x-4)$,请你将此二次三项式进行正确的因式分解.
答案
17.$2x^2-12x+18=2(x-3)^2$
解析
【分析】
要得到正确的二次三项式，需利用甲、乙看错的项不影响其余项正确性的特点求解：①甲仅看错一次项系数，说明他分解得到的式子展开后，二次项系数和常数项是正确的；②乙仅看错常数项，说明他分解得到的式子展开后，二次项系数和一次项系数是正确的。分别展开两人的分解结果，提取对应正确的系数，组合出原二次三项式，再进行因式分解即可。
【解析】
1. 展开甲的分解结果，提取正确的二次项系数和常数项：
$2(x-1)(x-9)=2(x^2-10x+9)=2x^2-20x+18$
甲只看错一次项系数，因此原二次三项式的二次项系数为2，常数项为18。
2. 展开乙的分解结果，提取正确的一次项系数：
$2(x-2)(x-4)=2(x^2-6x+8)=2x^2-12x+16$
乙只看错常数项，因此原二次三项式的一次项系数为-12。
3. 组合得到原二次三项式为$2x^2-12x+18$，对其因式分解：
先提取公因式2：$2x^2-12x+18=2(x^2-6x+9)$
再用完全平方公式分解：$x^2-6x+9=(x-3)^2$
因此原式因式分解结果为$2(x-3)^2$。
【答案】
$2x^2-12x+18=2(x-3)^2$
【知识点】
多项式乘法运算，因式分解，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的灵活应用题型，核心是理解因式分解与多项式乘法的互逆关系，解题关键是抓住“看错某一项仅该项错误，其余项均正确”的逻辑，提取正确系数重组多项式后再分解即可。
【难度系数】
0.65
要得到正确的二次三项式，需利用甲、乙看错的项不影响其余项正确性的特点求解：①甲仅看错一次项系数，说明他分解得到的式子展开后，二次项系数和常数项是正确的；②乙仅看错常数项，说明他分解得到的式子展开后，二次项系数和一次项系数是正确的。分别展开两人的分解结果，提取对应正确的系数，组合出原二次三项式，再进行因式分解即可。
【解析】
1. 展开甲的分解结果，提取正确的二次项系数和常数项：
$2(x-1)(x-9)=2(x^2-10x+9)=2x^2-20x+18$
甲只看错一次项系数，因此原二次三项式的二次项系数为2，常数项为18。
2. 展开乙的分解结果，提取正确的一次项系数：
$2(x-2)(x-4)=2(x^2-6x+8)=2x^2-12x+16$
乙只看错常数项，因此原二次三项式的一次项系数为-12。
3. 组合得到原二次三项式为$2x^2-12x+18$，对其因式分解：
先提取公因式2：$2x^2-12x+18=2(x^2-6x+9)$
再用完全平方公式分解：$x^2-6x+9=(x-3)^2$
因此原式因式分解结果为$2(x-3)^2$。
【答案】
$2x^2-12x+18=2(x-3)^2$
【知识点】
多项式乘法运算，因式分解，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的灵活应用题型，核心是理解因式分解与多项式乘法的互逆关系，解题关键是抓住“看错某一项仅该项错误，其余项均正确”的逻辑，提取正确系数重组多项式后再分解即可。
【难度系数】
0.65
